2026年高中數學強基計劃 模擬卷（11題版）（含解析）

1/22026年高中數學強基計劃模擬卷（考試時間：180分鐘）一、填空題1．在中，的最小值為.【答案】【分析】根據余弦定理結合基本不等式計算結合換元法計算得出最小值.【詳解】由余弦定理及均值不等式，，所以.于是由正弦定理，原式.令，則.當且僅當，即時等號成立，故原式的最小值為.故答案為：3.2．已知，則．【答案】，【分析】利用和差化積公式化簡求解即可，注意集合的互異性.【詳解】∵∴由和差化積公式得：∴∴∴或當時，或，，此時，不滿足集合的互異性，故舍去，當時，，，∴，，滿足題意∴，故答案為：，.3．函數的值域是．【答案】【分析】將函數變形為，則表示拋物線上的點到點和x軸的距離之和，由幾何意義即可得到答案．【詳解】將變形可得，設，則的軌跡方程為，設，則表示拋物線上的點到點A和x軸的距離之和，過點作軸于，過點作軸于，交拋物線于點，故用所以.故答案為：.4．求．【答案】【分析】利用復數加法的幾何意義求解.【詳解】注意到，而我們易得，所以．故答案為：．5．已知，則該方程所有實根個數與所有實根乘積的比值為.【答案】12【分析】采用三角換元，令，代入題干中的式子解得或或，即可求出答案.【詳解】令.則，

即，即，由于，所以或或或.解得或或或（舍）.因而其全部解為或或.由題意知，所求值為：故答案為：12.6．的所有極值點依次為的，則．【答案】【分析】先證明的所有極值點恰為其導函數的零點，然后研究在上的零點的性質，即可得到結果.【詳解】由于，而當時，所以的極值點都不小于.同時，由于當時，有，即.假設，則，得.但，矛盾，所以，故.這表明，的全體極值點就是的全體零點.由于題目所求的是，而在有限區間上只有有限個零點，故我們可以只考慮在上的零點.此時，若，則由，知，從而由，知.而對有，，其符號總是恒定的，所以在上單調.結合，，知.這表明，當時，的零點均落入某個，且在每個上恰有一個零點.設上的零點為，則.而，，故.而，故.同理有.所以.這就得到，所以.故答案為：.7．在平面直角坐標系內，，，若的面積不超過3，則滿足條件的整點M個數為．【答案】60【分析】設，由題意可得直線OA的方程為，表示出的面積，設，，則代入化簡討論即可.【詳解】設，直線OA的方程為，即，，設，則，，代入并化簡得，當時，三點不能組成三角形，舍去；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；當時，，，有5個整點；根據對稱性，當時，也分別有5個整點．∴共有60個整點．故答案為：60【點睛】關鍵點點睛：此題考查點到直線的距離公式的應用，解題的關鍵是根據題意表示出的面積，由的面積不超過3，列不等式討論，考查分類討論的思想和計算能力，屬于較難題.8．已知數列滿足，則最接近的整數為.【答案】4【分析】令，將原遞推化簡為可得是以為首項，公比為的等比數列.進而得到，再根據的范圍確定的范圍即可【詳解】令，則且，原遞推即為，整理后即為，由得，即，故是以為首項，公比為的等比數列.所以.所以，另一方面，，所以，綜上所述，，所以與之最接近的整數為4.故答案為：4二、解答題9．設，滿足．(1)證明：若，則當時，．(2)若存在滿足，證明．【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）構造，求導后得到其單調性，再構造，，得到，從而證明出結論；（2）在（1）的基礎上得到結論.【詳解】（1）令，則，由于，，故，即，又，，，故，由于在上單調遞減，故，所以恒成立，所以在上單調遞增，設，，則，令，，則在上恒成立，故在上單調遞減，故，故，所以在上單調遞減，由于，，故，即，故，即；（2）存在滿足，即在上有根，由（1）可得與等號成立的條件均為故若存在滿足，則有.【點睛】構造函數證明不等式或比較大小，是高考常考題目，需要將不等式變形為同種結構或常見的不等式，如或，再構造出適當的函數進行求解.10．如圖，是的外接圓，是弧（不含）上一點，為弧的中點.為線段上一點，過作的平行線交于點，過作的平行線交于點，過作的平行線交弧于點.已知上的點滿足被平分.證明：.【答案】證明見解析【詳解】設是弧的中點，，分別與交于點，.由知，，，共圓.由知，，，共圓，即，，，，五點共圓.注意，同理可知與相似.因此，即.由平分可知：因此.即是的平分線，結合可知是的垂直平分線，故.11．設的定義域為，且對，，及，有(1)（），，及，證明：.(2)設，證明：.【答案】(1)證明過程見解析.(2)證明過程見解析.【分析】（1）結合題目條件，用數學歸納法證明.（2）令，先根據得出，；再根據題目條件得出整理可得；同理得出；最后根據不等式的傳遞性即可得證.【詳解】（1）證明：用數學歸納法證明：由題意可知：對，，及，有，故當時，不等式成立.假設不等式對，時成立，即（），，及，有.則當，時，取（），，若某個