材料力學（I）（第5版）課件 單輝祖 第1-5章 緒論、軸向拉壓應(yīng)力 -彎曲內(nèi)力

第

1

章緒論第

1

章緒論

材料力學的研究對象與任務(wù)

材料力學的基本假設(shè)

材料力學的基本概念本章主要介紹：2§1

材料力學的任務(wù)§2

材料力學的研究對象§3

材料力學的基本假設(shè)§4

外力與內(nèi)力§5

應(yīng)力§6

應(yīng)變§7

胡克定律§8

桿件的變形形式3§1材料力學的任務(wù)

工程實例

構(gòu)件的強度、剛度與穩(wěn)定性

材料力學的任務(wù)4

工程實例埃菲爾鐵塔鐵塔承受風載的計算簡圖鐵塔變形示意圖5Tacoma海峽大橋(美國Tacoma市)Tacoma

海峽新橋因設(shè)計不良1940年破壞6Tacoma大橋破壞過程點擊畫面7Tacoma橋受壓壁板的破壞形式加筋板由平直（原有平衡形式）變彎或斷裂加筋板8

構(gòu)件的強度、剛度與穩(wěn)定性構(gòu)件：組成機械與結(jié)構(gòu)的零、構(gòu)件變形－構(gòu)件的形狀與尺寸發(fā)生變化，包括彈性變形（可恢復變形）與塑性變形（不可恢復變形）強度－構(gòu)件抵抗破壞的能力構(gòu)件的力學響應(yīng)：構(gòu)件的承載能力：失穩(wěn)－構(gòu)件不能保持初始平衡形式

破壞－構(gòu)件發(fā)生顯著塑性變形或斷裂剛度－構(gòu)件抵抗變形的能力穩(wěn)定性－構(gòu)件保持初始平衡形式的能力9

材料力學的任務(wù)

研究構(gòu)件在外力作用下的變形與失效的規(guī)律，為合理設(shè)計構(gòu)件提供有關(guān)強度、剛度與穩(wěn)定性分析的基本理論與方法（包括試驗方法）。構(gòu)件安全工作基本條件

構(gòu)件應(yīng)具備足夠的強度、剛度與穩(wěn)定性，以保證在規(guī)定的使用條件下，不破壞、不過大變形與不失穩(wěn)。材料力學的任務(wù)構(gòu)件破壞、過大變形與喪失穩(wěn)定性,統(tǒng)稱為失效,即喪失正常功效10§2材料力學的研究對象

桿件與板件

材料力學的研究對象11

桿件與板件桿件實例12一方向尺寸遠大于其他兩方向尺寸的構(gòu)件

桿件

橫截面沿軸線不變化的桿,稱為等截面桿,否則為變截面桿橫截面與軸線相正交；軸線通過橫截面的形心

軸線為直線的桿件,稱為直桿,否則為曲桿

13中面：板件厚度的平分面板：中面為平面的板件殼：中面為曲面的板件板件薄壁圓筒：圓柱形薄壁殼一方向尺寸遠小于其他兩方向尺寸的構(gòu)件14材料力學主要研究對象是桿（包括薄壁桿）,以及由若干桿組成的簡單桿系結(jié)構(gòu),同時也研究一些形狀與受力均較簡單的板與殼（例如承壓圓柱形薄壁殼）。

一般桿系結(jié)構(gòu)與板殼問題,分別屬于結(jié)構(gòu)力學與彈性力學的研究范疇。

材料力學的研究對象15

§3

材料力學的基本假設(shè)

連續(xù)性假設(shè)

均勻性假設(shè)

各向同性假設(shè)

基本假設(shè)小結(jié)16

連續(xù)性假設(shè)

構(gòu)件內(nèi)的一些力學量（例如各點的位移與變形）可用坐標的連續(xù)函數(shù)表示.也可采用無限小的數(shù)學分析方法。

當空穴或裂紋不能忽略時,采用“斷裂力學”方法專門研究。裂紋連續(xù)性：在構(gòu)件所占有的空間內(nèi)處處充滿物質(zhì)

連續(xù)性假設(shè)不僅適用于構(gòu)件變形前,也適用于變形后,

即構(gòu)件內(nèi)變形前相鄰近質(zhì)點變形后仍保持鄰近。

17

均勻性假設(shè)微觀非均勻，宏觀均勻鋼的顯微照片灰口鑄鐵的顯微照片均勻性：材料的力學性與其在構(gòu)件中的位置無關(guān)18

各向同性假設(shè)宏觀各向異性材料晶粒－各向異性材料－宏觀各向同性纖維增強復合材料金屬材料各向同性：材料沿各個方向的力學性能相同19構(gòu)件是由連續(xù)、均勻與各向同性材料制成的可變形固體

基本假設(shè)小結(jié)連續(xù)性：構(gòu)件所占有的空間內(nèi)處處充滿物質(zhì)

（密實體）均勻性：材料的力學性能與其在構(gòu)件中的位置無關(guān)

（力學性能與位置無關(guān)）各向同性：材料沿各個方向的力學性能相同

（力學性能與受力方向無關(guān)）20

§4外力與內(nèi)力

外力

內(nèi)力與截面法

例題21

外力分布力：連續(xù)分布在構(gòu)件表面某一范圍的力集中力：當分布力的作用范圍遠小于構(gòu)件表面面積或桿長時，可簡化為作用于一點處的力F1F2外力：作用于構(gòu)件上的載荷與約束反力22靜載荷：隨時間變化極緩慢或不變化的載荷,例如重力靜載荷的特點是各質(zhì)點的加速度可忽略不計動載荷：隨時間顯著變化或使構(gòu)件各質(zhì)點產(chǎn)生明顯加速度的載荷離心力沖擊力23

內(nèi)力與截面法內(nèi)力－由于外力作用，構(gòu)件內(nèi)部相連兩部分之間的相互作用力內(nèi)力性質(zhì)－連續(xù)分布力24FN－沿橫截面軸線的內(nèi)力分量FSy,FSz－作用線位于所切橫截面的內(nèi)力分量Mx－矢量沿軸線的內(nèi)力偶矩分量My,Mz－矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩分量內(nèi)力分量將分布內(nèi)力向截面形心簡化將主矢與主矩沿坐標軸分解25

