浙江省杭州市四校2023-2024學年高一上學期10月聯考數學試題

2023-2024學年浙江省杭州市四校聯考高一（上）月考數學試卷（10月份）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（5分）設全集U＝{2，3，m2+m﹣4}，集合A＝{m，2}，?UA＝{3}，則m＝（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣42．（5分）命題“?x＞0，x2﹣x≤1”的否定是（）A．?x≤0，x2﹣x≤1 B．?x＞0，x2﹣x＞1 C．?x≤0，x2﹣x≤1 D．?x＞0，x2﹣x＞13．（5分）已知a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列選項中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＞04．（5分）若正數x，y滿足x+3y＝5xy，則3x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）命題p：?x∈{x|1≤x≤9}，x2﹣ax+36≤0，若p是真命題，則實數a的取值范圍是（）A．a≥37 B．a≥13 C．a≥12 D．a≤136．（5分）函數y＝[x]在數學上稱為高斯函數，也叫取整函數，其中[x]表示不大于x的最大整數，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．那么不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0成立的充分不必要條件是（）A． B．[1，2] C．[1，3） D．[1，3]7．（5分）設集合A＝{m，﹣1，2}，其中m為實數．令B＝{a3|a∈A}，C＝A?B．若C的所有元素和為9，則C的所有元素之積為（）A．0 B．2 C．4 D．0或48．（5分）正數a，b滿足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m對任意實數x恒成立，則實數m的取值范圍是（）A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是（﹣1，2），則下列選項正確的是（）A．a+b+c＝0 B．a＜0 C．b＞0且c＜0 D．不等式ax2+cx+b＞0的解集是R（多選）10．（5分）下列命題中為真命題的是（）A．{0}∈{x|x2﹣2x＝0} B．“A∪B＝B”的充要條件是A?B＝A C．不等式x2﹣7ax+12a2＜0（a∈R）的解集為{x|3a＜x＜4a} D．若x＞1，y＞1，且滿足x+y＝xy，則的最小值為（多選）11．（5分）已知函數y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一個零點，則（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4 C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集為{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），則x1x2＞0 D．若不等式x2+ax+b＜c的解集為{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），且|x1﹣x2|＝4，則c＝4（多選）12．（5分）設非空集合S＝{x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x2∈S，給出如下命題，其中真命題是（）A．若m＝1，則S＝{x|x≥1} B．若m＝﹣，則≤n≤1 C．若n＝，則≤m≤0 D．若n＝1，則﹣1≤m≤0三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高．當住第n層樓時，上下樓造成的不滿意度為n．但高處空氣清新，嘈雜音較小，環境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環境不滿意度降低．設住第n層樓時，環境不滿意程度為．則此人應選第樓，會有一個最佳滿意度．14．（5分）對于集合A，B，用card（A）表示有限集合A中元素的個數，已知card（A）＝M，card（B）＝N（M＜N），集合C滿足A?C?B，則符合條件的集合C的個數是．15．（5分）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x|（x﹣b）2＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，則b的取值范圍是．