2025-2026學年河北雄安新區部分學校高二下冊4月份聯考數學試題 含解析

/數學滿分150分，考試時間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某學校開設3門球類課程?4門田徑類課程和5門體操類課程供學生選修，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（）A.12種 B.11種 C.10種 D.9種2.已知是函數的導函數，，則（）A.0 B.1 C.2 D.33.根據圖中的函數圖象，下列數值最小的是（）A.曲線在點處切線的斜率 B.曲線在點處切線的斜率C.曲線在點處切線的斜率 D.割線的斜率4.某校從名女生和名男生中選出人參加一項創新大賽，則選出的人中至少有名女生的概率為（）A. B. C. D.5.某電動自行車的耗電量與速度之間的關系式為，為使其耗電量最小，則其速度為（）A.20 B.30 C.40 D.506.若函數的極小值點為1，則（）A. B. C. D.7.用4種不同的顏色給圖中6個區域染色，要求邊界有重合部分的區域染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A.384種 B.168種 C.108種 D.192種8.已知函數在存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的導函數在上的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.在上單調遞減 B.當時，取得極大值C.當時，取得極小值 D.是在上的最大值10.已知，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.11.已知函數在處有極大值，則（）A.B.C.曲線在點處的切線與曲線有且僅有一個公共點D.若時，的值域為，則t的取值范圍為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的定義域為，且為的導函數，若，則__________.13.從0～9這十個數字中選取3個數，能組成無重復數字的三位偶數__________個.（用數字作答）14.設，且，若能被13整除，則等于______．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知函數.（1）求的單調區間；（2）若，求的最大值與最小值.16.已知的展開式中，二項式系數的和為64，求：（1）；（2）含的項；（3）各項系數和.17.為慶祝校慶，5名同學（3男2女）相約觀看《哪吒之魔童降世》，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式并計算結果）（1）若男生必須坐在一起，女生必須坐在一起，共有多少種不同坐法？（2）若所有男生互不相鄰，且所有女生也互不相鄰，共有多少種不同坐法？（3）同學甲和同學乙必須相鄰，且他們都不與同學丙相鄰，共有多少種不同坐法？18.已知，曲線在點處的切線方程為.（1）求實數的值；（2）若，求曲線過點的切線方程.19.已知函數．（1）當時，判斷的單調性；（2）若有極值點，求的取值范圍；（3）若有三個零點，求的取值范圍．

數學滿分150分，考試時間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某學校開設3門球類課程?4門田徑類課程和5門體操類課程供學生選修，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（）A.12種 B.11種 C.10種 D.9種答案：A解析：思路：根據分類加法計數原理計算即可.解答過程：種.2.已知是函數的導函數，，則（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：A解析：解答過程：由題可得，所以.3.根據圖中的函數圖象，下列數值最小的是（）A.曲線在點處切線的斜率 B.曲線在點處切線的斜率C.曲線在點處切線的斜率 D.割線的斜率答案：C解析：思路：根據導數的定義及割線的定義結合函數的圖象判斷即可．解答過程：通過圖象可知，曲線在點處、點處切線的斜率為正，在點處切線的斜率為負，割線的斜率為正，所以最小值為曲線在點處切線的斜率.故選：C4.某校從名女生和名男生中選出人參加一項創新大賽，則選出的人中至少有名女生的概率為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根據古典概型利用對立事件求解概率.解答過程：由題意得，“至少有名女生”的對立事件是“選出的人全是男生”，因此，故B正確.5.某電動自行車的耗電量與速度之間的關系式為，為使其耗電量最小，則其速度為（）A.20 B.30 C.40 D.50答案：C解析：思路：利用導數求出函數取最小值時對應的的值即可得解.解答過程：由題意知，令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得最小值.因此為使耗電量最小，則其速度應定為.故選：C.6.若函數的極小值點為1，則（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：對求導后，對分類討論，利用函數單調性與極值點的關系即可求解.解答過程：因為，所以.若，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時1是的極大值點，矛盾，故不符合題意；若，則，等號成立當且僅當，此時在上單調遞增，即此時沒有極值點，故不符合題意；若，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時1是的極小值點，故符合題意；綜上所述，符合題意的的取值范圍是.故選：B.7.用4種不同的顏色給圖中6個區域染色，要求邊界有重合部分的區域染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A.384種 B.168種 C.108種 D.192種答案：D解析：思路：先涂區域，再分類討論涂4的種數，根據對稱性知3，6的涂法，利用分步乘法計數原理得解.解答過程：先給2，5染色，有種方法，若1和5同色，則4有2種涂法；若1和5不同色，則4有種涂法．因為1，4分別與3，6對稱，所以不同的染色方法有種．故選：D8.已知函數在存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用命題的否定，變成恒成立問題，分離參數構造新函數，求解最值即可，最后再求其補集.解答過程：考慮問題的否定，函數在上不存在單調遞增區間，則對于，恒成立，分離參數得在上恒成立，則.