2026年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題-廣東省

PAGE100頁(yè)/2872026年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題-填空題(880分設(shè)Sa:a22026,Ta:關(guān)于x的一元二次方程x24xa0有整數(shù)根}.則ST的元素個(gè) x2log2xlog3x2

,則xy 2412友之間恰好隔了3名小朋友，則共 種配對(duì)的方法在平面直角坐標(biāo)系中,

A30B30,M

MAMB6,Mn1a0a1,ana02026a1對(duì)k1,2,,n1，有ak1 .2akak則正整數(shù)n的最大值 ABCDAB3BC2.ABCDACDABC.DABC的體積最大時(shí),直線AC,BD所成角的余弦值 6 設(shè)整數(shù)1aaa100，則l1的最小可能值 注:[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)

l1al四個(gè)互不相等的復(fù)數(shù)z1z2z3z4的實(shí)部和虛部都是非負(fù)整數(shù),z1z2z3z4 則z1z2z3z4 A10B23C22.過(guò)Ax2y21 2PQ,

的取值范圍 設(shè)H是銳角三角形ABC的垂心,三角形

ABHBCHCAH2,3,4,則三角形ABC3a26a 解答題(11,123a26a

設(shè)ABCD是一個(gè)凸四邊形,DCABE.

BEAB,BDADACBC1AB,CD

513.(1)證明:0ba1abab內(nèi)分母最小的分?jǐn)?shù)是唯一的(分母必須是1的分?jǐn)?shù))；(2)m2abmm

ab

mm1

b

m證明:abm14.有100名乒乓球選手參加一次單打聯(lián)賽，每?jī)扇俗疃啻蛞粓?chǎng)，每一場(chǎng)比賽都會(huì)分出勝負(fù).都恰勝了一場(chǎng).求比賽場(chǎng)數(shù)的最大可能值.2026年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題-廣東省-填空題(880分1.設(shè)Sa:a22026,Ta:關(guān)于x的一元二次方程

x24xa0}.S

d非負(fù)454d2450d7,8d,8a42 ,故a形如4 ,這里d是整數(shù), x24xa0x,a4x答案:8T的元素都是整數(shù),S4544,45,T的條件2.已知log2xlog3ylog5x ,則xy 2,2,y 3，因此xy 6t單調(diào)遞減及f112a1x 2 3由ft 5 52 3 解:設(shè)logxa,則x2,y3,xy5,故 ,因答案 62412答案:解:1,2,...,24,4(24意義下),4的余數(shù)分組答案:解:1,2,...,24,4(24意義下),4的余數(shù)分組,每一組(例如,1,5,9,13,17,21號(hào)小朋友)只能在他們內(nèi)部配對(duì),2種配對(duì)方式(15913,172112159,1317),2416種在平面直角坐標(biāo)系中,

A30B30,M

MAMB6,M答案:答案:1y42x218y2x418x245y1t9x28,M22,1M22,1t218ty2t2, xyt,則yxx2y2218y2x245n1a0a1,ana02026a1對(duì)k1,2,,n1，有ak1 .2akak則正整數(shù)n的最大值 符合題目條件.nn1014,b10140,a10130,a1012a1011a00,2a1a00不能作分母,與條件矛盾.另一方面，令a1,aa,a a,, 1k ,則 是以-2026為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.如k2.bk 解:(2)答案:ABCDAB3BC2.ABCDACDABC.DABC的體積最大時(shí),直線AC,BD所成角的余弦值 故故EF 13, 13 13.設(shè)直線ACBD, 如下圖建立空間直角坐標(biāo)系,由勾股定理知AC13,BEDF 13,AFCE 解:DABC的體積最大時(shí),DABC的距離最大,DABC上,ADCABC垂直97DBDB6 1a

l1

的最小可能值 注:[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)

l1alaa1a3a8a15a29a57,a100時(shí)ll1 ll b59.另一方面,l6 6 l9,9l1 l l答案:9解:令b ,bl1,i2,34,56, abl bl13,b1b2,b61時(shí)取到,l322222296矛盾.因 b14

的實(shí)部和虛部都是非負(fù)整數(shù),則z1z2z3

z1z2z3z4

答案:答案:1201.z1z2z3z4的模長(zhǎng)的平方都是正整數(shù)2026210131013是素?cái)?shù),1z1z2z3z41,剩余兩個(gè)模長(zhǎng)分別為2和1013.11i,模長(zhǎng)為21i,模長(zhǎng)為10132223i2322i,無(wú)論哪種情況,均有z1z2z3z4 1201A10B23C22.過(guò)Ax2y21 2PQ,

的取值范圍 22PR1,3,BPPR O00R20,OAAR1OA2APAQ,APRQ共圓,OPOQORPORQPxPRQ上,故RPRQRPRQRO213.BRCy軸的直線上,且按此順序排列,PRBQRC,RPRQ3RBRCPRBCRQ,2213,HABC的垂心,接圓的面積

