北京市東城區(qū)2025−2026學(xué)年第二學(xué)期期末樣卷高一數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京市東城區(qū)2025?2026學(xué)年第二學(xué)期期末樣卷高一數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B．2 C． D．52．某工廠共有男職工1200人，女職工800人，現(xiàn)按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全廠職工中抽出一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行健康調(diào)查．若樣本按比例分配，則應(yīng)抽取男職工的人數(shù)為（

）A．80 B．100 C．120 D．2003．在鈍角中，若，，則（

）A． B．1 C． D．24．已知向量，，則（

）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．陀螺是我國(guó)一種傳統(tǒng)的玩具，也叫作“冰尜（gá）”或“打老?！保鐖D，將一個(gè)底面半徑為5的圓錐形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上繞頂點(diǎn)滾動(dòng)，其首次轉(zhuǎn)回到原位置時(shí)，陀螺本身恰好滾動(dòng)了3周，則該陀螺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．7．已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．已知非零向量，，滿足，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》中的“望海島”問(wèn)題，開創(chuàng)了利用兩次測(cè)望結(jié)合三角形邊角關(guān)系測(cè)算高度的方法，某同學(xué)借鑒這種方法測(cè)算山的高度．如圖，為山頂在水平地面上的投影，該同學(xué)在水平地面上選取相距200m的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)，，并測(cè)得，若希望通過(guò)再測(cè)量?jī)蓚€(gè)角，能唯一確定并計(jì)算出山高，那么這兩個(gè)角可以是（

）A．， B．，C．， D．，10．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，滿足：，不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知復(fù)數(shù)滿足，則________．12．已知平面向量，則與共線的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)為________．13．為落實(shí)北京市校園體育“班班賽”活動(dòng)要求，某校高一年級(jí)舉辦了籃球班級(jí)聯(lián)賽．甲、乙兩名球員在目前已完賽的比賽中得分（單位：分）如下：場(chǎng)次選手第1場(chǎng)第2場(chǎng)第3場(chǎng)第4場(chǎng)第5場(chǎng)第6場(chǎng)第7場(chǎng)第8場(chǎng)甲1514815161515乙191011241762013若甲打完第8場(chǎng)比賽后，每場(chǎng)得分的平均數(shù)恰與乙相等，則甲第8場(chǎng)的得分為________．此時(shí)，每場(chǎng)得分的數(shù)據(jù)方差較小的是________（填“甲”或“乙”）．14．在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊在軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)是，將角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角與單位圓交點(diǎn)為．若，則角與角的一組取值為________，________．15．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是正方體側(cè)面上的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），給出下列四個(gè)結(jié)論：①滿足的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；②滿足直線平面的點(diǎn)有且只有一個(gè)；③滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；④滿足直線與所成角為的點(diǎn)不存在．其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________．三、解答題16．已知函數(shù)（）的最小正周期是．（1）求的值；（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求的最小值以及函數(shù)在上的最大值．17．為提升城市主干路通行效率，某交通管理部門計(jì)劃為轄區(qū)內(nèi)一條城市主干路優(yōu)化紅綠燈配時(shí)．該主干路由若干個(gè)單位路段（即相鄰兩個(gè)紅綠燈路口之間的道路段）構(gòu)成，現(xiàn)選取這條主干路的一個(gè)單位路段作為樣本路段進(jìn)行研究．從早高峰期間途經(jīng)該樣本路段的小型汽車中隨機(jī)抽取1000輛，記錄其通行時(shí)長(zhǎng)（單位：秒），并將收集的數(shù)據(jù)分成7組，得到如下的頻率分布直方圖．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：（1）求抽取的這1000輛小型汽車在該樣本路段早高峰期間通行時(shí)長(zhǎng)在（單位：秒）的車輛數(shù)；（2）根據(jù)《城市交通運(yùn)行狀況評(píng)價(jià)規(guī)范》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，若在某一時(shí)段，路段內(nèi)通行時(shí)長(zhǎng)超過(guò)理想狀態(tài)下通行時(shí)長(zhǎng)1.2倍的車輛占比超過(guò)；則可認(rèn)為該路段在這一時(shí)段為擁堵路段．