因式分解法（課件） 2026-2027學年人教版九年級數學上冊

第二十五章

一元二次方程25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法1.理解因式分解法解一元二次方程的原理，能運用因式分解法解一元二次方程；2.體會“降次”與“轉化”的數學思想，能對比因式分解法與配方法、公式法的特點，根據方程結構選擇合適的解法.問題

根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經過xs后的離地高度（單位：m)約為10x-5x2.根據上述規律，物體經過多少秒落回地面？解：設物體經過xs落回地面，這時它離地面的高度為0m,即

10x-5x2=0.思考：已經學習的配方法、公式法可以解嗎？有沒有更簡便的解法呢？

10x-5x2=0.將方程的左邊分解因式，得x(10-5x)=0.這個方程的左邊是兩個一次因式的乘積，右邊是0.我們知道，如果兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反之，如果兩個因式中任何一個為0，那么它們的積也等于0.所以

x=0，或10-5x=0.因此，方程10x-5x2=0的兩個根是x1=0，x2=2.對于這兩個根，x1=0表示物體拋離地面的時刻，即在0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m；而x2=2表示物體在拋離地面2s時落回地面.思考：解方程10x－5x2=0時，二次方程是如何降為一次的？可以發現，在上述解法中，由10x－5x2=0到x=0或10-5x=0的過程，不是用開平方降次，而是先分解因式，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次.這種解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

例1

用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)移項：將方程的右邊化為0；(2)分解：將方程的左邊分解為兩個一次式的乘積；(3)轉化：令每個一次式分別等于0，得到兩個一元一次方程；(4)求解：解這兩個一元一次方程，它們的解都是一元二次方程的解.

用因式分解法解下列方程：(1)2x2-3x=0； (2)5x(x-3)=x-3；跟蹤訓練

約去含未知數的因式導致漏解在用因式分解法解一元二次方程時，當左右兩邊均有含未知數的相同因式時，不可直接約去，因為含未知數的因式可能等于0，如果直接約去，會導致漏掉使因式為0的未知數的值.

用因式分解法解下列方程：(3)(3x+2)(2x+1)=-8x-4； (4)(2x-1)2-9=0.跟蹤訓練

(4)因式分解，得[(2x-1)+3][(2x-1)-3]=0.即(2x+2)(2x-4)=0.于是2x+2=0,或2x-4=0.所以x1=-1，x2=2.思考：學習了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能說說它們各自的特點嗎？方法理論依據適用方程關鍵步驟主要特點直接開平方法平方根的意義x2=n

(n≥0)或(ax+b)2=n

(a≠0，n≥0)型方程.開平方求解迅速、準確，但只適用于一些特殊結構的方程.配方法完全平方公式所有一元二次方程.配方解法煩瑣，當二次項系數為1或常數項較大時，用此法較簡單.公式法配方所有一元二次方程.代入求根公式對系數進行混合運算，易出現化簡不徹底的錯誤.因式分解法若

ab=0，則a=0或

b=0能化為一邊為0，另一邊為兩個一次式積的形式的方程.分解因式求解迅速、準確，但適用范圍較小.

1．解下列方程：(3)3x2-6x=-3;

(4)4x2-81=0;

1．解下列方程：(5)3x(2x+1)=4x+2; (6)(x-4)2=(5-2x)2.

2.如圖，把小圓形場地的半徑增加5m，得到大圓形場地，大圓形場地與小圓形場地的面積比為9∶4，求小圓形場地的半徑.

A

D因式分解法解一元二次方程解法步驟(1)移項：將方程的右邊化為0；(2)分解：將方程的左邊分解為兩個一次式的乘積；(3)轉化：令每個一次式分別等于0，得到兩個一元一次方程；(4)求解：解這兩個一元一次方程，它們的解都是一元二次方程的解.