2027屆新高考數學熱點精準復習+直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積+

2027屆新高考數學熱點精準復習直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積【課標要求】1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征,掌握柱、錐等簡單幾何體的性質.2.了解空間圖形的直觀圖與它們所表示的立體模型之間的內在聯系,能畫出簡單空間圖形的直觀圖,會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式,運用這些公式解決一些簡單問題.【知識要點】1.簡單幾何體（1）多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形____________________________________________________________________底面互相______且______多邊形互相______側棱____________相交于______，但不一定相等延長線交于______側面形狀__________________________平行全等平行平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形（2）旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形_____________________________________________________________________________________母線互相平行且相等，______于底面相交于______延長線交于______軸截面全等的______全等的__________________全等的______________側面展開圖__________________垂直一點一點矩形

等腰三角形

等腰梯形圓矩形扇形扇環2.特殊多面體的結構特征（1）直棱柱：______垂直于底面的棱柱.特別地，當底面是__________時，叫正棱柱（如正三棱柱，正四棱柱）.（2）正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是__________的棱錐.特別地，各條棱均相等的__________又叫正四面體.（3）平行六面體：指的是底面為____________的四棱柱.側棱正多邊形底面中心正三棱錐平行四邊形

不變原來的一半不變4.柱、錐、臺和球的側面積和體積側面積體積圓柱圓錐圓臺直棱柱正棱錐

側面積體積正棱臺球

續表【基礎檢測】1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)夾在兩個平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺.(

)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.(

)(5)長方體既有外接球又有內切球.(

)×××√×2.[必修2p109T1]以下利用斜二測畫法得到的結論中，正確的是(

)A.相等的角在直觀圖中仍相等B.相等的線段在直觀圖中仍相等C.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形D.菱形的直觀圖是菱形C[解析]根據斜二測畫法的規則可知，平行于坐標軸的直線平行性不變，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半，故A，B，D錯誤;對于C，根據平行性不變原則，平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，C正確.故選C.3.已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為(

)A.2π B.3π

C.4π

D.5πC

A

考點1空間幾何體的結構特征例1

(1)下列說法正確的是(

)A.以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉軸，其余邊旋轉一周形成的幾何體是圓臺B.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D.棱臺的各側棱延長后必交于一點D[解析]由圓臺定義知，以直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成的旋轉體是圓臺，故A錯誤;由棱柱定義可知，棱柱是有兩個面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯誤;底面是正多邊形的棱錐，不能保證頂點在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯誤;棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側棱延長后必交于一點，故D正確.(2)(多選)下列結論正確的是(

)A.圓柱的每個軸截面都是全等矩形B.長方體是直四棱柱，直四棱柱不一定是長方體C.四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體D.用一個平面截圓錐，必得到一個圓錐和一個圓臺ABC[解析]對于A，由矩形繞著它的一條邊旋轉一周形成一個圓柱，可得圓柱的每個軸截面都是全等矩形，故A正確;對于B，長方體是直四棱柱，直四棱柱不一定是長方體，故B正確;對于C，四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體，故C正確;對于D，用一個平行于底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，故D錯誤;故選ABC.[小結]熟記柱、錐、臺、球的簡單幾何性質，以便在以柱、錐、臺、球為載體的綜合問題中靈活準確地應用其性質進行推理與計算.1.(多選)下列說法中正確的是(

)A.圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線B.用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺C.平行六面體各個面都是平行四邊形D.棱臺的側面是等腰梯形AC[解析]對于A，由圓錐母線的定義可知圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線，故A正確;對于B，用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺，故B錯誤;對于C，平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，各個面都是平行四邊形，故C正確;對于D，當棱錐不是正棱錐時，所得棱臺的側面不一定是等腰梯形，所以D錯誤;故選AC.2.下列說法正確的是(

)A.四棱柱的所有面均為平行四邊形B.球面上四個不同的點一定不在同一平面內C.在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線D.在正方體的所有頂點中取4個點，則由這4個頂點可以構成三個面是直角三

角形，一個面是等邊三角形的四面體D[解析]對于A:四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故A錯誤;對于B:作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四個不同的點，則這四點就在球面上，故B錯誤;對于C:如圖在圓臺OO1的上底面的圓周上取點A，在下底面的圓周上取點D，連接AD，則AD不是圓臺的母線，所以在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓臺的母線，故C錯誤;

考點2空間幾何體的直觀圖

10

3.如圖，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四邊形ABCD用斜二測畫法畫出的直觀圖，其中A'B'=2，B'C'=4，則原四邊形ABCD的周長為

.

