山東煙臺市2025-2026學年第二學期高一期末自主練習+數學答案和解析

【詳解】將這組數據從小到大排列為76,78,82,84,88,共5個；∴5×60%=3,則這組數據的第60百分位數為【詳解】因為圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，所以圓錐底面半徑r=1,母線l=2,因此圓錐的側面積S=πrl=2π.【分析】由于直線a不平行于平面α,所以直線a與平面α相交或直線a在平面α內，進而可以判斷結果.【詳解】由于直線a不平行于平面α,所以直線a與平面α相交或直線a在平面α內，直線a在平面α內時，平面α內存在與a平行的直線，故A錯誤；直線a與平面α相交時，平面α內存在直線與a異面，故B錯誤；直線a在平面α內時，平面α內存在與a平行的相交，故C錯誤；直線a與平面α相交或直線a在平面α內，直線a與平面α至少存在一個公共點，故D正確.所以方【詳解】對于A,若m⊥α,m⊥n,則ncα或n/lα,故A錯誤；對于B,當α∩β=1,若取mcβ,m//1,且nca,n//1,則滿足m//a,n//β,m//n,對于C,若m⊥α,n//α,則由線面平行的性質知，存在直線lcα,使得n//l,對于D,若α⊥β,mcα,ncβ,則m,n可能平行，相交或異面，故D錯誤.【分析】本題考查古典概型概率計算，只要得到事件總數和要求的事件數即可.【詳解】從編號為1,2,3,4,5,6的六個大小完全相同的小球中，隨機取出兩個小球，共有C2=15種不同的取試卷第1頁，共12頁試卷第2頁，共12頁所以概率【分析】結合互斥事件、對立事件的定義，以及概率加法公式、獨立事件概率乘法公式，古典概型概率計算規則逐一判斷選項正誤即可.【詳解】∵拋擲兩次骰子，每次出現奇數、偶數的概率均為,且兩次拋擲結果相互獨立.事件A為兩次數字之和為偶數，等價于兩次均為奇數或兩次均為偶數，∴P(A)=P(兩次都是奇數)+P(兩次都是偶事件B為第i次數字為奇數，故對于選項A,當第一次數字為奇數、第二次數字也為奇數時，事件A與B?同時發生，∴事件A與B?不互斥，A錯誤.對于選項B,對立事件要求兩事件不能同時發生，且并集為樣本空間、概率和為1,∴B?與B?不是對立事件，B錯誤.對于選項C,由概率加法公式：P(AUB?)=P(A)+P(B?)-P(AB?),其中AB?表示第一次為奇數且兩次和為偶數，即第二次也為奇數，∴【分析】本題以三棱柱為背景，利用空間向量法求線面角.關鍵在于由底面直角三角形確定外心位置，再根據側棱長相等求出棱柱的高，進而得到點B?和C?的坐標.最后，直線BC?的方向向量與平面ABC的法向量(即豎軸方向)的夾角余弦的絕對值即為所求線面角的正弦值.試卷第3頁，共12頁【詳解】以B為原點，BA方向為x軸，BC方向為V軸，垂直于底面的方向為z軸建立空間直角坐標系.則B(0,0,0),A(√10,0,0),C(0,√6,0),斜邊AC的中點)為△ABC的外心.由B?在底面的射影為0,設),則平面ABC的法向量為n=(0,0,1),設直線BC?與平面ABC所成角為θ,則故選A.【分析】結合平面四邊形、空間四邊形的結構特征逐一判斷選項即可.【詳解】∵平行投影的性質：平行直線的平行投影仍互相平行，共面的兩條直線若投影平行，則原直線必互相平行.對于選項A:當四邊形ABCD為平行四邊形，且其所在平面與平面α不垂直、不與投影方向平行時，兩組對邊的投影仍保持平行，投影為平行四邊形，故A正確.可推出原平面四邊形兩組對邊均平行，與梯形定義矛盾，故B錯誤.對于選項C:矩形是特殊的平行四邊形，同理，當矩形所在平面與平面α不垂直、不與投影方向平行時，其例如甲：-3,-2,x=-2.5,乙：-5,-3,y=-4<-2.5,A錯誤；選項C:乙的最大值Ymax=2xmx+1,最小值ymn=2xmin+1,選項D:舉反例：甲組為{-5,-3},中位數m甲=-4,計算得乙的中位數m乙=2×(-4)+1=-7<-4,D錯誤.