海南?？谑?025−2026學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

海南海口市2025?2026學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B．C． D．2．以下函數(shù)中最小值為的是（

）A． B．C． D．3．已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．4．在中，已知，，，以的一邊所在的直線為軸，其它兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．5．某學(xué)校興趣小組有女生56人，男生63人，按性別進行分層，用按比例分配的分層隨機抽樣從該興趣小組中抽取一個容量為的樣本，已知抽取男生為18人，則（

）A．16 B．18 C．34 D．366．已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知，，則（

）A．3 B．7 C．11 D．158．若函數(shù)在上有最大值沒有最小值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知，，則（

）A．B．若，則C．若，則D．若，則10．已知，且，，則（

）A． B．C． D．11．如圖，在直三棱柱中，，，點為線段的中點，點為線段上的動點（不含端點），則（

）A．存在點，使得平面B．不存在點，使得平面C．使直線與平面所成的角最大的點有兩個位置D．當點為的中點時，三棱錐的外接球半徑最小三、填空題12．集合，，則_________________.13．正四面體中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值__________.14．若函數(shù)有且僅有4個零點，則的取值范圍是__________.四、解答題15．在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且．（1）求；（2）求的面積.16．如圖，四棱錐中，，，，，，是的中點．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．17．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）某賽區(qū)有80個參賽名額，為遴選參賽選手，該賽區(qū)組織了預(yù)賽，共有1000名學(xué)生報名參賽，賽區(qū)按預(yù)賽成績由高到低排序，取前80名學(xué)生入圍全國聯(lián)賽（決賽）．據(jù)了解，本次預(yù)賽的缺考率為20%，為了解本次預(yù)賽的成績情況，主辦方剔除缺考學(xué)生成績后，隨機抽取了部分考生的成績（滿分100分）作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)用樣本估計總體．（1）求圖中的值并估計本次考試的平均分（不含缺考學(xué)生成績）；（2）試估計該賽區(qū)全國聯(lián)賽（決賽）入圍分數(shù)線．18．已知，．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，求邊上的高的最大值．19．把一副三角板按圖1所示拼接，是公共邊，，，，，將沿翻折至，使得二面角為直二面角（如圖2）．（1）證明：平面；（2）若、、、四點在同一球面上，求該球的表面積；（3）求平面與平面所成角的正切值．20．限幅函數(shù)，與的圖象存在三個公共點、、．（1）解關(guān)于的不等式；（2）求的取值范圍；（3）求面積的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】.2．【答案】D【詳解】對于選項A，當時，，所以最小值不是，故A錯誤；對于選項B，由得，函數(shù)沒有最小值，故B錯誤；對于選項C，，由，得，故C錯誤；對于選項D，，因為，所以，即當時，，故D正確.3．【答案】A【詳解】由題干可知，角終邊上的點坐標為，即，，因此：，代入余弦公式得.4．【答案】C【詳解】在中，，由勾股定理可得：，以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得圓錐的底面半徑，母線長，圓錐表面積為底面積與側(cè)面積之和：底面積，側(cè)面積，因此總表面積.5．【答案】C【詳解】由題意得，，得6．【答案】D【詳解】由題意得，在上的投影向量為7．【答案】C【詳解】因為，所以.又，故.8．【答案】B【詳解】時，，因為在上有最大值沒有最小值，所以，解得9．【答案】AC【詳解】已知，，選項A.，正確.選項B.若，則，解得，錯誤.選項C.若，則，，正確.選項D.若，則，解得，錯誤.10．【答案】CD【詳解】由得，所以，A錯誤；由得，即；又因為，解得，所以B錯誤，C正確；因為，由得，所以，D正確.11．【答案】ABD【詳解】解法一：對于A，取的中點，連接，當為的中點時，，平面，平面，所以平面，又因為，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面，故A正確；對于B，因為三棱柱是直三棱柱，，設(shè)，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，設(shè)因為，所以，設(shè)為平面的法向量，，所以，則，令，所以，若平面，則存在實數(shù)使得，即，方程組無解，故不存在滿足條件的點，故B正確.