高一數(shù)學(xué)（人教A版）試題必修二 階段質(zhì)量評(píng)價(jià)（三）立體幾何初步

階段質(zhì)量評(píng)價(jià)（三）立體幾何初步

（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.下列正確的是（）

A.過(guò)球面上兩點(diǎn)與球心有且只有一個(gè)平面

B.用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)

C.底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角都相等的棱錐是正棱錐

D.有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

2.已知某平面圖形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖為如圖所示的三角形，其中AB=AC=2,

則該平面圖形的面積為（）

。(4)B

C.2<3

3.（2024?全國(guó)甲卷）設(shè)a,僅為兩個(gè)平面，〃?，〃為兩條直線(xiàn)，且aA夕=〃?，下述四個(gè)命題：

①若加〃％則”〃a或〃〃夕

②若mJ_〃，則〃_La或〃_L0

③若〃〃a旦〃〃/，則m〃n

④若〃與a,p所成④角相等,則mLn

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④

C.@@@D.①③④

4.如圖，以_1_平面ABC,ZACB=9（）°,且以=AC=4C=a,則異面直線(xiàn)。8與AC所成

的角的正切值等于（）

B.eqB.eqB.eq

C.eq

5.如圖所示的糧倉(cāng)可近似看作一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體，口圓錐的底而圓與圓臺(tái)的較大

底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1,圓錐與圓臺(tái)的高分別為小一1和3,則此組

合體外接球的表面積是（）

A.16冗

C.247rD.28兀

6.圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為1：2,一條母線(xiàn)長(zhǎng)度為2,這條母線(xiàn)與底面所成角等于

30。，這個(gè)圓臺(tái)的體積為（）

A.eqnB.eqn

C.cq7tD.7%

7.（2024?北京高考）如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面/18C。是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA

=PR=4,PC=PD=2?該棱錐的高為（）

A.1B.2

C.eqD.eq

52

8.（2024?新課標(biāo)II卷）已知正三棱臺(tái)ABC-A'B'C的體積為于，AB=6,4'B'=2,

則A'A與平面A8C所成用的正切值為（）

A.cqB.1

C.2D.3

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分）

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.S陽(yáng)⑶="（其中c為底面周長(zhǎng)，/為棱柱側(cè)棱長(zhǎng)）僅適用于正棱柱

B.若圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為/,底面圓的半徑為r,則一定有S（o側(cè)="/

C.如果一個(gè)球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的9倍，那么對(duì)應(yīng)的球的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍

D.若?圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，且面積為5,則圓錐的底面積是］

10.PA垂直于以為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A,B的任意一點(diǎn)，則下列關(guān)

系正確的是（）

oB

A.PALBC

B.8C_L平面以C

C.ACA.PB

D.PCIBC

11.如圖，在正方體ABCO-4由iGG中，下面結(jié)論正確的是（

A.8。〃平面

B.AC\LBD

C.平面4CGAi_L平面CBi"

D.異面直線(xiàn)AO與CS所成的角為60。

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線(xiàn)上）

12.某圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為8的正方形，則該圓柱一個(gè)底面的面積為.

13.已知平面a,B和宜線(xiàn)m,給出條件：@ni//a；②m_La；③〃?Ua；④a〃h.當(dāng)滿(mǎn)足

條件時(shí)，有〃?_L￡

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14.已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，且這個(gè)球的體積是中,

那么這個(gè)三棱柱的側(cè)面積為,體積是.

四、解答題（本大題共5小邈，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟）

15.（13分）如圖，在圓錐PO中，己知20=也，圓。的直徑A8=2,。是弧AB上的點(diǎn)

（點(diǎn)C不與A,8重合），。為4C的中點(diǎn).

（1）求圓錐PO的側(cè)面積；

（2）證明：平面尸OD_L平面附C.

16.(15分汝I圖，在四棱錐P-/WC7)中，PCL底面四邊形/WCO是直角梯形,

AD1DC,AB//DC,AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).

(1)線(xiàn)段以上是否存在一點(diǎn)G,使得點(diǎn)，C,E,G共面，存在請(qǐng)證明，不存在請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(2)若PC=2,求三棱錐P—ACE的體積.

17.(15分)如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體4BCO-AiSGd中，E,尸分別是棱CCi

的中點(diǎn)，過(guò)E作平面使得a〃平面8DF.

(1)作出a截正方體ABC。-所得的截面，寫(xiě)出作圖過(guò)程并說(shuō)明理由;

(2)求平面?與平面BDF的距離.

18.(17分)將如圖①的矩形人陰〃)沿CO翻折后構(gòu)成一四棱錐M-/WCQ(如圖②)，若在

四棱錐M-ABCD中有MA=p

(1)求證：4C_LM。；

(2)求四棱錐M-ABCD的體枳.

