【暑假拔高訓(xùn)練】七年級(jí)全等三角形綜合尖子生培優(yōu)系列 專題01“K”字模型的綜合應(yīng)用（原卷版）（北師大版）

專題01“K”字模型的綜合應(yīng)用模型說明應(yīng)用：①通過證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問題；②做輔助線構(gòu)造“k”字型，題目比較綜合。題型精講例1.（基本模型）在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．例2.（作輔助線構(gòu)全等）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，求△BCD的面積．例3.（外“K”字型與內(nèi)“K”字型）在中，，，點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)EC．（1）如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，如圖1：求證：（2）如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)寫出AC與CE的位置關(guān)系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點(diǎn)E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系，請(qǐng)你寫出證明過程．（3）如果點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，利用圖3畫圖分析，（2）中的結(jié)論是否仍然成若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．例4.（培優(yōu)綜合）已知：中，，，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，連接．求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，連接交直線于，若，請(qǐng)求出的值．遷移應(yīng)用1．如圖，在中，平分，交于點(diǎn)D，于T．若，，則___________．2．如圖，在中，以為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．連接為邊上的高線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有____________(填序號(hào))．3．如圖，在中，是銳角，以為斜邊在內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若F為的中點(diǎn)，，，則______．4．（1）問題：如圖①，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求證：；（2）問題：如圖②，在三角形中，，是上一點(diǎn)，，且．求的值．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．【感知】（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，易證△ADC≌△CEB（不需要證明），進(jìn)而得到DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為．【探究】（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE＝AD－BE．（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，直接寫出DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系．6．探究：（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．請(qǐng)直接寫出線段BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展：（2）如圖（2），將探究中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．應(yīng)用：（3）如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請(qǐng)直接寫出△DEF的形狀是．7.通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）8．已知和是兩個(gè)等腰直角三角形，.連接，是的中點(diǎn)，連接、．(1)如圖，當(dāng)與在同一直線上時(shí)，求證：；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：．9．（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫出此題答案：的長(zhǎng)為________．（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)，在的邊、上，，點(diǎn)，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）10．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）11．如圖，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當(dāng)