假想將桿切開,并選切開后的任一桿段為研究對象截面法確定內(nèi)力

建立所選桿段的平衡方程:

畫所選桿段的受力圖，內(nèi)力用其分量表示由此建立內(nèi)、外力間關(guān)系,或由外力確定內(nèi)力26解：例題求橫截面m-m上的內(nèi)力假想切開

畫受力圖

由平衡方程求解

例題27

§5

應(yīng)力

應(yīng)力概念

正應(yīng)力與切應(yīng)力

例題28

應(yīng)力概念截面m-m上DA內(nèi)的平均應(yīng)力截面m-m上k

點處的應(yīng)力應(yīng)力定義應(yīng)力特點

應(yīng)力是矢量

同一橫截面上,不同點處的應(yīng)力一般不同

過同一點,不同方位截面上的應(yīng)力一般不同29

正應(yīng)力與切應(yīng)力應(yīng)力分解應(yīng)力

p

的法向分量－正應(yīng)力

s

應(yīng)力單位（Pa－Pascal

帕）（M－Mega

兆）應(yīng)力

p

的切向分量－切應(yīng)力

t30解：

例題例

題

矩形截面桿,正應(yīng)力沿截面高度線性分布,沿寬度均勻分布,st,max=sc,max,求橫截面上的內(nèi)力。

半截面內(nèi)力

向形心C簡化31

§6

應(yīng)變

正應(yīng)變概念

切應(yīng)變概念

例題32

正應(yīng)變概念棱邊ka方位的平均正應(yīng)變k點沿棱邊ka方位的正應(yīng)變

正應(yīng)變是無量綱量

過同一點不同方位的正應(yīng)變一般不同33

切應(yīng)變概念微體相鄰棱邊所夾直角的改變量,稱為切應(yīng)變

切應(yīng)變是無量綱量

切應(yīng)變單位是弧度（rad）

過同一點不同方位的切應(yīng)變一般不同∠34

例題例題解：35

§7

胡克定律

應(yīng)力狀態(tài)與切應(yīng)力互等定理

胡克定律

剪切胡克定律

例題36

應(yīng)力狀態(tài)與切應(yīng)力互等定理

單向應(yīng)力狀態(tài)（單向受力）純剪切狀態(tài)兩種基本應(yīng)力狀態(tài)僅在微體一對平行截面上存在正應(yīng)力微體互垂截面僅存在切應(yīng)力37在微體互垂截面上,垂直于截面交線的切應(yīng)力數(shù)值相等,方向則均指向或離開該交線,稱為切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理38

胡克定律實驗表明：當正應(yīng)力

s

不超過一定限度時，比例系數(shù)E,稱為彈性模量,其值由試驗測定引進比例系數(shù)E,得對于鋼與合金鋼E=200～220GPa稱為胡克定律39

剪切胡克定律實驗表明：當切應(yīng)力

t

不超過一定限度時,引進比例系數(shù)G,得比例系數(shù)G,稱為切變模量,其值由試驗測定對于鋼與合金鋼G=75～80GPa稱為剪切胡克定律40

例題例題圖示板件,邊寬為a,已知

Ds=

a/1000,G=80GPa,

試求板邊切應(yīng)力t。解：g雖很小,但

G很大,切應(yīng)力

t

不小g為一很小的量,所以41

§8

桿件的變形形式

基本變形形式

組合變形形式42

三種基本變形形式桿件的整體變形,有三種基本形式在作用線沿桿軸的外力作用下，桿件軸向伸長或縮短以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為

軸向拉壓軸向拉壓43扭轉(zhuǎn)以橫截面繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)為主要特征的變形形式，稱為

扭轉(zhuǎn)在作用面垂直于桿軸的外力偶作用下，各橫截面繞軸線相對旋轉(zhuǎn)44彎曲在垂直于桿軸的外力或矢量垂直于桿軸的外力偶作用下，桿件軸線由直線變?yōu)榍€以軸線變彎為主要特征的變形形式，稱為彎曲45

組合變形形式基本變形－軸向拉壓，扭轉(zhuǎn)，彎曲組合變形－由兩種或三種不同基本變形組成的變形形式拉扭組合彎扭組合00例如拉扭、彎扭、彎拉與彎拉扭等組合變形46本章結(jié)束！47第

2

章軸向拉壓應(yīng)力

本章主要研究：第2章軸向拉壓應(yīng)力

拉壓桿的內(nèi)力、應(yīng)力與強度計算

材料在拉伸與壓縮時的力學性能

拉壓桿連接部分的強度計算

49§1

引言§2

軸力與軸力圖§3

拉壓桿的應(yīng)力§4

材料拉伸力學性能§5

材料拉壓力學性能進一步研究§6

應(yīng)力集中§7

拉壓強度條件§8

剪切與擠壓50§1

引言

軸向拉壓實例

軸向拉壓及其特點51

軸向拉壓實例52

軸向拉壓及其特點外力特征：外力或其合力作用線沿桿件軸線變形特征：軸向伸長或縮短，軸線仍為直線軸向拉壓:

以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式拉壓桿:

以軸向拉壓為主要變形的桿件53§2軸力與軸力圖

軸力概念

軸力計算

軸力圖

例題54

軸力概念符號規(guī)定：拉力為正,壓力為負軸力定義：通過橫截面形心并沿桿件軸線的內(nèi)力分量55

軸力計算試分析桿的軸力要點：逐段分析軸力；設(shè)正法求軸力（F1=F，F(xiàn)2=2F）56

軸力圖在x-FN平面內(nèi),軸力沿桿軸變化的圖線,稱為軸力圖以橫坐標

x

表示橫截面位置,以縱坐標

FN

表示軸力,繪制軸力沿桿軸的變化曲線。57例

題圖示螺紋桿,承受軸向載荷F,畫桿的軸力圖解：1.計算簡圖載荷集度為設(shè)AD段的外力沿桿軸均勻分布

例題58AD段：2.軸力分析DB段：3.軸力圖AD段：DB段：直線水平直線59例題用拉力F起拔地樁,地基對地樁的摩擦力集度q(x)沿桿軸線性變化,最小值q0,最大值3q0,試畫地樁的軸力圖解：1.載荷集度分析軸力圖為二次曲線2.軸力分析60§3拉壓桿的應(yīng)力

拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

圣維南原理

例題61

拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

橫線仍為直線

橫線仍垂直于桿軸

橫線間距增大1.試驗觀察62軸向拉壓變形交互式動畫,演示軸向拉力或壓力及其大小變化下桿的變形或通過按鈕632.假設(shè)變形后,橫截面仍保持平面,仍與桿軸垂直,僅沿桿軸相對平移

–

拉壓平面假設(shè)3.正應(yīng)力公式橫截面上各點處僅存在正應(yīng)力，并沿橫截面均勻分布設(shè)想桿件是由無數(shù)縱向“纖維”所組成，根據(jù)上述假設(shè)，桿內(nèi)各“纖維”的伸長變形相同，且橫截面上各點處均無切應(yīng)變。

設(shè)想桿由無數(shù)縱向“纖維”所組成,各纖維的伸長變形相同,橫截面上各點處的正應(yīng)力相同,且均無切應(yīng)變。

64橫截面間纖維縱向變形相同斜截面間纖維縱向變形相同斜截面上的應(yīng)力均勻分布

拉壓桿斜截面上的應(yīng)力1.斜截面應(yīng)力分布652.斜截面應(yīng)力公式a-以x軸為始邊,逆時針轉(zhuǎn)向者為正t-外法線On沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90,與該方向同向的切應(yīng)力為正66

圣維南原理圣維南原理力作用的分布方式,只影響桿端局部的應(yīng)力分布,影響區(qū)約距桿端1~2倍桿件寬度應(yīng)力均布區(qū)非均布區(qū)非均布區(qū)67

例題例題

F=50kN,A=400mm2,試求斜截面

m-m上的應(yīng)力

解：68§4

材料拉伸力學性能

拉伸試驗與應(yīng)力－應(yīng)變圖

低碳鋼拉伸力學性能

卸載與再加載規(guī)律

材料的塑性69

拉伸試驗與應(yīng)力－應(yīng)變圖拉伸試樣與試驗裝置70

一般金屬材料的拉伸力學性能s0.2-名義屈服應(yīng)力

延伸率大,均為塑性材料

并非均有屈服階段

無屈服階段材料塑性金屬材料拉伸CD//OA71拉伸試驗與應(yīng)力－應(yīng)變圖應(yīng)力－應(yīng)變圖72

低碳鋼的拉伸力學性能拉伸４階段低碳鋼Q235sb-強度極限sp-比例極限ss-屈服應(yīng)力滑移線73卸載與再加載規(guī)律e

p－塑性應(yīng)變s

e－彈性極限e

e－彈性應(yīng)變冷作硬化：由于預(yù)加塑性變形,使s

e

或s

p提高的現(xiàn)象O1C//OA74材料的塑性

延伸率－塑性程度指標l－試驗段原長（標距）Dl0－試驗段殘余變形

塑性

材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力75

斷面收縮率塑性材料：d

≥5%例如結(jié)構(gòu)鋼與硬鋁等脆性材料：d

<5%例如灰口鑄鐵與陶瓷等A

－試驗段橫截面原面積A1－斷口的橫截面面積

塑性與脆性材料76§5材料拉壓力學性能

進一步研究

一般金屬材料拉伸力學性能

復合與高分子材料的力學性能

材料壓縮力學性能

溫度對力學性能的影響77

一般金屬材料的拉伸力學性能塑性金屬材料拉伸s0.2-名義屈服應(yīng)力

延伸率大,均為塑性材料

并非均有屈服階段

無屈服階段材料CD//OA78灰口鑄鐵拉伸斷口與軸線垂直79

復合與高分子材料的力學性能纖維增強復合材料高分子材料各向異性,線彈性,脆性材料延伸率差別極大

80

材料壓縮力學性能低碳鋼壓縮灰口鑄鐵壓縮(sb)c=3~4(sb)t斷口約為45°宜作為承壓構(gòu)件愈壓愈扁81

材料力學性能總結(jié)

82

溫度對力學性能的影響中碳鋼硬鋁材料強度與彈性常數(shù)（E,G）一般隨溫度升高而降低83據(jù)分析,由于大量飛機燃油燃燒,溫度高達1200C,組成大樓結(jié)構(gòu)的鋼材強度急劇降低,致使大廈鉛垂塌毀案例大廈受撞擊后,為什麼沿鉛垂方向塌毀？點擊畫面911－世貿(mào)中心塌毀84§6

應(yīng)力集中

應(yīng)力集中概念

應(yīng)力集中對構(gòu)件強度的影響85

應(yīng)力集中與應(yīng)力集中因數(shù)由于截面急劇變化引起應(yīng)力局部增大現(xiàn)象－應(yīng)力集中應(yīng)力集中圓孔半徑愈小,應(yīng)力局部增大現(xiàn)象即應(yīng)力集中愈嚴重86應(yīng)力集中因數(shù)smax－最大局部應(yīng)力sn－名義應(yīng)力d－板厚87

應(yīng)力集中對構(gòu)件強度的影響

應(yīng)力集中促使疲勞裂紋的形成與擴展,對構(gòu)件（塑

性與脆性材料）的疲勞強度影響極大

對于塑性材料構(gòu)件,當smax達到ss

后再增加載荷,s

分布趨于均勻化,不影響構(gòu)件靜強度

對于脆性材料構(gòu)件,當

smax=sb

時,構(gòu)件斷裂88§7拉壓強度條件

極限應(yīng)力與許用應(yīng)力

軸向拉壓強度條件

例題89

極限應(yīng)力與許用應(yīng)力材料靜荷失效形式－屈服與斷裂脆性材料：塑性材料：根據(jù)分析計算所得構(gòu)件應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力n≥1安全因數(shù)脆性材料：塑性材料：極限應(yīng)力許用應(yīng)力屈服應(yīng)力與強度極限，統(tǒng)稱為材料的極限應(yīng)力su對于由一定材料制成的具體構(gòu)件,工作應(yīng)力的最大容許值,稱為許用應(yīng)力90