16．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則的最大值是．三、解答題17．（10分）設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍；（2）若B?A，求實數a的取值范圍．18．（12分）已知命題p：?x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命題q：?x∈R，x2+2kx+3k+4＝0．（1）當命題?p為假命題時，求實數k的取值范圍；（2）若命題p和q中有且僅有一個是假命題，求實數k的取值范圍．19．（12分）記不等式ax+b＞0的解集為A，不等式（ax﹣b）（x﹣a）≥0的解集為B．（1）設a∈R，b＝﹣2a，求A；（2）若A＝（﹣∞，1），求B．20．（12分）為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司用一條長度為1m的鐵絲，首尾相連做成一個直角三角形的海報紙，求：（1）海報紙的斜邊最短是多少？（2）若在該海報紙畫一個內切圓，則直角三角形內切圓半徑r最大值是多少？21．（12分）設函數y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一個元素，求實數a的取值集合；（2）解關于x的不等式y＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b；（3）當a＞0，b＞1時，記不等式y＞0的解集為P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若對于任意正數t，P∩Q≠?，求的最大值．22．（12分）已知二次函數y＝ax2+bx+2（a，b為實數）（1）若x＝1時，y＝1且對?x∈（2，5），y＞0恒成立，求實數a的取值范圍；（2）若x＝1時，y＝1且對?a∈[﹣2，﹣1]，y＞0恒成立，求實數x的取值范圍；（3）對?x∈R，b＞0時，y≥0恒成立，求的最小值．

2023-2024學年浙江省杭州市四校聯考高一（上）月考數學試卷（10月份）參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（5分）設全集U＝{2，3，m2+m﹣4}，集合A＝{m，2}，?UA＝{3}，則m＝（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣4【考點】補集及其運算．【答案】A【分析】根據U＝（?UA）∪A，由集合相等的定義列方程求出m的值，結合集合元素的互異性求出m的值，即可得到本題的答案．【解答】解：由題意集合A＝{m，2}，?UA＝{3}，又因為U＝（?UA）∪A＝{2，3，m}，且全集U＝{2，3，m2+m﹣4}，所以m＝m2+m﹣4，解得m＝±2，但當m＝2時，集合A＝{m，2}違背了元素之間的互異性，而當m＝﹣2時，集合A＝{﹣2，2}，?UA＝{3}，U＝{﹣2，2，3}滿足題意，綜上所述：m＝﹣2．故選：A．2．（5分）命題“?x＞0，x2﹣x≤1”的否定是（）A．?x≤0，x2﹣x≤1 B．?x＞0，x2﹣x＞1 C．?x≤0，x2﹣x≤1 D．?x＞0，x2﹣x＞1【考點】全稱命題的否定．【答案】D【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結論否定．【解答】解：“?x＞0，x2﹣x≤1”的否定是“?x＞0，x2﹣x＞1”．故選：D．3．（5分）已知a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列選項中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＞0【考點】不等關系與不等式；等式與不等式的性質．【答案】A【分析】由c＜b＜a，且ac＜0知c＜0，a＞0，從而可判斷選項A、B、D；當b＝0時判斷選項C即可．【解答】解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴ab＞ac，c（b﹣a）＞0，ac（a﹣c）＜0，故選項A正確，B、D錯誤；當b＝0時，cb2＝ab2，故選項C錯誤；故選：A．4．（5分）若正數x，y滿足x+3y＝5xy，則3x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】基本不等式及其應用．【答案】D【分析】由已知得＝5，然后利用乘1法結合基本不等式即可求解．【解答】解：因為正數x，y滿足x+3y＝5xy，所以＝5，則3x+4y＝（3x+4y）（）＝（13+）＝＝5，當且僅當且x+3y＝5xy，即y＝，x＝1時取等號，此時3x+4y取得最小值5．