2027屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章高考大題規(guī)范解答函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（課件）

高考大題規(guī)范解答——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題動向：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是歷年高考的重點與熱點，常涉及的問題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)，求極值、最值、切線方程、函數(shù)的零點或方程的根，求參數(shù)的范圍及證明不等式等，涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等，中、高檔難度均有．(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，＋∞)存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設(shè)x1，x2分別為f(x)在區(qū)間(0，＋∞)的極值點和零點．(ⅰ)設(shè)函數(shù)g(t)＝f(x1＋t)－f(x1－t)，證明：g(t)在區(qū)間(0，x1)單調(diào)遞減；(ⅱ)比較2x1與x2的大小，并證明你的結(jié)論．[解題思路]函數(shù)的極值與零點問題＋函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．(ⅱ)【如何比較2x1與x2的大小？作為本題第(2)問的第(ⅱ)問，能不能利用第(1)問和第(ⅰ)問的結(jié)論呢？我們要明確2x1與函數(shù)f(x)的極值點有關(guān)，x2是函數(shù)f(x)的零點，函數(shù)g(t)與函數(shù)f(x)有關(guān)，故要想到利用函數(shù)g(t)與函數(shù)f(x)的單調(diào)性進行判斷】由(ⅰ)得，g(t)在(0，x1)上單調(diào)遞減，【利用第(ⅰ)問函數(shù)g(t)在(0，x1)上的單調(diào)性，判定g(x1)與g(0)的大小】所以g(x1)<g(0)，(12分)【根據(jù)g(x1)＝f(2x1)－f(0)，g(0)＝f(x1)－f(x1)＝0，結(jié)合f(0)＝0得出f(2x1)<0，再巧妙回扣函數(shù)f(x)的零點x2的定義將0轉(zhuǎn)化為f(x2)，最后利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性判定2x1與x2的大小】即f(2x1)－f(0)<f(x1)－f(x1)＝0，(13分)又f(0)＝0，所以f(2x1)<0，(14分)因為x2是f(x)的零點，所以f(x2)＝0，所以f(2x1)<f(x2)，(15分)又x2>x1,2x1>x1，且f(x)在(x1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以2x1>x2.(17分)得分保障：得分點：第(1)問正確求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)得1分，能結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判定函數(shù)f(x)的極值點情況得2分，寫出必要過程說明函數(shù)f(x)在指定區(qū)間上存在唯一的零點得2分；第(2)問的第(ⅰ)問，能正確求出g(t)的導(dǎo)函數(shù)得3分，寫出必要過程得到g′(t)在指定區(qū)間上小于0得2分，利用g′(t)與0的大小關(guān)系得g(t)的單調(diào)性得1分；第(2)問的第(ⅱ)問，會利用第(ⅰ)問得到的單調(diào)性得到g(x1)<g(0)得1分，將g(x1)轉(zhuǎn)化為f(2x1)－f(0)，g(0)轉(zhuǎn)化為0得1分，結(jié)合f(0)＝0，得f(2x1)<0得1分，利用f(x2)＝0得f(2x1)<f(x2)得1分，通過函數(shù)f(x)的單調(diào)性得出2x1>x2得2分．(2)給定θ∈(0，π)和a∈R，證明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ；(3)設(shè)b∈R，若存在φ∈R使得5cosx－cos(5x＋φ)≤b對x∈R恒成立，求b的最小值．(2)第1步：根據(jù)周期性寫出a的范圍因為余弦函數(shù)的周期為2π，所以不妨設(shè)a∈(0,2π]，第2步：分a≤2θ和a>2θ兩種情況討論當(dāng)a≤2θ時，a－θ≤θ，則θ∈[a－θ，a＋θ)，此時存在y＝θ，使得cosy＝cosθ；(6分)當(dāng)a>2θ時，θ<a－θ≤2π－θ，作出余弦函數(shù)的大致圖象(如圖所示)，所以cos(a－θ)≤cosθ，只需要取y＝a－θ，即可得到cosy≤cosθ.(8分)第3步：得出結(jié)論綜上可得，給定θ∈(0，π)和a∈R，存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ.(9分)(3)第1步：特殊值φ＝0探路令h(x)＝5cosx－cos(5x＋φ)，當(dāng)φ＝0時，因為h(x)＝h(－x)，h(x)＝h(x＋2π)，所以h(x)為偶函數(shù)，且2π為h(x)的周期，所以討論h(x)在[0,2π)上的情況，提能訓(xùn)練練案[21]1．(2026·廣東部分學(xué)校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－a)·sinax(a>0)．(1)當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f(x)在原點處的切線方程；(2)若f(x)存在與極值點相等的零點，求a的最小值．[解析]

(1)因為f(x)＝(x－a)sinax，所以f′(x)＝sinax＋(ax－a2)cosax.當(dāng)a＝1時，f′(x)＝sinx＋(x－1)cosx，f(0)＝0