【分析】連接AD?,由題意可得A?D⊥平面ABC?D?,進而可判斷A;延長DN交DC的延長線于L,連接BL,在平面ABCD內存在CM//BL,可判斷B;當點P在點C?,點M在點D處時，計算cos∠D?C?D可判【詳解】對于A,連接AD?,由正方體ABCD-AB?C?D?,可得C?又AD?⊥AD,C?D?∩AD?=D,C?D?,AD?C平面ABC?D?,試卷第4頁，共12頁試卷第5頁，共12頁所以AD⊥平面ABC?D,D?PC平面ABC?D?,所以D?P⊥AD,故A正確；對于B,延長DN交DC的延長線于L,連接BL,LL對于D,過P作PH⊥BC于H,則D?P+PH的最小值即為D到直線BC的距離(即D?,P,H三點共線時),過C?作C?K⊥D?H于K,可得C?CHK為矩形，所以HK=CC?=1,所以,所以D?P+PQ的最小值故D正確.【詳解】由題意得總成績平均值為30%×80+50%×90+20%×85=86.【分析】底面△ABC是直角三角形，可將該直三棱柱補成長方體，長方體的外接球就是三棱柱的外接球.【詳解】直三棱柱ABC-AB?C?,AB⊥AC,AB=AC=2,2AA?=2→AA?=1,底面△ABC是直角三角形，可將該直三棱柱補成長方體，長方體長寬高分別為2,2,1,長方體的外接球就設外接球半徑為R,則長方體體對角線長2R,2R=√AB2+AC2+A42=√22+22+12=√4+4+1=√9=3,得所以外接球的表面積【分析】①枚舉每個小球，統計其編號大于可選盒子編號的情況數，除以總情況數；②考慮要恰有兩個滿足條件，則編號為4的盒子必須放5號球，編號為2的盒子必須放3號球，從而確定唯一的放法.【詳解】①由題意知共3個小球、3個盒子，總情況數為3×3=9.符合小球的編號大于其所在盒子編號的情況有：小球編號1:沒有比1小的盒子編號，0種；小球編號3:僅盒子編號2滿足，1種；小球編號5:盒子編號2、4滿足，2種；共0+1+2=3種符合條件的情況.因此該小球的編號大于其所在盒子編號的概率②三個球全排列放入三個盒子，總情況數為3×2×1=6.由于盒子編號最大為6,所有小球最大編號為5,要恰有兩個球滿足條件，只能是前兩個盒子(編號2、4)的球都滿足條件.編號4的盒子要滿足球編號大于4,只能放編號5的小球；編號2的盒子要滿足球編號大于2,只能放剩下的編號3的小球；編號6的盒子放剩下的編號1的小球，僅這1種符合條件的情況.因此恰有兩個小球的編號大于其所在盒子編號的概率15.(1)證明：因為事件A,B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B).(法一)因為A∩B=AUB,所以P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)試卷第6頁，共12頁試卷第7頁，共12頁又P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)所以P(AB)=1-P(4)-P(B)+P(A)P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]=P(A)P(B)所以A與B相互獨立.(法二)對于A與B,因為A=ABUAB,而且AB與AB互斥，所以P(A)=P(ABUAB)=P(AB)+P(AB).所以P(AB)=P(4)-P(AB)=P(4)-P(A)P(B)=P(4)[1-P(B)]=P(A)P(B)所以A與B相互獨立. 所以P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)[1-P(A)]=P(B)P(A),所以A與B相互獨立.【分析】(1)因為事件A、B相互獨立，所以滿足P(AB)=P(A)P(B),結合對立事件概率公式，推導P(AB)與P(A)P(B)是否相等，以此判斷獨立性.(2)結合對立事件概率公式，或者利用概率的加法公式直接展開P(AUB),結合獨立事件性質計算結果.