故選：D．5．（5分）命題p：?x∈{x|1≤x≤9}，x2﹣ax+36≤0，若p是真命題，則實數a的取值范圍是（）A．a≥37 B．a≥13 C．a≥12 D．a≤13【考點】存在量詞和特稱命題；命題的真假判斷與應用．【答案】見試題解答內容【分析】先得到a≥（x+）min，再利用基本不等式求出最值即可．【解答】解：∵命題p：?x∈[1，9]，使x2﹣ax+36≤0，即x2+36≤ax，即a≥（x+）min，設f（x）＝x+，則f（x）＝x+≥2＝12，當且僅當x＝，即x＝6時取等號，∴a≥12，∵p是真命題，∴a的取值范圍是a≥12．故選：C．6．（5分）函數y＝[x]在數學上稱為高斯函數，也叫取整函數，其中[x]表示不大于x的最大整數，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．那么不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0成立的充分不必要條件是（）A． B．[1，2] C．[1，3） D．[1，3]【考點】充分條件與必要條件．【答案】B【分析】先解不等式，再結合充分條件和必要條件的定義求解即可．【解答】解：因為4[x]2﹣12[x]+5≤0，則（2[x]﹣1）（2[x]﹣5）≤0，則，又因為[x]表示不大于x的最大整數，所以不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0的解集為：1≤x＜3，因為所求的時不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0成立的充分不必要條件，所以只要求出不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0解集的一個非空真子集即可，選項中只有[1，2]?[1，3）．故選：B．7．（5分）設集合A＝{m，﹣1，2}，其中m為實數．令B＝{a3|a∈A}，C＝A?B．若C的所有元素和為9，則C的所有元素之積為（）A．0 B．2 C．4 D．0或4【考點】元素與集合關系的判斷．【答案】A【分析】根據集合中元素的互異性討論參數的取值，然后得到并集的結果，根據并集中的元素之和求出參數，然后求元素之積．【解答】解：根據集合中元素的互異性，m≠﹣1且m≠2．由題意，B＝{a3|a∈A}＝{m3，﹣1，8}．情況一：若m3＝m時，即m＝0或m＝1，當m＝0時，A＝{0，﹣1，2}，B＝{0，﹣1，8}，C＝A?B＝{0，﹣1，2，8}，C的所有元素和為9，符合題意，此時C的所有元素之積為0；當m＝1時，A＝{1，﹣1，2}，B＝{1，﹣1，8}，C＝A?B＝{1，﹣1，2，8}，C的所有元素和為10，不符題意；情況二：若m3＝2時，此時，，B＝{2，﹣1，8}，但C＝A?B此時含有唯一的無理數，不可能元素之和為9，舍去；情況三：若m≠±1，m≠2，且m≠0時，則A，B中只有唯一重復元素﹣1，則C＝A?B＝{m，﹣1，2，m3，8}，由題意m﹣1+2+m3+8＝9，即m3+m＝0＝m（m2+1），此時m＝0，矛盾．綜上所述，m＝0時符合題意，此時C的所有元素之積為0．故選：A．8．（5分）正數a，b滿足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m對任意實數x恒成立，則實數m的取值范圍是（）A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）【考點】函數恒成立問題．【答案】A【分析】求出a+b＝（a+b）（+）＝10++≥10+6＝16（當且僅當b＝3a時取等號），問題轉化為m≥﹣x2+2x+2對任意實數x恒成立，運用二次函數的最值求法和恒成立思想，即可求出實數m的取值范圍．【解答】解：∵正數a，b滿足+＝1，∴a+b＝（a+b）（+）＝10++≥10+2＝10+6＝16（當且僅當b＝3a時取等號）．由不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m對任意實數x恒成立，可得﹣x2+2x+18﹣m≤16對任意實數x恒成立，即m≥﹣x2+2x+2對任意實數x恒成立，即m≥﹣（x﹣1）2+3對任意實數x恒成立，∵﹣（x﹣1）2+3的最大值為3，∴m≥3，故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是（﹣1，2），則下列選項正確的是（）A．a+b+c＝0 B．a＜0 C．b＞0且c＜0 D．不等式ax2+cx+b＞0的解集是R【考點】一元二次不等式及其應用．【答案】AB【分析】根據一元二次不等式的解集求得a，b，c的關系式，由此對選項進行分析，從而確定正確答案．