軸向拉壓強度條件保證拉壓桿不致因強度不夠而失效的條件校核強度

已知桿外力、A與[s],檢查桿能否安全工作截面設(shè)計

已知桿外力與[s],確定桿所需橫截面面積確定承載能力已知桿A與[s],確定桿能承受的FN,max常見強度問題類型強度條件-變截面變軸力拉壓桿-等截面拉壓桿912.應(yīng)力計算3.確定直徑

例題例題

圖示吊環(huán),最大吊重

F=500kN,許用應(yīng)力[s]=120MPa,夾角a=20°,試確定斜桿的直徑

d。解：1.軸力分析92例題

A1=A2=100

mm2,[st]=200

MPa,[sc]=150

MPa,試

求載荷F的許用值解：93例題

已知

l,h,F,AC為剛性梁,斜撐桿的許用應(yīng)力為

[s],為使桿

BD重量最輕,試求q的最佳值。解：94解：取微段分析其受力與平衡各橫截面具有同樣強度的立柱－等強度柱例

題

圖示立柱,材料密度為r,為使各橫截面的應(yīng)力均

等于[s],試確定橫截面的變化規(guī)律。

95§8

剪切與擠壓

連接實例

剪切與剪切強度條件

擠壓與擠壓強度條件

例題96

連接實例耳片銷釘螺栓97剪切強度條件：tu-剪切強度極限假設(shè)：剪切面上的切應(yīng)力均勻分布剪切面切應(yīng)力公式：

剪切與剪切強度條件剪力FS：作用線位于橫截面且通過截面形心的內(nèi)力分量98

擠壓與擠壓強度條件擠壓破壞－在接觸區(qū)的局部范圍內(nèi),產(chǎn)生顯著塑性變形擠壓應(yīng)力－擠壓面上的應(yīng)力擠壓面－連接件間的相互擠壓接觸面最大擠壓應(yīng)力：擠壓強度條件：sbs-擠壓強度極限dd－擠壓面在徑向平面的投影面積99

例題例題

已知

d

=

2mm,b=15mm

,d=4mm,[t]

=100MPa,[sbs]=300

MPa，[s]=160

MPa，試求許用載荷。解：1.失效形式分析1002.許用載荷確定

1012.許用載荷確定

102例題

F=45

kN;d

=

10mm,b=250mm,h=

100

mm,l=100

mm;順木紋方向,[t]

=

1MPa,[sbs]

=

10

MPa,[s]

=

6

MPa；試校核桿端強度。解：1.受力分析表面aa－擠壓,截面cd－拉應(yīng)力最大,截面ab－剪切103剪切強度：擠壓強度：拉伸強度：2.強度校核104例題

F=80

kN,d

=

10

mm,b=80

mm,d=

16

mm,[t]

=

100MPa,[sbs]

=

300

MPa,[s]

=

160

MPa,校核接頭強度解：1.接頭受力分析

研究表明：當各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同,且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影,通過鉚釘群剪切面形心時,通常即認為各鉚釘剪切面上的剪力相等1052.強度校核

鉚釘剪切強度：

鉚釘與孔邊擠壓強度：

板的拉伸強度：106本章結(jié)束！107塑性變形前塑性變形后塑性變形前、后多晶粒金屬的晶粒變化108第

3

章軸向拉壓變形第

3

章軸向拉壓變形

本章主要研究：

軸向拉壓變形分析的基本原理

簡單拉壓靜不定問題分析

熱應(yīng)力與初應(yīng)力分析

110

§1

拉壓桿的變形

§2

節(jié)點位移與小變形

§3

應(yīng)變能概念

§4

簡單拉壓靜不定問題

§5

熱應(yīng)力與初應(yīng)力

111§1

拉壓桿的變形

軸向變形與胡克定律

橫向變形與泊松比

例題112

軸向變形與胡克定律分析基礎(chǔ)－胡克定律

比例極限內(nèi),正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比E－彈性模量,應(yīng)力-應(yīng)變圖直線段的斜率值軸向變形

拉壓桿沿軸線方位的變形橫向變形

拉壓桿垂直軸線方位的變形113軸向變形基本公式

EA－桿截面的

拉壓剛度

Dl－伸長為正,縮短為負在比例極限內(nèi),拉壓桿的軸向變形Dl,與軸力FN及桿長l成正比,與乘積EA成反比－仍稱胡克定律114軸向變形一般公式

n－總段數(shù)FNi－桿段

i

的軸力

變截面變軸力桿

階梯形桿115

橫向變形與泊松比拉壓桿的橫向變形泊松比試驗表明：在比例極限內(nèi),e’

e,并異號,m－泊松比

Db－桿的橫向變形－桿的橫向正應(yīng)變b－桿的寬度引入比例常數(shù)m,得116

例題例題

已知

l=54mm,di=15.3mm,E=200GPa,m=

0.3,

擰緊后,AB

段Dl=0.04mm,試求螺栓s,Dd與受力。解：1.