【詳解】(1)略(2)因為P(A)=0.4,P(B)=0.5,所以P(A)=0.6,P(B)=0.5,所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)所以P(AUB)=0.8.(2)75,110,兩校學生身體素質的平均水平相同，但B校的個體差異水平更低【分析】(1)根據頻率之和為1求b,求出各校樣本容量后可得a;(2)根據直方圖求出平均數和方差，然后可得結論；(3)列舉出所有樣本點，由古典概型概率公式可得.【詳解】(1)因為(0.01+b+0.035+0.03+0.005)×10=1,所以b=0.02.試卷第8頁，共12頁因為B校測試成績“不合格”的人數為10,所以每校的樣本容量為10÷(0.01×10)=100,因為A,B兩校抽取相同數量的學生，所以由頻數分布表得a=20.因為前兩組的頻率之和為0.010×10+0.020×10=0.3<0.5,前三組的頻率之和為0.3+0.035×10=0.65>0.5,所以B校測試成績的中位數位于區間(70,80)內，設B校測試成績的中位數為x,則有0.010×10+0.020×10+(x-70)×0.035=0.5,解得x≈75.71.(2)設A,B兩校所有測試學生的平均值分別為xA,xB,方差分別為S2,s2.由頻率分布直方圖得，xg=0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.3×85+0.05×95=75,據此可以推測兩校學生身體素質的平均水平相同，但B校的個體差異水平更低.(3)由題意可知，A校測試成績優秀的學生有10人，B校成績優秀的學生有100×0.05=5人，采用分層抽樣選出6人，則A校有記為a?,a?,a?,a4,B校有,記為b,b?.現從這6人中選出2人，所有不同的結果共有15種：2人來自同一學校的不同的結果共有7種：aa?,qa?,qa4,a?a?,aa?,aa4,bb?,在平面ABB?A內作AH⊥BB?,垂足為H又面ABB?A⊥平面BCC?B?,平面ABB?A?0平面BCC?B?=BB?,且AH⊥BB?所以AH⊥平面BCC?B?.因為AAI平面ABC,BCc平面ABC,所以AA⊥BC.又NOc平面ABO,B?Mα平面ABO,所以B?MI/平面ABO.【分析】(1)根據面面垂直的性質得AH⊥平面BCC?B,再由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABB?A,【詳解】(1)略(2)略(ii)若n=4,則最終比分為13:11,且這4個球中前兩個球甲、乙各勝1球，第3,4個球均由甲勝.設雙試卷第9頁，共12頁試卷第10頁，共12頁(2)甲、乙的比分暫時為8:8,若甲得11分時比賽結束，則共有3種情形：①甲以11:8勝，即甲接下來連贏3球，設為事件B;②甲以11:9勝，即雙方接下來共打4個球，且甲前3球贏2球，且贏第4個球，設為事件C;③甲以11:13負，即雙方接下來共打8個球，且前4球甲乙各贏2球，第5,6球各贏1球，第7,8球乙贏，設為事件D,因為雙方打每個球的結果相互獨立，且B,C,D互斥，所以所以甲得11分時比賽結束的概率為19.(1)因為底面ABCD為等腰梯形，且AB//CD,延長AD,BC,設其交點為E,連接PE.設線段AB的中點為F,連接PF,EF,設EF∩CD=G.所以△EAB為等腰三角形，所以EF⊥AB,又PF∩EF=F,PF,EFc平面PEF,所以AB⊥平面PEF,試卷第11頁，共12頁因為AB⊥平面PEF,所以∠PFE為二面角P-AB-C的平面角，所以∠PFE=60°.又PGc平面PDC,所以平面PDC⊥平面ABCD.②③【分析】(1)延長AD,BC,設其交點為E,連接PE.設線段AB的中點為F,連接PF,EF,設EF∩CD=G,進而可證∠PFE為二面角P-AB-C的平面角，利用余弦定理和勾股定理