【解答】解：由于不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是（﹣1，2），所以a＜0，B正確；且，即，則b＝a，c＝﹣2a，所以a+b+c＝a+a﹣2a＝0，A正確；b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，C錯誤；不等式ax2+cx+b＞0，即ax2﹣2ax+a＞0，即x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＜0，無解，D錯誤．故選：AB．（多選）10．（5分）下列命題中為真命題的是（）A．{0}∈{x|x2﹣2x＝0} B．“A∪B＝B”的充要條件是A?B＝A C．不等式x2﹣7ax+12a2＜0（a∈R）的解集為{x|3a＜x＜4a} D．若x＞1，y＞1，且滿足x+y＝xy，則的最小值為【考點】一元二次不等式及其應用；充分條件與必要條件；命題的真假判斷與應用；基本不等式及其應用．【答案】BD【分析】根據“∈”的使用對象可判斷A；由集合性質可判斷B；討論a＜0時的不等式解集可判斷C；妙用“1”求最值可判斷D．【解答】解：A選項：“∈”用于元素與集合之間，故A錯誤；B選項：A∪B＝B?A?B?A∩B＝A，故B正確；C選項：解x2﹣7ax+12a2＝0得x＝3a或x＝4a，當a＜0時，3a＞4a，所以x2﹣7ax+12a2＜0的解集為{x|4a＜x＜3a}，C錯誤；D選項：，因為x+y＝xy，所以，所以，當且x+y＝xy，即時，等號成立，D正確．故選：BD．（多選）11．（5分）已知函數y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一個零點，則（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4 C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集為{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），則x1x2＞0 D．若不等式x2+ax+b＜c的解集為{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），且|x1﹣x2|＝4，則c＝4【考點】函數的零點與方程根的關系；命題的真假判斷與應用．【答案】ABD【分析】利用判別式判斷A；基本不等式判斷B；利用二次不等式的性質判斷C；通過韋達定理，轉化求解判斷D；【解答】解：因為y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一個零點，故可得Δ＝a2﹣4b＝0，即a2＝4b＞0，對A：a2﹣b2≤4等價于b2﹣4b+4≥0，顯然（b﹣2）2≥0，故A正確；對B：，故B正確；對C：因為不等式x2+ax﹣b＜0的解集為（x1，x2），Δ＝a2﹣4b＞0，所以，故可得x1x2＝﹣b＞，故C錯誤；對D：因為不等式x2+ax+b＜c的解集為（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，則方程x2+ax+b﹣c＝0的兩根為x1，x2，故可得，故可得c＝4，故D正確．故選：ABD．（多選）12．（5分）設非空集合S＝{x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x2∈S，給出如下命題，其中真命題是（）A．若m＝1，則S＝{x|x≥1} B．若m＝﹣，則≤n≤1 C．若n＝，則≤m≤0 D．若n＝1，則﹣1≤m≤0【考點】命題的真假判斷與應用．【答案】BC【分析】直接利用分類討論思想的應用和恒成立問題在集合中的應用判斷m的取值，進一步判斷A、B、C、D的結論．【解答】解：對于A：若m＝1時，所以S＝{x|1≤x≤n}，所以?x有1≤x2≤n2，所以n≥n2，所以：n≤1，所以S＝{1}，故A錯誤；對于B：若m＝﹣，①﹣時，?x∈S，有，所以x2?S，舍去，②時，?x∈S，有，所以，③n時，?x∈S，有0≤x2≤n2，所以n2≤n，故．故B正確；對于C：若n＝時，①，?x∈S，有，所以m2≥m，所以m≥1舍去；②當時，所以?x∈S，有，成立；③m時，?x∈S，有0≤x2≤m2，所以，所以．故C正確；對于D：若n＝1時，①0＜m≤1時，?x∈S，有m2≤x2≤1，所以m2≥m，所以m≥1，故m＝1；②﹣1≤m≤0時，?x∈S，有0≤x2≤1，所以x2∈S；③m＜﹣1時，?x∈S，有0≤x2≤m2，所以m2≤1，所以﹣1≤m≤1，舍去；綜上所述：m∈[﹣1，0]∪{1}，故D錯誤；故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高．當住第n層樓時，上下樓造成的不滿意度為n．