2027屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)

2027屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)目

錄CONTENTS01必備知識基礎(chǔ)落實(shí)02關(guān)鍵能力精準(zhǔn)突破課標(biāo)

解讀1.會比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小.2.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

知識點(diǎn)一

比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法關(guān)系方法作差法作商法

a

＞

b

a

－

b

＞0

a

＝

b

a

－

b

＝0

a

＜

b

a

－

b

＜0知識點(diǎn)二

不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性

a

＞

b

?

?；

a

＜

b

?

?可逆?zhèn)鬟f性

a

＞

b

，

b

＞

c

?

?；

a

＜

b

，

b

＜

c

?

?同向可加性

a

＞

b

?

a

＋

c

＞

b

＋

c

可逆可乘性

a

＞

b

，

c

＞0?

?；

a

＞

b

，

c

＜0?

?

c

的符號同向可加性

a

＞

b

，

c

＞

d

?

?同向b

＜

a

b

＞

a

a

＞

c

a

＜

c

ac

＞

bc

ac

＜

bc

a

＋

c

＞

b

＋

d

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意同向同正可乘性

a

＞

b

＞0，

c

＞

d

＞0?

?同向同正可乘方性

a

＞

b

＞0，

n

∈N*?

an

＞

bn

同正可開方性同正ac

＞

bd

一、辨析正誤（在括號內(nèi)畫“√”或“×”）（1）

a

＞

b

?

ac2＞

bc2.

（

×

）（2）

a

＝

b

?

ac

＝

bc

.

（

×

）（3）一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小.

（

×

）×××二、版本互鑒1.（蘇教版必修第一冊P50T7改編）實(shí)數(shù)

x

，

y

滿足

x

＞

y

，則下列不等式成立的是

（

）B.2－

x

＜2－

y

C.lg（

x

－

y

）＞0D.

x2＞

y2答案：B2.（人教B版必修第一冊P63T3改編）若

a

＞

b

＞0，

c

＜

d

＜0，則一定有（

）答案：B3.（人教A版必修第一冊P38例1改編）已知

x

≠0，則（

x2＋1）2與

x4＋

x2＋1的大

小關(guān)系為

.答案：（

x2＋1）2＞

x4＋

x2＋14.（人教A版必修第一冊P43T5改編）已知2＜

a

＜3，－2＜

b

＜－1，則2

a

－3

b

的

取值范圍是

.答案：（7，12）

考點(diǎn)1

比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小

（自悟通）1.已知

x

＝－

a2－2

a

＋3，

y

＝4－3

a

，則（

）A.

x

＜

y

B.

x

＝

y

C.

x

＞

y

D.

x

與

y

的大小無法判斷

2.設(shè)

a

＞1，且

m

＝log

a

（

a2＋1），

n

＝log

a

（

a

－1），

p

＝log

a

（2

a

），則

m

，

n

，

p

的大小關(guān)系為（

）A.

n

＞

m

＞

p

B.

m

＞

p

＞

n

C.

m

＞

n

＞

p

D.

p

＞

m

＞

n

B

解析：當(dāng)

a

＞1時(shí)，易知

a2＋1＞2

a

，再由以

a

為底對數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞

增的性質(zhì)可知

m

＞

p

，又∵（

a2＋1）－（

a

－1）＝

a2－

a

＋2恒大于0（二次項(xiàng)系

數(shù)大于0，根的判別式小于0，函數(shù)值恒大于0），即

a2＋1＞

a

－1，再由以

a

為底對

數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增的性質(zhì)可知

m

＞

n

，又∵當(dāng)

a

＞1時(shí)2

a

顯然大于

a

－1，同上，可知

p

＞

n

.綜上

m

＞

p

＞

n

.故選B.3.已知

a

＝1816，

b

＝1618，則

a

與

b

的大小關(guān)系為

.