ABHBCHCAH2,3,4,則三角形ABCAHBCD,tanCBDADBDSABH1 AD 故R2 6,因此外接圓面積為R23569 1ABACsinAABCR,3 6,sinCtanAtanBtanCtanAtanBtanC得9k24k3,故k 6,因此tanA36,故sinA 27.同理可tanCSABH2,tanA3ktanB4ktanC2k.【題目】設(shè)H是銳角ABC的垂心,三角形ABH,BCH,CAH的面積分別為2,3,4，則ABC外接圓的 1:HABC的垂心 ––– AHBCAHHCHB ––– –– HAHBHAHCHBHC HAHBcosCHAHCcosBHBHCcosA cosA:cosB:

234,

sinC:sinA:sinBtanC:tanA:tanB2:3:4 HAHBsinC: HCsinA: HAHC tanA3ktanB4ktanC2kk0

––→ 則3k2k4k,k 618k

tanAtanBCtanBtanC1

,sinB

116k2

,sinC

14ksinAsinBsinC

3 6 39 又 12R2RsinAsinBsinC9,則186R2

,R235

SR23562:如圖,由題知

B00Ca0AAm,n,Hm,n 3 1an9an18 12nm2mn6,ma BH33CA3nBHCA0,n–––––→–– 則 0,n ,a346又tanBAD3 , 63.2R34 34SR2703563563a26a 解答題(11,123a26a

an1an14an(10分bnan1,bn1bn14bn(15分n0a1112,b00,b11,bn23同理有a2 aa2解答:將 2a13a26a4移項(xiàng),兩邊平方并整理 n1 aa22a3 (5分 n1 2a30an12an1,an1,an1ann1 ,x4a2xa2a30的兩個(gè)根,an23 (20分設(shè)ABCD是一個(gè)凸四邊形,DCABE.

BEAB,BDADACBC1AB,CD

5(20分2105k29k24 k2兩邊平方并去分母整理得85k4234k2171(15分k2k23k257(舍k23xx為根的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)符號(hào)相反 xx一正一負(fù),符合題意因此tanAEDk 由此可得x1x2解答以ABO為原點(diǎn),OEx軸正方向,1AB為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系,A20B20E60,BDADACBC2,由雙曲線的第二定義可知,CDx 1上 (5分CDykx6,k2x623x21CDx1(10分k2105k2k再由CD 5AB5知xx4 13.(1)證明:0ba1abab內(nèi)分母最小的分?jǐn)?shù)是唯一的(分母必須是1的分?jǐn)?shù))；(2)m2abPAGE104頁(yè)/287mm

ab

mm1

ba

m

證明:abm解答(1):ab內(nèi)有分?jǐn)?shù)，由最小數(shù)原理知存在分母最小的分?jǐn)?shù)假設(shè)這樣的分?jǐn)?shù)不唯一,auvb m是正整數(shù),uv是整數(shù),

u,vm

都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)

(10分由1bau1u m2um1,um11,,u1m1m個(gè)正整數(shù)則um1msu1m故u u1,這說(shuō)明a,b內(nèi)有以m1為分母的分?jǐn)?shù),與假設(shè)矛盾 m 因此假設(shè)不成立,原題結(jié)論得證 (20分(2) 1 2 m2m2m1 mm

mm

(30分且1 1 m11, mm mm1 mk

m21k1,2,,m2,m mm mm mk1km1km21k1,2,,m m mm mm m因此開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)必然包含1 ,2 ,,m2,m2,m1中的至少一個(gè)數(shù)mm

mm

m PAGE105頁(yè)/287abm(40分14.有100名乒乓球選手參加一次單打聯(lián)賽，每?jī)扇俗疃啻蛞粓?chǎng)，每一場(chǎng)比賽都會(huì)分出勝負(fù).都恰勝了一場(chǎng).求比賽場(chǎng)數(shù)的最大可能值.解:我們先證明,8名選手兩兩比賽過(guò)事實(shí)上,8名選手兩兩比賽過(guò),那么他們之間的比賽中,必有一人勝利的場(chǎng)數(shù)不少于失敗的場(chǎng)數(shù),A1,4場(chǎng).A142A2,A22A3A4,A1A2A3A4就不滿足題目條件,矛盾因此不存在8名選手兩兩比賽過(guò) (10分1001472152145,C22C25C2 時(shí),由Turan定理,必然存在8名選手兩兩比賽過(guò),矛盾.因此比賽場(chǎng)數(shù)不可能超過(guò) (20分下面我們證明,7名選手兩兩比賽的一種結(jié)果,使得他們滿足題述條件.7A1A2,A7AiAi1Ai2Ai4Ai3Ai5Ai6(7處理43名選手之間的比賽都不是每人恰勝一場(chǎng)，也就是有一人勝了另外兩人.考慮其中勝場(chǎng)最多的選手X,如果X不是全勝,那么設(shè)XY,Y的總勝場(chǎng)數(shù)小于等于X