第02講 一定是直角三角形嗎(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免費拉進資料分享群添加微信xiaoanziliao6免費拉進資料分享群第02講一定是直角三角形嗎內容導航01預習航標→析目標·明方向：預習導航精準定向02教材全解→建框架·精講解：知識體系系統梳理03題型突破→析考點·破方法：典型題型深度拆解題型1勾股樹（數）的判定題型2判斷三邊能否構成直角三角形題型3在網格中判斷直角三角形題型4利用勾股定理的逆定理求解題型5勾股定理逆定理的實際應用題型6勾股定理逆定理的拓展問題04過關檢測→練考點·強落實：過關檢測全面鞏固關鍵詞學習目標導航勾股定理逆定理、勾股數、直角三角形判定、三邊關系、數形結合。1.掌握勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。2.理解勾股數的概念，能識別常見的勾股數（如3,4,5；5,12,13等）。3.能運用逆定理由三邊之長判斷一個三角形是否為直角三角形，并解決簡單實際問題。4.經歷“觀察—歸納—猜想—驗證”的探索過程，發展推理能力和數形結合思想。學習重點：通過三角形三邊長度關系（a2+b2=c2）判斷其是否為直角三角形，掌握幾組常見的勾股數。學習難點：證明“若三角形的三邊長滿足a2+b2=c2，則它是直角三角形”的推理過程（幾何論證），以及靈活運用逆定理解決實際問題。知｜知｜識｜框｜架知｜識知｜識｜精｜講知識點01勾股數像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數【易錯提醒】勾股數是滿足a2+b2=c2的三個正整數。注意：一組勾股數擴大相同整數倍后仍是勾股數。勿將含無理數或分數的數組稱為勾股數。即時即練1．下列數組中，是勾股數的是（

）A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，，2．下列各組數中，是勾股數的是（

）A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15知識點02勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【易錯提醒】先找最長邊確定斜邊c，再驗證a2+b2=c2，缺一不可。勿忘記c需為最大邊，否則易錯判直角位置。即時即練1．在中，，則下列不能作為判定△ABC是直角三角形的條件是（）A． B．C． D．2．如圖，在中，，，點在邊上，且，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．題型1勾股樹（數）的判定【例1】下列各組數中，是勾股數的是（）A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13【例2】下列幾組數中，為勾股數的是（

）A．3，4，5 B．6，8，12 C．8，10，12 D．5，12，17【技巧歸納】1.核心結構：以直角三角形三邊為邊向外作正方形，重復于兩小正方形外側。2.面積關系：兩小正方形面積和等于大正方形面積（a2+b2=c2）。3.識別生成規則：每層所有正方形面積總和等于底層大正方形面積乘層數。【變式1-1】下列各組數中，不是勾股數的一組是（

）A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17【變式1-2】下列各組數中不是勾股數的是（

）A．6，8，10 B．1，，C．5，12，13 D．33，44，55題型2判斷三邊能否構成直角三角形【例3】已知，，是的三條邊，則下列條件能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【例4】已知，，，，則下列條件不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．【技巧歸納】1.排序：三邊從小到大排序為a≤b≤c。2.驗勾股：計算a2+b2是否等于c2，相等則直角。3.先判三角形成立：滿足兩邊和大于第三邊。【變式2-1】下列條件中，不能判定為直角三角形是（

）A．，， B．C． D．【變式2-2】滿足下列條件的，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．題型3在網格中判斷直角三角形【例5】如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點，，均在網格的格點上，下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【例6】如圖，小正方形的邊長均為，、、在小正方形的格點上，連接，，，則的度數是（