對于C，平面的法向量為，，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，當時，最大，即最大，即僅存在一個點使直線與平面所成的角最大，故C錯誤；對于D，平面的外接圓圓心為斜邊的中點，半徑，三棱錐外接球的球心必在過且垂直于平面的直線上，設(shè)，設(shè)外接球的半徑為，則，且，所以，，由，可得：，解得：，將代入可得：，當時，取得最小值，此時點為線段的中點，故D正確.解法二：不妨設(shè)，設(shè)為的中點.對于A，同法一知A正確；對于B，假設(shè)存在點，使因為平面，所以.又易知平面，且平面，所以.直線，平面，故平面，又因為平面，從而.設(shè)為的中點，在等腰直角三角形中，過的中點且垂直于的直線平行于，并與交于其中點，所以只能為.再設(shè)為的中點，為的中點.由三角形中位線定理，所以四邊形為平行四邊形.又，所以四邊形為平行四邊形.于是，故四邊形為平行四邊形，從而，，側(cè)面是正方形，其兩條對角線與垂直.若，則由可得.在平面內(nèi)，過點作的垂線只有一條，故應(yīng)與重合.這樣點應(yīng)為與的交點，與為的中點矛盾.因此不存在滿足條件的點，B正確.對于C，設(shè)直線與平面所成的角為.因為是點在平面內(nèi)的正投影，所以在直角三角形中，其中為定值，且，所以最大等價于最小.又所以最小等價于最小.在底面內(nèi)作，垂足為.因為，所以直角三角形為等腰直角三角形，且在線段內(nèi).由垂線段最短，且垂足唯一，僅當重合時最小.因此使直線與平面所成的角最大的點只有一個位置，C錯誤.對于D，設(shè)為三角形的外心.由于三角形是以為直角頂點的等腰直角三角形，所以為的中點，且設(shè)為的中點，則是在平面內(nèi)的正投影，且.三棱錐的外接球球心必在直線上.先說明在線段上.若在射線的反向延長線上，設(shè)，則.在直角三角形和中，所以與矛盾.若在線段過點的延長線上，設(shè)，則.又因為在線段上，，所以仍與矛盾.因此在線段上.設(shè)，則.設(shè)外接球半徑為，由勾股定理，兩式相等，得從而右式隨的增大而增大，所以當且僅當，即重合時，取得最小值.即當為的中點時，三棱錐的外接球半徑最小，D正確.12．【答案】【詳解】集合，，則.13．【答案】/【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，取中點為，連接，因為為的中點，所以，所以（或其補角）就是異面直線與所成的角，又是正中線，所以，又是正中線，所以，在中，，又因為異面直線夾角范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.14．【答案】/【詳解】函數(shù)有且僅有4個零點等價于在上有4個不同的解，根據(jù)二倍角公式，代入方程得，令，當時，，，計算的判別式：，說明恒有兩個不相等實根，當時，每個值對應(yīng)的2個不同解，當，每個值僅對應(yīng)的1個解，故的兩根均屬于，要使有兩根需滿足：，代入計算解得：，，，而恒成立，則取值范圍為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由可得，又由正弦定理，，因，，則，解得.（2）由正弦定理，，則得，因為，則，則，又因，則，所以的面積為.16．【答案】（1）取的中點，連接，因為是的中點，所以，又，所以，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面；（2）【詳解】（1）略.（2）因為，，，所以，所以，所以，又，，平面，所以平面，又，所以為等邊三角形，所以，所以三棱錐的體積．17．【答案】（1），71（2）88【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，各組頻率之和為1，組距為10，所以，解得，則本次考試的平均分為：.（2）實際參考人數(shù)為（人），入圍比例為，由頻率分布直方圖可知，成績在的頻率為，成績在的頻率為，因為，所以入圍分數(shù)線位于內(nèi)，設(shè)入圍分數(shù)線為，則，即，解得，即該賽區(qū)全國聯(lián)賽（決賽）入圍分數(shù)線約為88.18．【答案】（1）最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【詳解】（1）因為，所以函數(shù)的最小正周期，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，得，即，因為為銳角三角形，所以，則，所以，即，設(shè)邊上的高為，由三角形面積公式得：，即，所以，由余弦定理，得，當且僅當時等號成立，此時取得最大值為4，所以的最大值為，即邊上的高的最大值為.19．【答案】（1）因為二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，又，平面，所以平面；（2）（3）2【詳解】（1）略.（2）取的中點，由（1）知平面，又平面，所以，又，所以為三棱錐的外接球的球心，又，所以，又，所以，所以三棱錐的外接球的半徑，所以該球的表面積為；（3）取的中點，過作于，連接，因為，所以，又平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以為平面與平面所成的角，由（2）知，所以，又，所以，又為的中點，又，所以，在中，，所以平面與平面所成角的正切值為2．20．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1），當時，，解得，所以，當時，，解得，所以，當時，，解得，所以，綜上，；（2）若，，此時與的圖象無交點，不合要求，舍去；若，同一坐標系內(nèi)，畫出與的圖象，如