螺栓橫截面正應(yīng)力2.螺栓橫向變形

3.螺栓受力117例

題圖示螺紋桿,承受軸向載荷F,橫截面面積為A,彈性模量為E,試計算螺紋桿的軸向變形。解：1.計算簡圖載荷集度為設(shè)AD段的外力沿桿軸均勻分布118桿段AD：2.軸向變形分析桿段DB：結(jié)論：119例

題圖示橢圓形截面桿,承受軸向載荷F作用。已知彈性常數(shù)E與m，試計算桿件的體積改變量。

解：展開并略去高階小量120§2

節(jié)點位移與小變形概念

節(jié)點位移分析

小變形概念

例題121

節(jié)點位移分析1.軸力與變形分析

圖示桁架,桿1與2分別用鋼與松木制成。F

=

10

kN;E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

10

GPa,A2

=

4000

mm2。試求節(jié)點

A的水平與鉛垂位移。122

圓弧法

切線代圓弧法2.作圖法求節(jié)點位移3.節(jié)點位移計算用切線或垂線代替圓弧作圖123

小變形概念小變形：與結(jié)構(gòu)原尺寸相比為很小的變形應(yīng)用：在小變形條件下,通常即可：

按結(jié)構(gòu)的原有幾何形狀與尺寸,計算約束反

力與內(nèi)力

采用切線代圓弧的方法確定節(jié)點位移124例

題

F1

=

F2

/

2

=

F，求截面

A

的位移DAy解：1.計算FN與Dl

例題3.位移計算2.畫變形圖剛體EA由Dl與C點垂線確定C’,再由BC’延長線與A點垂線AA’確定A’125解：1.計算FN與Dl3.位移計算2.畫變形圖例

題圖示桁架,承受載荷F作用,各桿EA相同,求節(jié)點A的位移。

由Dl1與Dl2確定B’

；A點鉛垂線與A2水平線相交,確定A’126解：例

題梁BD為剛體,承受F作用,各桿E相同,

A1=2A2=2A3,

求C點位移，

過B1作水平直線,過B作桿2垂線,二者相交于B’,代表剛桿的水平位移

過D1作水平直線,取,D’即節(jié)點D的新位置

取,過C1作鉛垂線,與軸線B’D’相交于C’,此即中點C的新位置127§3

應(yīng)變能概念

應(yīng)變能與功能原理

外力功與應(yīng)變能計算

拉壓與剪切應(yīng)變能

例題128

應(yīng)變能與功能原理應(yīng)變能與外力功

彈性體因變形而儲存的能量－應(yīng)變能

Ve

外力在變形過程中所作之功－外力功

W

功能原理成立條件：載荷由零逐漸緩慢增大,彈性體的動能與熱能等的變化均可忽略不計。

根據(jù)能量守恒定律，彈性體因變形所儲存的應(yīng)變能，數(shù)值上等于外力所作的功彈性體功能原理129

外力功與應(yīng)變能計算

線彈性桿的外力功

線彈性拉壓桿的外力功與應(yīng)變能130

拉壓與剪切應(yīng)變能單位體積內(nèi)應(yīng)變能－應(yīng)變能密度拉壓應(yīng)變能密度剪切應(yīng)變能密度131

例題解：1.

軸力分析例題用能量法計算DBy2.應(yīng)變能計算3.位移計算132解：例題承載剛性桿AB,由鋼絲、光滑滑輪支持。鋼絲產(chǎn)生單位軸向變形所需之力為k,試求端點B的鉛垂位移DB鋼絲應(yīng)變能：外力功：功能原理：133例

題

圖示隔振器，鋼桿與鋼套可視為剛體，橡皮的切變模量為G

。求橡皮管內(nèi)的應(yīng)力

t

與鋼桿的位移

D。解：1.應(yīng)力分析1342.應(yīng)變能計算3.位移計算135§4

簡單拉壓靜不定問題

靜不定概念

拉壓靜不定問題分析

例題136

靜不定概念

靜不定度未知力數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差增加桿AD,增加一未知力兩個未知力,兩平衡方程

靜不定問題僅由平衡方程不能確定全部未知力的問題

靜定問題僅由平衡方程即可確定全部未知力的問題

靜不定問題特點存在多余桿件或約束，于是靜定變?yōu)?/p>

靜不定,同時限制了各桿變形,使其相互關(guān)聯(lián)137

拉壓靜不定問題分析

建立平衡方程

建立補充方程補充方程變形協(xié)調(diào)方程

聯(lián)立求解求解思路多余約束使各桿變形滿足一定關(guān)系138

平衡方程

補充方程

聯(lián)立求解－變形協(xié)調(diào)方程E1A1=E2A2求解算例－補充方程139綜合考慮三方面

外力與FNi

滿足靜力平衡方程

各

Dli

之間滿足變形協(xié)調(diào)方程

Dli

與FNi

間滿足給定物理關(guān)系（如胡克定律）（靜力、幾何與物理）靜不定問題求解與內(nèi)力的特點

內(nèi)力不僅與載荷有關(guān),而且與截面剛度有關(guān)

一般講,對于桿i,

EiAi

加大,FNi也加大內(nèi)力特點：140

例題例題求兩端固定桿的支反力解：聯(lián)立求解式(a)與

(b)一度靜不定141解：

畫變形圖與受力圖注意受力圖與變形圖協(xié)調(diào)

伸長～拉力；縮短～壓力例題已知

F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

MPa，

A1=A2。試問

A1=?A2=?

建立平衡方程

建立補充方程142

截面設(shè)計

內(nèi)力計算聯(lián)立求解平衡方程與補充方程結(jié)構(gòu)條件：A1=

A2143例題圖示桁架,承受水平載荷F作用,桿1長l,各桿各截面EA相同,

試計算各桿軸力。

求解

節(jié)點A存在雙側(cè)約束,只能水平移動。解：問題分析

設(shè)節(jié)點A位移至A’,各桿均伸長,

未知力3個,獨立平衡方程兩個,一度靜不定。各桿均受拉。聯(lián)立求解,得144例題圖示桁架,承受鉛垂載荷F作用,各桿各截面EA

相同,桿3長度為

l,a=45o,試求各桿的軸力。

分析：A,B兩節(jié)點,4平衡方程,5未知軸力,一度靜不定。節(jié)點C下移,桿1

3均受拉；變形協(xié)調(diào)方程為節(jié)點B隨之下移,桿4,5均受壓145解：變形協(xié)調(diào)方程為利用胡克定律,得補充方程為根據(jù)節(jié)點B與C的平衡,得