已知該樣本路段理想狀態(tài)下通行時(shí)長(zhǎng)為58秒，判斷該樣本路段是否為早高峰擁堵路段，并說(shuō)明理由；（3）為確定沿線紅綠燈配時(shí)，現(xiàn)需預(yù)設(shè)該樣本路段早高峰的基準(zhǔn)通行時(shí)長(zhǎng)（單位：秒）．若交管部門計(jì)劃早高峰期間至少半數(shù)車輛在該樣本路段通行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)，請(qǐng)判斷能否以收集數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為基準(zhǔn)通行時(shí)長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．18．在中，．（1）求；（2）若，的平分線與交于點(diǎn)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一，求的長(zhǎng)．條件①：的面積為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，為上一點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積；（3）若平面，求的長(zhǎng)．20．已知集合，．對(duì)于集合中的任意元素，記，并將，，…，重新排序?yàn)?，，…，，且，設(shè)，記，，．（1）若，求；（2）證明：對(duì)任意，存在，使得時(shí)，；（3）已知，且，是否存在常數(shù)，使得時(shí)，的最小值為202？若存在，求出所有符合條件的；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?2．【答案】C【詳解】因?yàn)楣S男職工女職工，所以抽取的男職工人數(shù)人.3．【答案】B【詳解】由正弦定理，可得，因，則或，又因?yàn)殁g角三角形，（否則不合題意），即，故，由可得.4．【答案】D【詳解】由向量，，得，故，由于，故.5．【答案】A【詳解】，從而復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的坐標(biāo)表示為，因其在第一象限，從而.6．【答案】A【詳解】設(shè)該圓錐形陀螺的母線長(zhǎng)為（即圖中），已知陀螺底面半徑.圓錐底面的周長(zhǎng)為，這代表陀螺自身完整滾動(dòng)周時(shí)，它的底面邊緣在水平面上掃過(guò)的路徑長(zhǎng)度等于自身底面周長(zhǎng).陀螺繞頂點(diǎn)在水平面滾動(dòng)、首次回到原位置時(shí)，陀螺的底面邊緣會(huì)繞點(diǎn)畫出一個(gè)以為圓心、母線長(zhǎng)為半徑的完整大圓，這個(gè)大圓的總周長(zhǎng)為.所所以由題意得,解得母線長(zhǎng).所以.7．【答案】D【詳解】解：由，表示兩條不同直線，表示平面，在中，若，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤．在中，若，，則或，故錯(cuò)誤；在中，若，，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故正確；故選．8．【答案】C【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，所以，即，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.所以“”是“”的充分必要條件.9．【答案】B【詳解】因?yàn)槠矫?，則，因，山高可由或者求得；若求，需要在中解三角形，因，則需知的任意兩個(gè)內(nèi)角即可由正弦定理求出；若求，需要在中解三角形，因，則需知的任意兩個(gè)內(nèi)角即可由正弦定理求出.對(duì)于A：與分散在和兩個(gè)三角形中，即使有，也無(wú)從確定三角形，故無(wú)法計(jì)算出山高，故A不可以；對(duì)于B：因和是的兩個(gè)內(nèi)角，根據(jù)上述分析，可以利用正弦定理計(jì)算出山高，故B可以；對(duì)于C：與A項(xiàng)同理，與分散在和兩個(gè)三角形中，即使有，也無(wú)從確定三角形，故無(wú)法計(jì)算出山高，故C不可以；對(duì)于D：在中只知道一角和一邊，無(wú)法確定或，也就無(wú)法直接確定，故D不可以.10．【答案】B【詳解】函數(shù)的值域?yàn)?，設(shè)，，則不等式對(duì)任意恒成立，根據(jù)絕對(duì)值幾何意義，的最小值為，故需.令，，則，且，需求的最小值.由和差化積公式可知，因?yàn)?，所以，得，解得（取最小正解），?驗(yàn)證最小值：當(dāng)時(shí)，，，且，滿足條件.故的最小值為.11．【答案】【詳解】由題設(shè)，則.12．【答案】（答案不唯一）【詳解】由，得，故與共線的一個(gè)單位向量為，故與共線的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)為.13．【答案】22甲【詳解】設(shè)甲第8場(chǎng)的得分為，則有，解得，即甲第8場(chǎng)的得分為22；所以甲乙兩人每場(chǎng)得分的平均數(shù)都是15，甲每場(chǎng)得分的數(shù)據(jù)方差為，乙每場(chǎng)得分的數(shù)據(jù)方差為，，所以每場(chǎng)得分的數(shù)據(jù)方差較小的是甲.14．【答案】（答案不唯一）【詳解】由題意知，，所以，且，所以，所以或，所以，或.令，則，所以，所以，時(shí)，.答案不唯一，只要在范圍內(nèi)取角，滿足題意即可.15．