）A． B． C． D．【技巧歸納】1.算三邊平方：利用格點間橫縱距離求各邊平方。2.驗勾股：若較小兩平方和等于最大平方，則為直角三角形。3.也可看垂直：檢查是否有邊水平、豎直，或利用斜率乘積為-1。【變式3-1】如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，都在格點上，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．的面積為10 D．點到直線的距離是2【變式3-2】如圖所示的網格是正方形網格，點、、、、都是網格線交點，則（）A． B． C． D．題型4利用勾股定理的逆定理求解【例7】如圖，在四邊形中，，，，，，判斷與的位置關系，并說明理由．【例8】用一根長為的繩子圍成，已知．(1)的長為_____．(2)求點到的距離．【技巧歸納】1.排序：三邊a≤b≤c，驗證a2+b2是否等于c2。2.列方程：已知某兩邊關系設未知數，利用等式求邊長或參數。3.得直角：滿足則c邊對角為90°，用于證垂直或角度。【變式4-1】如圖，在中，于點D，已知，，．(1)求，的長；(2)求證：是直角三角形．【變式4-2】如圖，在四邊形中，．(1)連接，求的長；(2)求四邊形的面積．題型5勾股定理逆定理的實際應用【例9】如圖，一架無人機旋停在空中點A處，點A與地面上點B之間的距離米，點A與地面上點C（點B，C處于同一水平面上）的距離米，且米．(1)求的度數；(2)現這架無人機沿所在直線向下飛行至點D處，若點D恰好在邊的垂直平分線上，連接，求這架無人機向下飛行的距離（的長）．【例10】勞動教育能夠提升學生的創造力，強壯學生的體格．實驗中學為了給學生提供合適的勞動教育場地，在校園規劃了一片勞動基地（四邊形）用來種植蔬菜和花卉．如圖，花卉區和蔬菜區之間用一條小路隔開（小路的寬度忽略不計）．經測量，花卉區的邊長為24米，邊長為7米，蔬菜區的邊長為20米，邊長為15米，．(1)求小路的長；(2)求的度數和蔬菜區的面積．【技巧歸納】1.構造三角形：測量三邊長度，判斷是否為直角三角形。2.判定垂直：若三邊滿足勾股定理，則邊c所對角為90°。3.選材定位：用于建直角、測距、方位判斷等實際問題。【變式5-1】如圖，某景區內有一個露營區，湖邊上原有兩個觀景臺和，且，為了方便游客觀賞，現計劃在湖邊新建一個觀景臺（、、在同一直線上），并鋪設了步道，同時測量了，，，請解決以下問題：(1)試判斷步道是否是露營區到湖邊的最短路徑，并說明理由；(2)求觀景臺與觀景臺之間距離的長．【變式5-2】如圖，四邊形為某工廠的平面圖，經測量，，且．(1)求的度數．(2)若直線為工廠的車輛進出道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點D處安裝一個攝像頭觀察車輛進出工廠的情況，已知攝像頭能監控的最遠距離為，求被監控到的道路長度為多少米？（精確到1m，參考數據，）題型6勾股定理逆定理的拓展問題【例11】閱讀下列內容：設，，是一個三角形的三條邊的長，且是最長邊，我們可以利用，，三邊長間的關系來判斷這個三角形的形狀：若，則該三角形是直角三角形；若，則該三角形是鈍角三角形；若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，由于，由結論可知該三角形是銳角三角形．請解答以下問題：(1)若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是________三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為________．【例12】定義：如圖，點M，N（點M在N的左側）把線段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割．(1)已知M、N把線段AB分割成AM，MN，BN，若，，，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；(2)已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若，，求BN的長．【技巧歸納】1.分數或根號邊：三邊平方后化為整數再比較。2.非整數比：若a:b:c=m:n:p，驗證m2+n2=p2即為直角。3.多條件：結合面積或周長列方程組，用逆定理列等式求參數。【變式6-1】定義：a，b，c為正整數，若，則稱c為“完美勾股數”，a，b為c的“伴侶勾股數”．如，則13是“完美勾股數”，5，12是13的“伴侶勾股數”．(1)數10________“完美勾股數”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三邊a，b，c滿足．求證：c是“完美勾股數”．(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數”，a，b為c的“伴侶勾股數”．多項式有一個因式，求該多項式的另一個因式．【變式6-2】在中，，設為最長邊，當時，是直角三角形；當時，利用代數式和的大小關系，探究的形狀（按角分類）．(1)當三邊分別為6、8、9時，為________三角形；當三邊分別為6、8、11時，為________三角形；(2)猜想：當________時，為銳角三角形；當________時，為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判斷：當時，當為直角三角形時，則的取值為________；當為銳角三角形時，則的取值范圍________；當為鈍角三角形時，則的取值范圍________．一、單選題1．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中．下列各組數中，是“勾股數”的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．9，40，412．五根小木棒的長度分別為7，15，20，24，25，現將它們擺成兩個直角三角形，下列圖形正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．已知點A和點B在格點上，在網格中的格點上另找一點C，使A，B，C三點構成一個直角三角形，則這樣的點C共有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個4．已知的三邊長分別為，，，且滿足，則是（）A．以為斜邊的直角三角形 B．以為斜邊的直角三角形C．以為斜邊的直角三角形 D．非直角三角形5．已知a、b、c是的三邊長，則下列說法中不成立的一項是（

）．A．若，則一定是直角三角形B．若，則一定是鈍角三角形C．若，則一定是銳角三角形D．若，則可能是直角三角形二、填空題6．給出下列幾組數據：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每組數據為三邊長，可構成三角形的有____________；可構成直角三角形的有____________．（填序號）7．如圖，在正方形網格中有兩條直線與，則的度數為__________．8．如圖，，，，，，則四邊形的面積是______．9．若的三邊長分別為a，b，c，且滿足，則的面積為___．10．閱讀下列內容，設，，是一個三角形的三條邊的長，且是最長邊，我們可以利用，，三邊長間的關系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；若③，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，則最長邊是，由于，故由上面③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題．（1）若一個三角形的三條邊長分別是，，則該三角形是_____三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；（2）若一個三角形的三條邊長分別是，，且這個三角形是直角三角形，則的值為_____．三、解答題11．如圖，在中，，，，．求：(1)的周長；(2)判斷是否是直角三角形？為什么？12．如圖，在四邊形中，，為四邊形的對角線，已知，，，．(1)請判斷的形狀，并說明理由；(2)過點作于點，求線段的長．13．為增加趣味性，某科技館計劃展出一款恐龍互動模型（圖1），為避免在互動過程中模型出現關節卡頓、失衡等風險，該模型一條大腿支架與小腿支架需滿足互相垂直的條件，設計人員計劃利用現有支架實施固定，其示意圖如圖2所示，實際測得數據如下：，．(1)與垂直嗎？請說明理由；(2)據設計人員介紹，支架的比長，求支架的長度．14．已知、、為直角三角形三邊，且為斜邊，