2026年全國高中數學聯賽預賽試題-云南省

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Bb5C215CxbBxbAC中元素的最小值 zz1

z2 的最小值

fx

ax2x1在1,2上恒正，則實數a的取值范圍 a 2 ABCD

EF

ABAC

BE2EF3EFBCD 在ABC中,若三邊滿足a2b26c2,則cotAcotBtanC的值

ab

a1,

2a

7a2kb

ka

數k的取值范圍 兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆.第一個使兩顆骰子點數和不小于6者為勝,否則,由另一人投擲.則先投擲人的獲勝概率為 在邊長為12的正三角形中有n個點，用一個半徑為

2解答題:3小題,56分.3131

fx

03131

36(20分aa3

2n1a

,n2

n

log2anxx的最大整數PAGE261頁/287(20分l0,3M的軌跡方程

關注公眾號★全科y24xPQ的垂直平分線.lPQM,三、證明題:三、證明題:40分.(請將圖畫在答題區域PAGE262頁/287ABCOAOBCPAPB

ABAC

DEBECDQBAC60°OPQ三點共線關注公眾號★全科四、證明題關注公眾號★全科四、證明題:40分PAGE263頁/287abca2b2c2abc4.證明

15b c a PAGE264頁/2872026年全國高中數學聯賽預賽試題-云南省-填空題(8864分0

Bb5C215CxbBxbAC中元素的最小值

2.2.zz1，則z24x45x25x401xCxb15,b0,x0b4時b45B4,5bb又5C0log5a1,A1,5s2故最小值為2s 得s2816由s28833s288s44于是z2 s t2s28 s 4所以z zz z44z解:z1ti,sz21t21.已知函數fxlogax2x1在1,2上恒正，則實數a的取值范圍 a 2 28 綜上a153g1a10,g24a31aa0a1gxax2x1a1時,gx12上遞增,0a1,fx00gx112上遞增,g11a30得agx1ax2x1a1,則fx0gx1ABCDEFABACBE2EF3EFBCD EFABC,ABCBCDBC所以 s故EFAE BE2,ABAE2sEF3,3AEAE s5在等邊三角形ABD中DE2AD2AE22ADAEcos60°25915DF219.DEF為腰長193其面積為S 319 3DEF為腰長193其面積為S 319 323答案 3

的值 2因此cotA2因此cotAcotBtanC2Sab ab ab6c, 6c2 答案:2a2b22S/a2b2c2/又tanC故cotAcotB a2c2,cotBb2c2有cotA解:設三角形面積為S 關注公眾號★全科

ab

a1,

2a

7a2kb

ka

數k的取值范圍 即即7k72k28k所以2k215k7因2k215k72k1k2k 2kb→展開7ka7a故7a2kbkab0,a a→→cos故故7k兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆.第一個使兩顆骰子點數和不小于6者為勝,否則,由另一人投擲.則先投擲人的獲勝概率為 兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆.第一個使兩顆骰子點數和不小于6者為勝，否則，由另一人投擲.則先投擲人的獲勝概率為 解:6的概率為p6的情況為2解:6的概率為p6的情況為234對應情況數:123436,所以失敗概率q10 p1q先投擲者獲勝的概率為:pq2pq4p1 11 的最小值 32233,3因為其中心到頂點距離為39的小正三角形每邊三等分,93的小正三角形共有123410個分點/10個點為圓心，作半徑為33的小正三角形,都能被其三個頂點為圓心、半徑3的圓覆蓋129解:1.1112的大正三角形內,作一個同中心、邊平行的正三角形,91210個半徑為311個點,由抽屜原理,必有兩個點落在同一個圓中,即可被一枚半徑為32.10取a則23a在大三角形中放入一個邊長為3a21的小正三角形,9a10個分點/這些點中任意兩點的距離都至少為a72而半徑為323,解答題:3小題,56分.3131

03131

36(1)fx312xxfx所以因此 , (2)解不等式3x312x令t31則則t12x,xt3t3t即3t32t75因式分解3t32t75t33t29t而3t29t25所以t30，即t312x兩邊立方得12x27x因此不等式的實數解集為(20分aa3

2n1a

,n2

n

log2anxx的最大整數kk3 nn3于是aS n3n1 2n所以通項公式為an2n因為log3anlog32n n1log2n2n1設Sna1a2an由題意,n2時2n1n所以S a nn3nSa3,因此S3 先有n10199故log3an4950346n 1n 4n l0,3M的軌跡方程

y24xPQ的垂直平分線.lPQM,Y3l0,3MX,Y,故kY3lPQ的垂直平分線,所以kYy2 y 2xy1y2y1y2弦PQ的斜率為MPQ的中點，因此Yy1上x11,x22PQy2Myx2又因為M是拋物線弦的中點,需要滿足X ,代入可得X1x1Y證明題:40分.(請將圖畫在答題區域ABCOAOBCPAPB

ABAC

DEBECDQBAC60°OPQ三點共線ACb,AB由切線弦定理由切線弦定理,PABACBPACPAB中,PAsinPBAsinBb PDAPB的平分線ADPAb PAsinCc 又同一條角平分線交ACEAEPAc 于 PBcc PA bbQCD由(1)得BD ,ADbcb b由(2)得CE ,AEbcb bACD中,BQE由梅涅勞斯定理,ABDQCEBDQC

BQE代入AB bc c2/b

b2/b bc/b 得 bbcCQbbc ROPAB,RABBAC60°，所以圓心角BOCOBC中,OBCPBC共線,所以sinOBP1AP是切線，所以OAAPROPAOPBOPOP,

ABOP的距離比

而 而AOP

OABOP1OBBPsinOBP1OBBP11OB OAOBAR1OA(1)ADb (5),ABDR1OB2AP2b b b

PA PAc PDAPB的角平分線 PABPBsinPABsinACBc因此由梅涅勞斯定理的逆定理可知PQRROP,PRPO。因此Q故OPQ設aBCbCAc由BAC60°,得a2b2c2bc.(1)DEPQ由于AP是外接圓在A點的切線,由切線弦定理和正弦定理bbbcb BPCQDRPCQD由346所以由角平分線定理,ADPA 同理,AEPAc PB PBC的外分線上,P0b2c2QBECDBE的方程為cxbzCD的方程為bxcy聯立得Qbcb2c2OA60°,所以Oab2cbc2bc, 即Oa2b2cbc2bPQP0b2c2Qbcb2c2可得c2yb2z2bcx將Oa2b2cbc2b(2)，得c2b2cbb2c2bc2bc其中最后一步用到了(1)OPQ的方程,所以OP證明題:40分abca2b2c2abc4.證明 b3 15b c a xa2b2c2qabbccarxr先估計前三項。由柯西不等式 a2

a2b2c2 abcbcaca