浙江省91高中聯(lián)盟2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學試題

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁浙江省91高中聯(lián)盟2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．設集合，則等于（

）A． B． C． D．2．若a，，則“復數(shù)為純虛數(shù)（是虛數(shù)單位）”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（

）A．12 B．14 C．16 D．184．已知定義域為R的奇函數(shù)，滿足，且當時，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．25．若圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則下列結(jié)論正確的為（

）A．圓錐的母線長為 B．圓錐的底面半徑為C．圓錐的體積為 D．圓錐的側(cè)面積為6．如圖，在三棱錐D?ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點，則EF和AC所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．已知，，，則（

）A． B．C． D．8．在正方體中，點P滿足，且，直線與平面所成角為，若二面角的大小為，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（

）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則10．已知，對于，，下述結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．已知為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上任意一點，則（

）A． B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．12．在正三棱錐中，，，，分別為，的中點，若點是此三棱錐表面上一動點，且，記動點圍成的平面區(qū)域的面積為，三棱錐的體積為，則（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，三、填空題13．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后的圖象過原點，則m的最小值是.14．若點在冪函數(shù)的圖象上，則的值為.15．已知四面體ABCD中，，平面ACD，平面ABD，則四面體ABCD外接球的半徑是16．已知，分別是橢圓的左右焦點，P是橢圓C上一點，若線段上有且只有中點Q滿足其中O是坐標原點，則橢圓C的離心率是.四、解答題17．已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點，(1)求圓C的標準方程;(2)若過點的直線l與圓C相交于兩點，且，求直線l的方程.18．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值域;(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．某校對2022學年高二年級上學期期中數(shù)學考試成績單位：分進行分析，隨機抽取100名學生，將分數(shù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計該校高二年級上學期期中數(shù)學考試成績的第80百分位數(shù);(2)為了進一步了解學生對數(shù)學學習的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學生至少有1人成績在內(nèi)的概率.20．已知四棱錐中，，，，，，(1)求證：(2)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.21．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角的所對的邊分別為，.(1)若，求(2)求的最大值.22．已知點P在圓上運動，過點P作x軸的垂線段PQ，Q為垂足，動點M滿足(1)求動點M的軌跡方程(2)過點的動直線l與曲線E交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點，（i）求的最大值;（ii）是否存在定點T，使得的值是定值?若存在，求出點T的坐標及該定值;若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】D【分析】先解不等式求出集合，再由補集和交集的概念計算即可.【詳解】，或，則.故選：D.2．【答案】B【分析】復數(shù)為純虛數(shù)，即，且，判斷其與的推斷關系.【詳解】復數(shù)為純虛數(shù)，等價于，且，，且可推出，但，不一定得到，且，所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件．故選：B.3．【答案】B【分析】依題意可得，即可得到存在非零實數(shù)，使得，從而求出、的值，求出，最后根據(jù)數(shù)量積的坐標表示計算可得.【詳解】解：，，存在非零實數(shù)，使得，，解得，，即，.故選：B4．【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可求解.【詳解】由題可知即，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以,所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)，則當時，所以，所以故選：A5．