20

對應訓練考點3空間幾何體的表面積與體積

D

(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=2，AB=4，BC=5.在梯形ABCD內，挖去一個以A為圓心，以2為半徑的四分之一圓，得到如圖所示的陰影部分，以AB所在直線為軸，將圖中陰影部分旋轉一周，形成的旋轉體的表面積為(

)A.64π B.68π

C.72π

D.76πB

[小結]空間幾何體表面積的求法(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用,并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.角度2.體積——直接法、分割法、補形法、轉化法例4

(1)如圖是一個直徑為12cm的球形容器和一個底面直徑為6cm、深8cm的圓柱形水杯(壁厚均不計)，則球形容器裝滿時，約可以倒滿

杯的水.

4

(2)已知三棱錐P-QMN的四個頂點滿足:PQ，MN分別是圓柱O1O的上，下底面的兩條直徑，且該三棱錐體積的最大值為6，則圓柱O1O的體積為(

)A.2π B.6π

C.9π D.12πC

[解析]

設AA1中點為F，

[小結]空間幾何體體積問題的求法(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進行求解.(2)補形法:把不規則的幾何體補成規則的幾何體,便于計算.常見的補形有:①將正四面體補形成正方體;②將等腰四面體(對棱相等)補形成長方體;③將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補成正方體;④將臺體補成錐體等.(3)分割法:把不規則的幾何體分割成規則的幾何體,當不規則的幾何體用公式不易求出時,可將其分割轉化成比較好求體積的幾何體.大多數情況下,可以把不規則幾何體分割為三棱柱+四棱錐,從四棱錐底面對角線或幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”.(4)轉化法:①等體積轉化法一般情況下是三棱錐才有的特性.②盡可能尋找在表面的三個點,通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積.轉化的目的是找到易于計算的“好底”與“好高”.

ABD

對應訓練

B

6.(2024·天津)一個五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1.并已知AD=1，BE=2，CF=3.則該五面體的體積為(

)

C

考點4折疊與展開問題例5

(多選)如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的是(

)A.AM∥BN

B.△CEM是等邊三角形C.DB與AE是異面直線

D.AM與DF是異面直線ABC[解析]

如圖，將正方體的平面展開圖折起復原為如下正方體，對于A，由于AB∥MN，AB=MN，即四邊形ABNM為平行四邊形，故AM∥BN，A正確;對于B，在正方體ABCD-FENM中，CE，EM，CM為面對角線，故CE=EM=CM，故△CEM是等邊三角形，B正確;對于C，由于DB?平面ABCD，AE∩平面ABCD=A，A?BD，故DB，AE為異面直線，C正確;對于D，在正方體ABCD-FENM中，AM，DF?平面ADMF，且AM，DF相交，D錯誤.[小結](1)常見的幾種截面:①過棱柱、棱錐、棱臺的兩條相對側棱的截面,②平行于底面的截面,③旋轉體中的軸截面,④球的截面.(2)求多面體或旋轉體表面上的最短距離問題時,一般采用轉化與化歸思想求解,即將側面展開為平面圖形,“化曲為直”來解決,因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.

B[解析]

如圖，把四邊形A1ABB1，BB1C1C展開至同一個平面，連接AC，過點B1作B1E⊥AB，則BE=2，又BB1=AA1=4，則∠ABB1=60°，對應訓練

8.如圖所示，圓臺母線AB長為20cm，上、下底面半徑分別為5cm，10cm，從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面一周轉到點B，則繩長最短為

.

50cm[解析]

沿母線AB將圓臺側面展開并補