19.(17分)(2024?新課標(biāo)I卷汝口圖，四棱錐P—ABCO中，R1_L底面A8CZ),PA=AC=2,

BC=1,AB=4

(1)若證明：AO〃平面PBC；

(2)若4。_1。。，且二面角八一675一。的正弦值為華，求4。.

p

A

B

階段質(zhì)量評(píng)價(jià)(三)

1.選c當(dāng)球面上的兩點(diǎn)恰好是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，這三點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)過(guò)這三點(diǎn)有無(wú)數(shù)

個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)，故

B錯(cuò)誤；根據(jù)正棱錐的定義：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心.所

以底面是正多邊形且側(cè)棱知底面成等角的棱錐是正棱錐，符合定義，故C正確；兩個(gè)底面平

行且相似，其余各面都是梯形的多面體中，側(cè)棱延長(zhǎng)不一定會(huì)相交于一點(diǎn)，所以不一定是棱

臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選C.

2.選D作出原圖形如圖所示，則AR'=2,AC=4,所以該平面圖形的面積為

^AB'AC=zX2X4=4,故選D.

3.選A若則mUq,夕，對(duì)于①，若〃?〃〃，則〃〃a或〃〃人①正確；

對(duì)于②，若〃i_L〃，則可能〃Ua或〃〃a或〃與a相交，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若〃〃a且及〃人

則〃〃〃?，③正確；對(duì)于④，〃與/〃所成的角可以為［。，宮內(nèi)的任意角，④錯(cuò)誤.故選A.

4.選B如圖，將此多面體補(bǔ)成一個(gè)正方體.?/AC//8。，與AC所成的角的大小

即為此正方體體對(duì)角線(xiàn)尸3與棱8。所成角的大小.在RtaPBO中，NPDB=90°,PD=pa,

DB=a,

rur

tanZDBP="j^=\2.

5.選B設(shè)外接球半徑為R,球心為O,圓臺(tái)較小底面圓的圓心為Oi,則。。彳-12=

R2,而00|=小一1+3一此故心=1+(4+2—R)2,解得/?=小.此組合體外接球的表面積

$=/1兀〃2=20兀.故選B.

6.選D如圖，由題意得80=2,AB=2CD,ZABD=30°,過(guò)點(diǎn)。作OE_LA8于點(diǎn)E,

則DE=\,8七=小.因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑之比為I：2,所以CO=AE=B￡=W.則圓

臺(tái)上底面面積為（木），=3兀，下底面面積為（2小戶(hù)兀=12兀故圓臺(tái)的體積為:（12兀+3兀+

、12兀X3兀）X1=7兀故選D.

7.選D由題意知△用3為正三角形，因?yàn)槭?+0》=。。2,所以pc，。。如圖，分別

取A&CQ的中點(diǎn)E,F,連接。E,EF,PF,則夕七=2小，PF=2,EF=4,于是「序十。尸

=七產(chǎn)，所以過(guò)點(diǎn)P作PG_LEE垂足為G,易如CD1.PF,CDLEF,EF,P尸U平

面PEF,且EFRPF=F,所以CO_L平面PEF.又PGU平面PEF,所以CD上PG.又PGLEF.

CD,￡/U平面A5CO,CDQEF=F,所以PG_L平面A8C。，所以PG為四棱錐P-48C。的

高.由;PEPF=3：FPG,得26=隼*=2號(hào)2=事故選D

8.選B如圖，分別取8C,B'C的中點(diǎn)。，D',連接A。，A'D',DD'.

易證得平面A。。'A'J_平面A8C.

過(guò)點(diǎn)A'作A'E_L4Z）于點(diǎn)七，則A'E_L平面4BC,

即A'E為正三棱臺(tái)的高.

由上述可知，N4'4E為直線(xiàn)A'A與平面ABC所成的角.

由已知易得正三棱臺(tái)ABC-A'B'C的上、下底面的面積分別為^X2X小=小，1

X6X3小=小

由正三棱臺(tái)ABC-A'B'C的體積為苧，得（X（小+外萬(wàn)+3小）XA'E=苧，

4s

解得A'E=苧.

取△A3C,△4'B1C的重心分別為G,G1,連接GG',則四邊形A'EGG'為矩

形，

所以EG=A'G'=*'Dr=￥（方法技巧：利用正三角形的重心性質(zhì)），

。2l入行4I行

所以A￡=AG—EG=5A。-EG=§X3小一芋=~^■.在RtAAzAE中，

4小

A，E3

tanNA'AE="故選B,

3

9.選BCDA中公式適合所有的直棱柱，故A錯(cuò)誤；B正確；C中由470^=9X4兀后得

n=3n,故C正確；D中設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖即半圓的半徑為心圓錐的底面圓的半徑為八則S

=%42"=兀凡；.r=yj^,S度=冗/=幾卷=9，故D正確.故選B、C、D.