【答案】①③【詳解】分別為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，對(duì)于①，和中，，，所以，，，得，正方體中，平面，平面，所以，即，，平面，所以平面，平面，所以，分別為的中點(diǎn)，則，，，有，所以，，平面，平面，由，點(diǎn)軌跡為線段，點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，結(jié)論①正確；對(duì)于②，分別為的中點(diǎn)，則有，，平面，平面，所以平面，同理有平面，，平面，所以平面平面，又直線平面，點(diǎn)軌跡為線段，滿足直線平面的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，結(jié)論②錯(cuò)誤；對(duì)于③，正方體中，平面，平面，所以，有，又，滿足的點(diǎn)的軌跡為，軌跡長(zhǎng)度為，結(jié)論③正確；對(duì)于④，為等邊三角形，，直線與所成角為，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，滿足直線與所成角為，結(jié)論④錯(cuò)誤.正確結(jié)論的序號(hào)是①③.16．【答案】（1）（2），最大值為【詳解】（1）因?yàn)?，依題意，，所以．（2）由（1）可知，．因?yàn)榈淖钚≌芷谑牵缘囊粋€(gè)單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度為．因?yàn)閰^(qū)間的長(zhǎng)度為，且在區(qū)間上單調(diào)，所以在區(qū)間的端點(diǎn)取到最大值或者最小值．所以，即（），解得（）．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值．于是．由，得．當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．17．【答案】（1）320（2）該樣本路段是早高峰擁堵路段，理由為：由已知，得理想狀態(tài)下通行時(shí)間的1.2倍為：．由頻率分布直方圖，知區(qū)間和區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率／組距分別為0.028和0.004，因此，通行時(shí)長(zhǎng)超過(guò)70秒的車輛所占頻率為．所以通行時(shí)長(zhǎng)超過(guò)理想狀態(tài)下通行時(shí)間的1.2倍（69.6秒）的車輛占比大于0.32．因?yàn)?，所以該樣本路段是早高峰擁堵路段?）不能以作為基準(zhǔn)時(shí)長(zhǎng)．理由如下：因?yàn)轭l率分布直方圖在左邊“拖尾”，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，若以作為基準(zhǔn)時(shí)長(zhǎng)，那么有超半數(shù)的車輛通行時(shí)長(zhǎng)大于，即在該樣本路段通行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)的車輛不到半數(shù)．所以不能以作為基準(zhǔn)時(shí)長(zhǎng)．能以作為基準(zhǔn)時(shí)長(zhǎng)．理由如下：的估計(jì)值為：．當(dāng)通行時(shí)長(zhǎng)在時(shí)，頻率為．當(dāng)通行時(shí)長(zhǎng)在時(shí)，頻率為，由上可知中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為64.375．由于64.375與62.6比較接近，又因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性，所以可以以作為基準(zhǔn)時(shí)長(zhǎng)．【詳解】（1）因?yàn)閰^(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率／組距為0.032，組距為10，所以通行時(shí)長(zhǎng)在的車輛所占頻率為．因?yàn)槌槿〉墓?000輛車，所以．因此，抽取的這1000輛小型汽車在該樣本路段早高峰期間通行時(shí)長(zhǎng)在的車輛數(shù)為320．（2）略（3）略18．【答案】（1）（2）選條件①，；選條件③，【詳解】（1）因?yàn)?，在中，由正弦定理，得．又因?yàn)?，所以．由，得．因?yàn)椋裕?）若選條件①：因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．在中，由余弦定理，得，解得．由，得，于是．因?yàn)榈钠椒志€為，所以．在中，由，，解得若選條件②：在中利用余弦定理可得：，代入，可得，從而或，當(dāng)時(shí)，注意到，該三角形存在；當(dāng)時(shí)，注意到，該三角形存在，則選條件②時(shí)，三角形不唯一；若選條件③：因?yàn)椋裕矗矗裕忠驗(yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，．又因?yàn)?，所以在中，由，，解?9．【答案】（1）證明：因?yàn)榈酌妫酌?，所以．設(shè)，因?yàn)?，，，所以．且．所以，即．又因?yàn)?，平面，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以?）（3）【詳解】（1）略（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離是到平面的距離的2倍．故．在中，易得，于是．由三棱錐的高，得;（3）如圖，取中點(diǎn)，連接，．在中，由，，得．于是，則．在中，因?yàn)?，，，所以．故．又因?yàn)槠矫?，平?故平面．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．因?yàn)榈酌?，底面，所以．因?yàn)?，所以．所?20．【答案】（1）（2）因?yàn)?，所以為，，，…，的最大值，且．假設(shè)存在無(wú)窮個(gè)滿足，，…，的最小值大于0．把這些的依次設(shè)為，，那么顯然有．因?yàn)椋裕耘c矛盾，假設(shè)不成立．所以不存在無(wú)窮個(gè)滿足，，…，的最小值大于0．所以存在，使得時(shí)，都有滿足，，…，的最小值為0，此時(shí)，所以.（3）存在，符合條件的有103，305，709，911【詳解】（1）因?yàn)椋瑢⒅匦屡帕泻鬄?，所以，將重新排列后為，所以，同理，．所?（2