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及圓錐的表面積公式，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式及體積公式即可求解.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線為，由于其側(cè)面展開圖是一個半圓，所以，解得，又因為圓錐的表面積為，所以表面積，解得，得母線長，所以圓錐的高，所以側(cè)面積，體積故選：C.6．【答案】B【分析】取BC的中點G，連接FG、EG，則∠EFG為EF與AC所成的角．解△EFG．【詳解】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．∵E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，∵FG//AC，EG//BD，且FG=12AC∴∠EFG為EF與AC所成的角．又∵AC=BD，∴FG=EG．又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE=90，∴△EFG為等腰直角三角形，∴∠EFG=45，即EF與AC所成的角為45°．故選B．【思路導引】本題主要考查異面直線所成的角，找角證角求角，主要是通過平移將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形．7．【答案】A【分析】化簡，利用三角函數(shù)二倍角余弦公式求得，比較大小可得，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，和b比較，綜合可得答案.【詳解】由題意得，，，由于，故，，，，綜上：，故選：A.8．【答案】C【分析】由題可得在平面上，根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得平面，進而可得在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，作于點，過點作交AD于N點，可得為二面角的平面角，設結(jié)合條件可表示出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】，且，在平面上，設，連接，，且，因為平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，又平面，平面，所以平面，設正方體的棱長為1，則可知為棱長為的正四面體，所以為等邊三角形的中心，由題可得，得，所以，又與平面所成角為，則，可求得，即在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，由平面，又平面，平面平面，且兩個平面的交線為AO，把兩個平面抽象出來，如圖，作于點，過點作交AD于N點，連接，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，，又，MN與PM為平面PMN中兩相交直線，故平面PMN，平面PMN，，為二面角的平面角，即為角，設，當M與點不重合時，在中，可求得，若M與點重合時，即當時，可求得，也符合上式，故，，，，，，令，則，當，即時等號成立，，故的最大值是故選：C.9．【答案】BD【分析】根據(jù)面面平行的判定定理可判斷A;根據(jù)線面垂直的性質(zhì)B;根據(jù)直線與平面平行的判定定理判斷C,根據(jù)平面的法向量和一向量的數(shù)量積為0，判斷D.【詳解】若，，m，時，根據(jù)面面平行的判定定理應該還需要相交于一點，才可以得到，故A錯誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，當，，有，故B正確；若，時，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，應該還需要，才可以得到，故C錯誤；當，，時，可在直線n上取,即可作為平面的法向量，在直線m上取,則有，即，而，故有，故D正確，故選：BD.10．【答案】AC【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合各選項逐一驗證即可.【詳解】對于A，，所以A正確.對于B，取，，，，所以B錯誤.對于C，當，，則，，，滿足，當，時，，由在R上的單調(diào)性知，，滿足，當，時，同理滿足，當，時，，，，，滿足，故，所以C正確.對于D，取，，，，不滿足，所以D錯誤.故選:AC.11．【答案】CD【分析】對于A，用定義即可判斷，對于B，根據(jù)焦點位置即可判斷，對于C，直接計算即可，對于D，因為為的中點，所以，設可求出的取值范圍，即可判斷【詳解】雙曲線：焦點在軸上，，，對于A選項，，而點在哪支上并不確定，故A錯誤對于B選項，焦點在軸上的雙曲線漸近線方程為，故B錯誤對于C選項，，故C正確對于D選項，設，則（時取等號）因為為的中點，所以，故D正確故選：CD12．【答案】ACD【分析】依題意可得直線垂直于動點圍成的平面區(qū)域所在的平面，當時取、、、的中點、、、，連接、、、，即可得到動點圍成的平面區(qū)域為如圖所示的矩形，求出錐體的體積與矩形的面積即可判斷A、C，同理求出時的情況，即可判斷.【詳解】解：由題意知，直線垂直于動點圍成的平面區(qū)域所在的平面，當時，正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面、、都是以為直角頂點的等腰直角三角形，所以、，，平面，所以平面，取、、、的中點、、、，連接、、、，則，所以平面，平面，所以，又三角形為等腰直角三角形，為的中點，所以，又，所以，又，平面，所以平面，則此時正三棱錐的體積，由題意可知，動點圍成的平面區(qū)域為如圖所示的矩形，且，，則該矩形的面積為，故A、C均正確；當時，正三棱錐即為棱長為2的正四面體，各個面都是邊長為的正三角形，則此時正三棱錐的體積，過點作，垂足為，設，過點作交于點，連接、，因為，，所以，又，，平面，所以平面，由題意可知，動點圍成的平面區(qū)域為如圖所示的三角形，顯然為的中點，，解得，所以，，，又，所以，即所以，所以，故B錯誤、D正確.