令，求導得，當，，單調遞增，所以，所以所以原命題成立的條件為二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的導函數在上的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.在上單調遞減 B.當時，取得極大值C.當時，取得極小值 D.是在上的最大值答案：ABC解析：思路：根據導函數圖象的正負判斷函數的增減與極值、最值，依此判斷各個選項即可.解答過程：對于A，由題圖可知時，，單調遞減，故A正確；對于B，C，由題圖易知在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，故BC，正確；對于D，在上的最大值應是與中的較大者，故D錯誤.10.已知，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：對二項式展開式賦值以及利用求導的方法來求解各項系數的值或系數之間的關系.解答過程：根據二項式定理，當我們令展開式中時，此時展開式中除了這一項，其余含有的項都為，所以，即，可得，故選項A正確；二項式其展開式的通項公式為，要求，也就是當時的系數，將代入通項公式中，先計算組合數，則，故選項B錯誤；令，則，即，所以又因為前面已經求得，那么，故選項C錯誤；對兩邊同時求導。左邊求導為，右邊求導為，即令，則即，所以，故選項D正確.故選：AD.11.已知函數在處有極大值，則（）A.B.C.曲線在點處的切線與曲線有且僅有一個公共點D.若時，的值域為，則t的取值范圍為答案：BC解析：思路：先利用極大值和導數確定可判斷A；由三次函數圖象的對稱中心性質可判斷B；由導數的意義結合切線方程可判斷C；利用單調性可判斷D.解答過程：，，因為函數在處有極大值，所以，即，解得或3，當時，，當時，；當時，；當時，，此時為極小值點，不符合題意，當時，，當時，；當時，；當時，，此時為極大值點，所以；對于A，由以上可得，故A錯誤；對于B，，易知函數為奇函數，其圖象關于原點對稱，而的圖象是由函數的圖象向右平移兩個單位后，向上平移兩個單位得到，所以的圖象關于點成中心對稱，即，故B正確；對于C，由，所以切線方程為，即，聯立可得，解得，即方程有三重根，所以曲線在點處的切線與曲線有且僅有1個公共點，故C正確；對于D，因為，極大值，極小值，，結合單調性可得當的值域為，則的取值范圍為，故D錯誤.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的定義域為，且為的導函數，若，則__________.答案：解析：思路：根據導數的定義，對已知極限式子進行變形，即可求解.解答過程：由導數的定義，可得函數在處的導數滿足：，則，解得.13.從0～9這十個數字中選取3個數，能組成無重復數字的三位偶數__________個.（用數字作答）答案：解析：思路：按照0是否在末位分類討論即可求解.解答過程：末位是0時：末位有1種選法，十位有種選法，百位有種選法，故末位是0的三位偶數有；末位不是0時：個位有種選法，百位有有種選法，十位有種選法，故末位不是0的三位偶數有；所以共有個．故答案為.14.設，且，若能被13整除，則等于______．答案：12解析：思路：本題考查了二項式定理的應用，整除問題的處理方法，掌握將數表示為與除數相關的形式并利用二項式定理展開是解題的關鍵．將51表示為，利用二項式定理展開，因52是13的倍數，展開式中除末項外均可被13整除，故只需末項與的和能被13整除，結合求．解答過程：解：∵，且，∴，∵能被13整除，∴能被13整除，∵，∴．故12．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知函數.（1）求的單調區間；（2）若，求的最大值與最小值.答案：（1）的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.（2）.解析：（1）因為.令，得或，當變化時，的變化情況如表所示.02+0-0+單調遞增0單調遞減單調遞增所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.（2）由（1）知當時，取得極小值.當時，取得極大值0.又由f?1所以.16.已知的展開式中，二項式系數的和為64，求：（1）；（2）含的項；（3）各項系數和.答案：（1）6（2）（3）729解析：思路：（1）結合題意建立方程，再求解參數即可.（2）利用二項式定理求出展開式的通項，再求解所需項即可.（3）利用賦值法求解各項系數和即可.（1）因為二項式系數的和為64，所以，解得.（2）由（1）知，則二項式變為，由二項式定理可得展開式的通項為，令，得，故含的項為.（3）令，則各項系數和為.17.為慶祝校慶，5名同學（3男2女）相約觀看《哪吒之魔童降世》，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式并計算結果）（1）若男生必須坐在一起，女生必須坐在一起，共有多少種不同坐法？（2）若所有男生互不相鄰，且所有女生也互不相鄰，共有多少種不同坐法？（3）同學甲和同學乙必須相鄰，且他們都不與同學丙相鄰，共有多少種不同坐法？答案：（1）種（2）種（3）種解析：思路：（1）利用捆綁法，將男生、女生分別捆綁在一起，求出各自的排列數，然后將捆綁后的男生、女生視為一個整體進行排列，最后根據分步乘法計數原理得到結果.（2）利用插空法，先求出3名男生的排列種數，然后利用插空法，將女生插入男生之間，進行排列，最后利用分步乘法計數原理求得答案.（3）先將甲乙丙以外的其余2人排好,然后根據題意將甲乙、丙排好，最后利用分步乘法計數原理求出答案.（1）先將3名男生排在一起，有種排法，再將2名女生排在一起，有種排法，將排好的男生、女生分別視為一個整體，再進行排列，共有種排法，由分步乘法計數原理可知，共有種排法．（2）先將3名男生排好，共有種排法，再在這3名男生中間的2個空位中插入2名女生，共有種排法，再由分步乘法計數原理，共有種排法．（3）先將甲乙丙以外的其余2人排好，共有種排法，由于甲乙相鄰，則有種排法，最后將排好的甲乙這個整體與丙分別插入原先排好的2人的中間及兩邊共3個空位中，共有種排法，由分步計數原理，共有種排法．18.已知，曲線在點處的切線方程為.（1）求實數的值；（2）若，求曲線過點的切線方程.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）求得，根據題意，得到，且，列出方程組，即可求得的值，得到答案；（2）由（1）得到，求得，設切點為，得到切線方程為，將點代入切線方程，求得的值，進而求得切線方程.（1）解：由函數，其中，可得，因為曲線在點處的切線方程為，可得，且，即，解得.（2）解：由（1）知，，可得，設切點為，則切線的斜率，故切線方程為，因為切線過點，所以，整理得，解得或，所以切點為或，此時，曲線過點的切線方程為或.19.已知函數．（1）當時，判斷的單調性；（2）若有極值點，求