聯(lián)立求解平衡方程與補充方程,得并從而有

146§5

熱應(yīng)力與初應(yīng)力

熱應(yīng)力與初應(yīng)力概念

例題147

熱應(yīng)力與初應(yīng)力概念引起應(yīng)力的非力學因素1.溫度變化2.桿長制造誤差強致安裝后兩端固定桿,溫度變化DT兩端固定桿,制造誤差d148熱應(yīng)力與初應(yīng)力

由于桿長制造誤差或溫度變化,結(jié)構(gòu)在未受載時即已存在的應(yīng)力,分別稱為初應(yīng)力與熱應(yīng)力

在靜不定結(jié)構(gòu)中,各桿段或各桿的軸向變形必須服從變形協(xié)調(diào)條件,因此,溫度變化或桿長制造誤差,一般將引起應(yīng)力

由于桿長制造誤差或溫度變化，靜不定結(jié)構(gòu)將可能存在熱應(yīng)力與初應(yīng)力－靜不定結(jié)構(gòu)特點

由于桿長制造誤差或溫度變化，靜定結(jié)構(gòu)將發(fā)生外形改變,但不會引起熱應(yīng)力與初應(yīng)力－靜定結(jié)構(gòu)特點149

例題例題桿1溫度升高

DT,求

FN1,FN2與支座

C

反力解：1.畫變形圖2.畫受力圖注意分清哪一段是彈性變形

Dl,哪一段是熱膨脹

dT注意軸力

FN與軸向變形

Dl的協(xié)調(diào)3.建立平衡方程1504.建立補充方程5.聯(lián)立求解151例

題結(jié)構(gòu)左右對稱,桿3誤差d,試建立平衡與補充方程解：畫變形圖畫受力圖

建立平衡與補充方程

152例

題AC為剛體,各桿EA相同,熱脹系數(shù)al,桿1長度誤差d,桿2溫度

升高DT,并承受載荷F作用,試求各桿軸力。

設(shè)剛梁位于直線AB’C’位置,則且均為伸長變形,各桿均受拉解：153解：變形協(xié)調(diào)方程為利用胡克定律,得補充方程為根據(jù)節(jié)點B與C的平衡,得

聯(lián)立求解平衡方程與補充方程,得并從而有

154本章結(jié)束！155e’e橫向應(yīng)變e’與軸向應(yīng)變e156第

4

章扭轉(zhuǎn)第

4

章扭轉(zhuǎn)

圓截面軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形

圓截面軸的扭轉(zhuǎn)強度與剛度

矩形等非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

薄壁截面軸扭轉(zhuǎn)本章主要研究：158

§1

引言

§2扭矩

§3

圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

§4

圓軸扭轉(zhuǎn)強度與合理設(shè)計

§5

圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件

§6

簡單靜不定軸

§7

非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

§8

薄壁桿扭轉(zhuǎn)159§1引言

扭轉(zhuǎn)實例

扭轉(zhuǎn)及其特點160

扭轉(zhuǎn)實例MFF

扭轉(zhuǎn)及其特點變形特征：各橫截面間繞軸線作相對旋轉(zhuǎn),軸線仍為直線－扭轉(zhuǎn)變形外力特征：作用面垂直于桿軸的力偶－扭力偶扭轉(zhuǎn)與軸：以扭轉(zhuǎn)變形為主要特征的變形形式－扭轉(zhuǎn)

以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件－軸扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩扭轉(zhuǎn)角：橫截面饒軸線間的相對角位移§2

扭矩

功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系

扭矩與扭矩圖

例題163

功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩的關(guān)系傳動軸是一種常見受扭構(gòu)件。現(xiàn)研究軸的轉(zhuǎn)速n(r/min),

所傳遞功率P(kW)與扭力偶矩M(N.m)間的關(guān)系。設(shè)角速度為

(rad/s)例:P＝5kW,n=1450r/min,則

扭矩與扭矩圖扭矩定義－矢量方向垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩，并用

T

表示符號規(guī)定－按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，

矢量方向與橫截面外法線方向一致

的扭矩為正，反之為負扭矩扭矩圖（m－軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩）試分析軸的扭矩在x

-T平面內(nèi),扭矩沿桿軸變化的圖線,稱為扭矩圖根據(jù)上述方程，畫扭矩沿桿軸的變化曲線

例題例

題

MA=76N

m,MB=191N

m,MC=115N

m,畫扭矩圖解：§3

圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè)

扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析

薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

極慣性矩與抗扭截面系數(shù)

例題168

扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)時,橫截面仍保持平面,其形狀、大小與間距均不改變,而且,半徑仍為直線,稱為扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)

當變形很小時，各圓周線的大小與間距均不改變扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)扭轉(zhuǎn)試驗

各圓周線的形狀不變,僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動從試驗、假設(shè)入手,綜合考慮幾何、物理與靜力學三方面169扭轉(zhuǎn)變形交互式動畫,演示正或負扭矩及其大小變化下圓軸的變形或通過按鈕點擊畫面170

扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析物理方面幾何方面dj

/

dx－扭轉(zhuǎn)角變化率靜力學方面應(yīng)力與變形公式－極慣性矩－抗扭截面系數(shù)公式的適用范圍：圓截面軸；

薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力假設(shè)

切應(yīng)力沿壁厚均勻分布適用范圍適用于所有勻質(zhì)薄壁桿,包括彈性、非彈性、各向同性與各向異性情況公式精度在線彈性情況下,當

d≤R0/10

時,誤差≤4.53

173

極慣性矩與抗扭截面系數(shù)

空心圓截面

實心圓截面174

例題例

題已知MC=2MA=2MB=200N·m；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解：175例

題直徑為d圓截面軸,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為t=kgn,式中,k與n為材料常數(shù),試利用平面假設(shè)建立扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式。