故選：ACD13．【答案】【分析】利用函數(shù)的平移變換及點在函數(shù)的圖象上，結(jié)合三角方程即可求解.【詳解】由題意可知，平移后函數(shù)解析式為，因為函數(shù)的圖象過原點，所以，即，解得，即，又，故時，m取最小值故答案為：.14．【答案】4【分析】由冪函數(shù)的概念求出a，c，再將點代入函數(shù)解析式，求得b的值.【詳解】因為為冪函數(shù)，則，，即，又點在函數(shù)的圖象上，則，解得，所以故答案為：4.15．【答案】1【分析】根據(jù)給定的幾何體，取棱BC的中點O，再確定四面體外接球球心即可計算作答.【詳解】在四面體ABCD中，因平面，平面，則，取棱BC的中點O，連AO，如圖，則，又平面ABD，平面，則，連OD，有，因此，所以四面體ABCD外接球球心為O，半徑為1.故答案為：116．【答案】【分析】判斷點P為長軸端點的情況，點P不為長軸端點，由橢圓定義結(jié)合余弦定理、一元二次方程計算作答.【詳解】令橢圓半焦距為c，有，顯然點P不可能是橢圓長軸左端點，當點P為橢圓長軸的右端點時，即，取，顯然點Q在線段上，并滿足，而點Q不一定是線段的中點，因此點P不是橢圓長軸的端點，在中，不妨設，當Q為中點時，而O是的中點，則，，，由，得，由余弦定理得，，線段上的點Q滿足，令，，在中，，顯然，即，解得或，因線段上有且只有中點Q滿足，于是得，即，則，所以橢圓C的離心率.故答案為：17．【答案】(1).(2)或.【分析】（1）求出直線的中垂線方程，結(jié)合圓心在x軸上，求得圓心和半徑，即可求得圓的方程;（2）利用圓的幾何性質(zhì)求得圓心到所求直線的距離，討論直線斜率是否存在，存在時，設出直線方程，利用點到直線的距離可求得斜率，即得答案.【詳解】（1）設圓C的標準方程為，其中，半徑為，記線段AB中點為D，則，又直線AB的斜率為，故線段AB中垂線CD方程為，即，由圓的性質(zhì)，圓心在直線CD上，得，所以圓心，，所以圓C的標準方程為；（2）因為直線l與圓C相交的弦長，圓心到直線l的距離，當直線l的斜率不存在時，l的方程，此時，不符合題意，舍去.當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則l的方程，即，由題意得，解得或，故直線l的方程為或，即或，綜上直線l的方程為或18．【答案】(1)(2)【分析】（1）換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域；（2）換元，分離參變量，根據(jù)不等式求解恒成立問題.【詳解】（1）因為定義域為，則，設，則，所以值域為.（2）因為，所以，設，則，原問題化為對任意，，即，因為當且僅當即時，取等號，即的最小值為3，所以19．【答案】(1)115；(2).【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的概念結(jié)合頻率分布直方圖求解即可；（2）由分層抽樣可知，內(nèi)抽取2人，內(nèi)抽取3人，分別列出所有基本樣本點，利用古典概型求解即可.【詳解】（1）由，可得樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學考試成績在110分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為（2）由題意可知，分數(shù)段的人數(shù)為人，分數(shù)段的人數(shù)為人用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，則需在內(nèi)抽取2人，分別記為a，b，內(nèi)抽取3人，分別記為x，y，z，設“從樣本中抽取2人，至少有1人分數(shù)在內(nèi)”為事件A，則樣本空間為，共包含10個樣本點，而事件，包含7個樣本點，所以，即抽取的這2名學生至少有1人成績在內(nèi)的概率為.20．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明線面垂直，從而得到線線垂直；（2）利用幾何法找到線面所成角進而求解或者利用空間向量求解.【詳解】（1）在梯形ABCD中，，，，，可算得，,所以,所以，在中，，，滿足，所以，又平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，又因為平面PBD，所以；（2）由證明可知，平面PBD，因為平面ABCD，則平面平面ABCD，取BD中點O，連OP，OC，因為，所以，而平面ABCD，且平面平面，平面PBD，所以就是PC與平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，計算可得，所以，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為解法由證明可知，平面PBD，因為平面ABCD，則平面平面ABCD，通過計算可得，建立以，為x軸，y軸的正方向，以過D與平面ABCD垂直的向量為在z軸的正方向建立如圖空間直角坐標系，顯然z軸再平面PBD中且垂直于BD，則，，，，所以，，，設平面PBD的法向量為，則，即取，設直線PC與平面PBD所成角為，則，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為21．【答案】(1);(2)【分析】（1）選①，由正弦定理邊化角，結(jié)合，可推出，求得答案；選②，當時，代入已知得，，利用兩角和差正弦公式，即可求得答案；（2）選①，由正弦定理邊化角可推出，可得，繼而，利用二倍角公式化簡得，采用換元令，化簡為，求得答案;選②,利用三角恒等變換和角公式以及二倍角公式化簡，可得到，以下同選①解答.【詳解】（1）若選①，由正弦定理可得，，當時，代入得，，整理可得，，在中，，所以，所以，即，又C為三角形內(nèi)角，所以，所以若選②，當時，代入得，，即