但高處空氣清新，嘈雜音較小，環境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環境不滿意度降低．設住第n層樓時，環境不滿意程度為．則此人應選第3樓，會有一個最佳滿意度．【考點】根據實際問題選擇函數類型；數列的應用．【答案】3．【分析】先得到不滿意程度為，利用基本不等式可得n＝3取最小值即為最佳滿意度．【解答】解：由題意知，當住n層樓時，不滿意程度為，因n＞0，且n∈N*，所以，當且僅當，即n＝3時等號成立，所以住3樓時，不滿意程度最低．故答案為：3．14．（5分）對于集合A，B，用card（A）表示有限集合A中元素的個數，已知card（A）＝M，card（B）＝N（M＜N），集合C滿足A?C?B，則符合條件的集合C的個數是2N﹣M．【考點】集合的包含關系判斷及應用；子集與真子集．【答案】2N﹣M．【分析】分析可知，集合C可以看成集合A與?BA的子集的并集，然后根據?BA的子集個數可得答案．【解答】解：因為card（A）＝M，card（B）＝N（M＜N），A?B，所以card（?BA）＝N﹣M，由A?C?B可知，滿足條件的集合C必含有A中所有元素，所以，集合C可以看成集合A與?BA的子集的并集，因為集合?BA的子集個數為2N﹣M，所以集合C的個數為2N﹣M．故答案為：2N﹣M．15．（5分）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x|（x﹣b）2＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，則b的取值范圍是（﹣2，2）．【考點】充分條件與必要條件．【答案】見試題解答內容【分析】分別化簡集合A，B，根據“a＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，即可得出．【解答】解：由A＝{x|＜0}＝{x|（x﹣1）?（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，當a＝1時，B＝{x|（x﹣b）2＜1}＝{x|b﹣1＜x＜b+1}，因為A∩B≠?，所以，解得﹣2＜b＜2．故答案為：（﹣2，2）．16．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則的最大值是．【考點】一元二次不等式及其應用．【答案】．【分析】由a＞0，b＞0，且a+b＝1，可知0＜a＜1，把轉化為關于a的函數可求得其最大值．【解答】解：由a＞0，b＞0，且a+b＝1，可知0＜a＜1且b＝1﹣a，則＝＝，∵a∈（0，1），∴3a2﹣4a+2＝3（a﹣）2+∈[，2），∴的最大值＝．故答案為：．三、解答題17．（10分）設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍；（2）若B?A，求實數a的取值范圍．【考點】充分條件與必要條件；集合的包含關系判斷及應用．【答案】（1）實數a的取值范圍為[7，+∞）；（2）實數a的取值范圍（﹣∞，）．【分析】（1）根據充分不必要條件的定義得出關于a的不等關系，然后求解；（2）根據集合的包含關系的定義求解．【解答】解：（1）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，得A?B，又A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}，因此或，解得a≥7，所以實數a的取值范圍為[7，+∞）；（2）由已知B?A，當B＝?時，﹣1﹣2a＞a﹣2，解得，符合題意，因此；當B≠?時，而A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}，則1≤﹣1﹣2a≤a﹣2≤5，無解，所以實數a的取值范圍（﹣∞，）．18．（12分）已知命題p：?x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命題q：?x∈R，x2+2kx+3k+4＝0．（1）當命題?p為假命題時，求實數k的取值范圍；（2）若命題p和q中有且僅有一個是假命題，求實數k的取值范圍．【考點】復合命題及其真假；命題的真假判斷與應用；二次函數的性質與圖象．【答案】（1）[3，+∞）；（2）（﹣∞，﹣1]?[3，4）．【分析】（1）根據p為真命題，分離參數得到k≥（x2+2x）max＝3，得到答案；（2）根據題意得到命題p和q一真一假，分兩種情況p為真，q為假時和當q為真，p為假時，求出參數的取值范圍．【解答】解：（1）當命題?p為假命題時，命題p為真命題，p：?x∈[﹣1，1]，x2+2x≤k，當x∈[﹣1，1]時，x2+2x∈[﹣1，3]，∴k≥（x2+2x）max＝3，即k≥3；∴實數k的取值范圍為[3，+∞）．