解：根據(jù)平面假設(shè)由靜力學可知于是得由此得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為176例題圖示托架,承受鉛垂載荷F作用。各鉚釘?shù)牟牧舷嗤?直徑均為

d,試求鉚釘?shù)淖畲蠹羟袘?yīng)力。

在分析中,視托架為剛體。解：

在F作用下,托架剛性鉛垂下移,各鉚釘?shù)募羟袘?yīng)力均為

將載荷F平移至鉚釘群剪切面形心C,得集中力F與矩為Fl的附加力偶M。

在M作用下,托架繞C點剛性轉(zhuǎn)動。設(shè)鉚釘1的剪切應(yīng)力為tM1,則鉚釘2的剪切應(yīng)力

tM2=tM1/3,從而有177§4

圓軸扭轉(zhuǎn)強度與合理設(shè)計

扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力

圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件

圓軸合理強度設(shè)計

例題178

扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力塑性材料屈服斷裂脆性材料斷裂扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)強度極限,統(tǒng)稱為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力tu圓軸扭轉(zhuǎn)屈服時橫截面上的最大切應(yīng)力－扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)斷裂時橫截面上的最大切應(yīng)力－扭轉(zhuǎn)強度極限扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)失效形式179

圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件tu－扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力n-安全因數(shù)塑性材料：[t]=（0.5~0.577）[s]

脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[st]為保證軸不因強度不夠而失效,要求軸的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力不超過扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力危險點處于純剪切狀態(tài),又有180

圓軸合理強度設(shè)計1.

合理截面形狀若

Ro/d

過大將產(chǎn)生皺褶空心截面比實心截面好2.

合理截面變化－采用變截面軸與階梯形軸注意減緩應(yīng)力集中181

例題例

題已知T=1.5kN

.

m，[t]

=

50MPa，試根據(jù)強度條件設(shè)計實心圓軸與

a

=

0.9

的空心圓軸，并進行比較。解：1.確定實心圓軸直徑2.

確定空心圓軸外徑3.重量比較空心軸遠比實心軸輕182解：1.扭矩分析例

題R0=50

mm的薄壁圓管,左、右段的壁厚分別為

d1=5mm,d2=4mm,m=3500N

.m/m,l=1m,[t]=50MPa,

試校核圓管強度。2.

強度校核危險截面：截面A與B183例

題密圈螺旋彈簧應(yīng)力分析與強度條件解：1.內(nèi)力分析密圈螺旋彈簧—螺旋升角a

很小的彈簧1842.應(yīng)力分析3.應(yīng)力修正公式4.強度條件[t]－純剪切許用切應(yīng)力185§5

圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件

圓軸扭轉(zhuǎn)變形

圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件

例題186

圓軸扭轉(zhuǎn)變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形一般公式GIp－圓軸截面扭轉(zhuǎn)剛度，簡稱扭轉(zhuǎn)剛度常扭矩等截面圓軸187

圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件[q

]－單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角

注意單位換算:

一般傳動軸，

[q

]=0.5~1

()/m188

例題例題已知：MA=180N.m,MB=320N.m,MC=140N.m,Ip=3105mm4,l=2m,G=80GPa,[q]=0.5()/m。jAC=?校核軸的剛度解：1.變形分析1892.剛度校核注意單位換算！190例題試計算圖示圓錐形軸的扭轉(zhuǎn)角解：191例題圖示密圈彈簧,由n圈彈簧絲組成,彈簧直徑為Ｄ,切變模量為

Ｇ,在拉力F作用下，試計算彈簧的軸向伸長l。解：彈簧的軸向伸長主要是彈簧絲的扭轉(zhuǎn)變形造成的。

微段ds的扭轉(zhuǎn)角與應(yīng)變能分別為根據(jù)功能原理彈簧絲的總長為

彈簧的應(yīng)變能為

192§6

簡單靜不定軸

扭轉(zhuǎn)靜不定問題分析

例題193

扭轉(zhuǎn)靜不定問題分析問題

試求圖示軸兩端的支反力偶矩問題分析未知扭力偶矩－2個，平衡方程－1個，一度靜不定194建立補充方程計算支反力偶矩聯(lián)立求解方程(a)與(b)

195

例題例題

已知

G1

=G2

=

G，Ip1=2Ip2，試求圓盤的轉(zhuǎn)角。解：1.建立平衡方程1962.建立補充方程3.扭矩與圓盤轉(zhuǎn)角聯(lián)立求解方程(a)與(b)

197例題由銅管與鋼軸組成組合軸,二者的截面極慣性矩分別為Ipc與Ips,且Ipc/Ips=b,鋼與銅的切變模量分別為Gs與Gc,且Gs/Gc=2,扭力偶矩為M,試求銅管的扭矩。解：198§7

非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

矩形截面軸扭轉(zhuǎn)

橢圓等非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

例題199

矩形截面軸扭轉(zhuǎn)

圓軸平面假設(shè)不適用于非圓截面軸試驗現(xiàn)象

截面翹曲,角點處

g為零,側(cè)面中點處

g最大200應(yīng)力分布特點

橫截面上角點處,切應(yīng)力為零

橫截面邊緣各點處,切應(yīng)力

//

截面周邊

橫截面周邊長邊中點處,切應(yīng)力最大201彈性力學解系數(shù)

a,b,g表長邊中點

t最大a

0.208

0.219

0.231

0.239

0.246

0.258

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

b

0.141

0.166

0.196

0.214

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

g

1.000

0.930

0.859

0.820

0.795

0.766

0.753

0.745

0.743

0.742

0.742

0.742

202狹窄矩形截面扭轉(zhuǎn)h－中心線總長推廣203

橢圓等非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

Wt,

It的量綱分別與

Wp,

Ip相同

計算公式見《材料力學Ⅰ》的附錄D橢圓、三角形等非圓截面軸204

例題解：1.邊寬a與直徑d的關(guān)系例題

材料、橫截面面積與長度均同的兩軸,一為正方形截面,一為圓形截面。在同值扭力偶矩

M作用下,試比較tmax與扭轉(zhuǎn)變形。2.方形軸的應(yīng)力與變形4.比較圓形截面軸的抗扭性能比方形截面軸好3.圓形軸的應(yīng)力與變形解：1.閉口薄壁圓管例題試比較閉口與開口薄壁圓管的抗扭性能,設(shè)