10.選ABD.??%，平面ABC,BCU平面ABC,：.PA1BC,A正確；又?.?BCL4C,

網(wǎng)HAC=A,.\8C_L平面辦C.又PCU平面叫C,：.BCLPC.：.B.D均正確.故選A、B、

D.

11.選ABC?..ABCD-A用iGG為正方體，由線(xiàn)面平行的判定可得5D〃

平面CSOi,故A正確；連接AC,?.?ABCD-AiSGDi為正方體，：.BDLAC,且CG_BD,

由線(xiàn)面垂直的判定可得40_L平面ACC\y

；.BDlACi,故B正確；由上可知B0J_平面ACG,又B9〃8iDi,???BiDi_L平面47G,

則平面ACGAi_L平面故C正確；異面直線(xiàn)AO與CS所成的角即為直線(xiàn)BC與CS

所成的角，，所求角為45",故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.

12.解析：因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為8的正方形，所以該圖柱的底面圓的周長(zhǎng)為

其側(cè)面展開(kāi)圖正方形的邊長(zhǎng)2^2,該圓柱底面圓半徑為巖.故該圓柱一個(gè)底面的面積5=nr

“婚4

答案一

13.解析：當(dāng)一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線(xiàn)也垂直于另一個(gè)平面，

結(jié)合所給的選項(xiàng)，故由②④可推出，〃J_夕，即②④是，〃J?夕的充分條件，.??滿(mǎn)足條件②④時(shí),

有m邛.

答案：②④

14.解析：設(shè)球的半徑為「，則》=拳，得「=2,柱體的高為2「=4.又正三棱欄的底

面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長(zhǎng)為4小.所以正三棱欄的側(cè)

面積S何=3X4X4小=48有體積V=^X(4V3)2X4=48^3.

答案：48548小

15.解：⑴?:P0=巾,

底面半徑/?=。8=18=1,

母線(xiàn)/=PB=y[2+\=小.

.0.5?=7rr/=nX1乂小=小江.

（2）證明：???用=PC,D是AC的中點(diǎn)，

：.PD±AC.

又：OA=OC,。是4c的中點(diǎn)，：.OD±AC.

又PDCOD=D,PQU平面POD,OOU平面POD.?.ACJ_平面POD.

??NCU平面PAC,

.??平面POOJ_平面PAC.

16.解：（I）存在附的中點(diǎn)G滿(mǎn)足條件.證明如下：

接GE,GD,則GE是三角形以4的中位線(xiàn)，

所以GE//AB.

又由已知A8〃QC,所以GE〃OC

所以G,E、C,。四點(diǎn)共面.

（2）因?yàn)槠呤荘8的中點(diǎn)，

所以VP-ACE=VC-PAE=QVC-PAH=^VP-ACR-

II?I

由（1）知AC_L8C,所以5加“=”。歸。^^1.“一68=1尸。54°八8=*所以V/MCE=1.

17.解：（1）連接8。|,ES,EDlt

由正方體性質(zhì)可得80〃8|。|,BF//ED\.

又所以平面EBiDi〃平面BDF.

因?yàn)閍〃平面BQF,且所以平面EBOi與平面a重合.

即三角形￡用。就是a截正方體ABCD-AiSG。1所得的截面.

(2)由(1)可知平面?與平面BDF的距離等于點(diǎn)Bi到平面BDF的距離.

設(shè)點(diǎn)B1到平面8。/的距離為d

由題意可得3。=2、尼，I3F=DF=y[5,

所以△8。/的面積為#,當(dāng)尸的面積為2.

由VBi-BDF=VD-BByF可得(S△加廣d=/S48B/X2,解得d=坐.

所以平面a與平面BDF的距離為呼.

18.解：(1)證明：如到，連接AC

在△AMO中，MA=、^,MO=1,AQ=2,所以“川+用02=4。2,所以

又因?yàn)镸O_LMC,MCP4M=M,MC,4MU平面歷AC,

所以MO_L平面MAC.

ACU平面MAC,所以AC_LM。.

⑵取CO的中點(diǎn)F,連接MF.

在△4CD中，CD=AC="AD=2,

所以AC2+CQ2=AD2,所以AC_LCD

由(1)可知MQ_L平面.MAC,所以AC_LMQ.

所以ACJL平面MCD.所以ACA.MF.

在△MC。中，MC=MD