（2）∵命題p和q中有且僅有一個是假命題，∴命題p和q一真一假，當命題q為真命題時，Δ＝4k2﹣4（3k+4）≥0，解得k≤﹣1或k≥4，①當命題p為真，命題q為假時，，解得3≤k＜4，②當命題q為真，命題p為假時，，解得k≤﹣1，綜上，實數k的取值范圍為（﹣∞，﹣1]?[3，4）．19．（12分）記不等式ax+b＞0的解集為A，不等式（ax﹣b）（x﹣a）≥0的解集為B．（1）設a∈R，b＝﹣2a，求A；（2）若A＝（﹣∞，1），求B．【考點】一元二次不等式及其應用．【答案】（1）當a＞0時，A＝{x|x＞2}，當a＝0時，A＝?，當a＜0時，A＝{x|x＜2}．（2）當a＜﹣1時，B＝{x|a≤x≤﹣1}，當a＝﹣1時，B＝{﹣1}，當﹣1＜a＜0時，B＝{x|﹣1≤x≤a}．【分析】（1）根據b＝﹣2a，代入化簡可得a（x﹣2）＞0，分別討論a＞0、a＝0和a＜0三種情況，求得對應的集合A即可．（2）根據集合A，可得a，b的關系，代入可得（x+1）（x﹣a）≤0，分別討論a＜﹣1，a＝﹣1和﹣1＜a＜0三種情況，求得對應的集合B，即可得答案．【解答】解：（1）由a∈R，b＝﹣2a，可得ax﹣2a＝a（x﹣2）＞0，①當a＞0時，解得x＞2，②當a＝0時，無解，③當a＜0時，解得x＜2，綜上，當a＞0時，解集A＝{x|x＞2}，當a＝0時，解集A＝?，當a＜0時，解集A＝{x|x＜2}．（2）若A＝（﹣∞，1），則a＜0，且a+b＝0，即b＝﹣a，所以原式化簡為：（ax+a）（x﹣a）≥0，即（x+1）（x﹣a）≤0，①當a＜﹣1時，解得a≤x≤﹣1，②當a＝﹣1時，解得x＝﹣1，③當﹣1＜a＜0時，解得﹣1≤x≤a，綜上，當a＜﹣1時，集合B＝{x|a≤x≤﹣1}，當a＝﹣1時，集合B＝{﹣1}，當﹣1＜a＜0時，集合B＝{x|﹣1≤x≤a}．20．（12分）為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司用一條長度為1m的鐵絲，首尾相連做成一個直角三角形的海報紙，求：（1）海報紙的斜邊最短是多少？（2）若在該海報紙畫一個內切圓，則直角三角形內切圓半徑r最大值是多少？【考點】基本不等式及其應用．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據均值不等式計算即可；（2）利用三角形內切圓的性質及基本不等式計算即可．【解答】解：（1）設該直角三角形的兩直角邊分別為：a，b，則其斜邊為，由題意可知，由，當且僅當a＝b時取得等號，即，所以，即斜邊的最小值為米；（2）由三角形內切圓的性質可知其面積S△與周長C△滿足：，由題意及（1）可知，且，當且僅當a＝b時取得等號，即直角三角形內切圓半徑r最大值是．21．（12分）設函數y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一個元素，求實數a的取值集合；（2）解關于x的不等式y＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b；（3）當a＞0，b＞1時，記不等式y＞0的解集為P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若對于任意正數t，P∩Q≠?，求的最大值．【考點】交集及其運算；一元二次不等式及其應用．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）．【分析】（1）由題設ax2+x﹣1＝0有且僅有一個根，討論參數a，結合函數性質求參數值；（2）由題設x2﹣（b+1）x+b＜0，應用分類討論求一元二次不等式的解集；（3）由題意f（x）＝ax2+x﹣b＞0在（﹣2﹣t，﹣2+t）上有解，且?t∈（0，+∞），而區間（﹣2﹣t，﹣2+t）關于x＝﹣2對稱，且區間長度為2t∈（0，+∞），進而只需保證f（﹣2）＝0得到參數a，b的數量關系，應用基本不等式“1”的代換求最值即可，注意取值條件．【解答】解：（1）由題設y＝ax2+x﹣1（a∈R），又{x|y＝0}有且只有一個元素，所以ax2+x﹣1＝0有且僅有一個根，當a＝0時，x﹣1＝0，即x＝1，則{x|y＝0}＝{1}，滿足題設；當a≠0時，Δ＝1+4a＝0，即，則{x|y＝0}＝{2}，滿足題設；所以a的取值集合為．（2）由題設ax2+x﹣b＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b，整理得x2﹣（b+1）x+b＝（x﹣b）（x﹣1）＜0，當b＜1時，解集為{x|b＜x＜1}；當b＝1時，解集為?；當b＞1時，解集為{x|1＜x＜b}；（3）由t＞0，恒有t﹣2＞﹣t﹣2，故Q≠?，y＝f（x）＝ax2+x﹣b＞0且a＞0，b＞1，故f（x）開口向上且f（0）＝﹣b＜0，故對應