R0＝20d2.開口薄壁圓管3.抗扭性能比較閉口薄壁桿的抗扭性能遠比開口薄壁桿好207§8

薄壁桿扭轉(zhuǎn)

開口與閉口薄壁桿

閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形

開口薄壁桿扭轉(zhuǎn)簡介

薄壁桿合理截面形狀

例題208

截面中心線－截面壁厚平分線閉口薄壁桿－截面中心線為閉合曲線的薄壁桿開口薄壁桿－截面中心線為非閉合曲線的薄壁桿

開口與閉口薄壁桿薄壁桿－壁厚遠小于截面中心線長度的桿件209

閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形假設(shè)切應(yīng)力沿壁厚均勻分布,并平行于中心線切線td

－剪流，代表中心線單位長度上的剪切力應(yīng)力公式閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力210

t與截面中心線所圍面積W

成反比

tmax發(fā)生在壁厚最薄處211根據(jù)功能原理:一般閉口薄壁桿的應(yīng)變能常扭矩、等截面閉口薄壁桿的應(yīng)變能得：式中：單元體

abcd的應(yīng)變能閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)變形212

開口薄壁桿扭轉(zhuǎn)簡介開口薄壁桿扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿截面周邊呈環(huán)流分布,力偶臂小,抗扭性能差用隔板或肋板增強，限制截面翹曲，顯著提高開口薄壁桿的抗扭性能開口薄壁桿的抗扭性能與局部增強213開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)變形與應(yīng)力計算

hi-狹長矩形截面

i

的長度

di-狹長矩形截面

i

的厚度tmax發(fā)生在最薄矩形截面邊緣開口薄壁桿可視為狹長矩形截面桿組成的組合桿,按扭轉(zhuǎn)靜不定問題求解,得各組成部分的應(yīng)力與變形。

n-狹長矩形截面的總數(shù)214

薄壁軸合理截面形狀

閉口薄壁軸中,等壁厚比變壁厚好因在周長相同的條件下,圓內(nèi)所包含的面積最大

在中心線總長相同的方形閉口薄壁軸中,

中心線為正方形者比一般矩形者好

在中心線總長相同的閉口薄壁軸中,中心線為圓形者比非圓形

者好

閉口薄壁軸,比開口薄壁軸好215判據(jù)：在中心線總長

l

相同的條件下,W大者為好結(jié)論：在中心線總長相同正四邊形中,正方形內(nèi)包含的面積

W

最大為什么正方形薄壁軸比矩形薄壁軸好216

例題例題平均半徑R0,鉚釘總數(shù)n,壁厚d

,

求鉚釘剪切力解：217例題圖示薄壁軸,軸長l,兩端承受矩為M的扭力偶作用,上、下半軸的切變模量分別為G1與G2,試計算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)角j。

解：薄壁軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式,與軸壁材料沿中心線是否勻質(zhì)無關(guān)，因此取軸長dx、夾角dq的微體,其應(yīng)變能為

因此,上、下半軸的應(yīng)變能分別為

218本章結(jié)束！219第

5

章彎曲內(nèi)力第

5

章彎曲內(nèi)力

直梁彎曲內(nèi)力

載荷與彎曲內(nèi)力間的微分關(guān)系

剛架與曲梁的彎曲內(nèi)力本章主要研究:

§1

引言

§2

梁的約束與類型

§3

剪力與彎矩

§4

剪力、彎矩方程與圖§5

FS,M

與

q

間的微分關(guān)系§6

剛架與曲梁的內(nèi)力§1

引言

彎曲實例

彎曲及其特征

彎曲實例

彎曲及其特征外力或外力偶矢量垂直于桿軸變形特征桿軸由直線變?yōu)榍€彎曲與梁以軸線變彎為主要特征的變形形式－彎曲以彎曲為主要變形的桿件－梁外力特征畫計算簡圖時，通常以軸線代表梁計算簡圖§2

梁的約束與類型

約束形式與反力

梁的類型

約束形式與反力主要約束形式與反力

固定鉸支座：支反力

FRx與

FRy

可動鉸支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy與矩為

M

的支反力偶

梁的類型

簡支梁：一端固定鉸支、另一端可動鉸支的梁

外伸梁：具有一個或兩個外伸部分的簡支梁

懸臂梁：一端固定、另一端自由的梁常見靜定梁約束反力數(shù)超過獨立平衡方程數(shù)的梁－靜不定梁§3

剪力與彎矩

剪力與彎矩

正負符號規(guī)定

剪力與彎矩計算

例題

剪力與彎矩

作用線位于橫截面并通過其形心的內(nèi)力－剪力矢量位于橫截面的內(nèi)力偶矩－彎矩分析橫向外力作用下橫截面m-m上的內(nèi)力橫截面上：一內(nèi)力，一內(nèi)力偶。外力向形心C簡化

得主矢F’R與主矩MC

正負符號規(guī)定

使微段沿順時針方向轉(zhuǎn)動的剪力為正使微段彎曲呈凹形或頂部縮短的彎矩為正

剪力與彎矩計算

在保留段上,與正FS反向的橫向力為正,與正M反向的力矩為正

解法一

解法二計算橫截面m-m上的FS與M

上述方程表明：剪力等于切開面一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和；彎矩等于該側(cè)所有外力對切開面形心之矩的代數(shù)和。

例題

例題

試計算橫截面D與A+的剪力與彎矩

解：

支反力計算

截面D的剪力與彎矩

截面A+的剪力與彎矩§4

剪力、彎矩方程與圖

剪力與彎矩方程

剪力與彎矩圖

例題

剪力與彎矩方程

FS與M

沿桿軸（x軸）變化的解析表示式－剪力方程－彎矩方程

剪力與彎矩圖在x-FS與x-M坐標面內(nèi)，剪力與彎矩沿梁軸變化的圖線,分別稱為剪力圖與彎矩圖。二次拋物線－直線

剪力方程與圖

彎矩方程與圖

例