答案：

a

＜

b

比較兩個(gè)數(shù)（式）大小的兩種方法考點(diǎn)2

利用不等式的性質(zhì)比較大小

（自悟通）【例1】

（1）（多選）已知實(shí)數(shù)

a

，

b

，

c

滿足

c

＜

b

＜

a

且

ac

＜0，則下列不等式

一定成立的是（

）A.

ab

＞

ac

B.

c

（

b

－

a

）＞0C.

ac

（

a

－

c

）＜0D.

cb2＜

ab2ABC

解析：因?yàn)?/p>

c

＜

b

＜

a

且

ac

＜0，所以

c

＜0，

a

＞0，所以

ab

＞

ac

，故A選項(xiàng)一定成立；又

b

－

a

＜0，所以

c

（

b

－

a

）＞0，故B選項(xiàng)一定成立；又

a

－

c

＞0，

ac

＜0，所以

ac

（

a

－

c

）＜0，故C選項(xiàng)一定成立；當(dāng)

b

＝0時(shí)，

cb2＝

ab2，當(dāng)

b

≠0時(shí)，有

cb2＜

ab2，故D選項(xiàng)不一定成立，故選ABC.（2）已知｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，則下列不等式一定成立的是（

）A.

m

＞

n

B.｜

m

｜＋

n

＞0C.

m

＋

n

＜0B

解析：對于A選項(xiàng)，若

m

＝－2，

n

＝1時(shí)，滿足｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，而不滿足

m

＞

n

，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)

n

＞0時(shí)，則｜

m

｜＋

n

＞0一定成立，當(dāng)

n

＜0時(shí)，由｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，得｜

m

｜＞－

n

，則｜

m

｜＋

n

＞0，所以B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若

m

＝2，

n

＝1時(shí)，滿足｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，而不滿足

m

＋

n

＜0，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，若

m

＝－2，

n

＝－1時(shí)，

判斷不等式成立常用的3種方法（1）直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要

特別注意前提條件.（2）利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.（3）利用函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指

數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

1.若2

m

＞2

n

，則下列結(jié)論一定成立的是（

）B.

m

｜

m

｜＞

n

｜

n

｜C.ln（

m

－

n

）＞0D.π

m－

n

＜1B

解析：由2

m

＞2

n

，可取

m

＝2，

n

＝1，可得ACD不成立.

2.若

a

，

b

，

c

為實(shí)數(shù)，且

a

＜

b

，

c

＞0，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A.

a

＋

c

＜

b

＋

c

C.

ac

＞

bc

D.

b

－

a

＞

c

考點(diǎn)3

利用不等式性質(zhì)判斷正誤

（精研通）【例2】

（1）（多選）設(shè)

a

＜

b

＜

c

，且

a

＋

b

＋

c

＝0，則（

）A.

ab

＜

b2B.

ac

＜

bc

（2）下列對不等關(guān)系的判斷，正確的是（

）C.若ln

a2＞ln

b2，則2｜

a｜＞2｜

b｜D.若tan

a

＞tan

b

，則

a

＞

b

（1）判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明.（2）在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，可結(jié)合不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

1.若

a

，

b

，

c

，

d

∈R，且

a

＞

b

，

c

＞

d

，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

a

＋

c

＞

b

＋

d

B.

a

－

c

＞

b

－

d

C.

ac

＞

bd

A

解析：對于A，設(shè)

a

，

b

，

c

，

d

∈R，且

a

＞

b

，

c

＞

d

，根據(jù)同向不等式的可

加性知

a

＋

c

＞

b

＋

d

，故A正確；對于B，令

a

＝2，

b

＝0，

c

＝3，

d

＝0，可知B

不正確；對于C，D，令

a

＝－1，

b

＝－2，

c

＝－1，

d

＝－2，可知C，D不正確.2.（多選）已知0＜

a

＜

b

＜1，則下列不等式中成立的是（

）B.ln

a

＜ln

b

C.

a3＜

b3

考點(diǎn)4

利用不等式性質(zhì)求范圍

（精研通）【例3】

（1）（多選）已知3＜

a

＜6，1＜

b

＜5，則（

）C.

a

－2

b

∈（－4，1）D.

a

－2

b

∈（－7，4）（2）若－2＜

a

＜

b

＜3，－2＜

c

＜0，則

c

（

a

－

b

）的取值范圍是

.

（2）由－2＜

a

＜

b

＜3，得

b

－

a

＞0，且－2＜

a

＜3，－2＜

b

＜3，∴－3＜－

a

＜

2，由不等式的性質(zhì)可得－5＜

b

－

a

＜5，∴0＜

b

－

a

＜5.∵－2＜

c

＜0，∴0