廣東省廣州市越秀區2025-2026學年八年級（下）期中數學試卷

廣東省廣州市越秀區2025-2026學年八年級（下）期中數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列二次根式是最簡二次根式的是（）A．45 B．10 C．23 D．2．函數y=3x?1A．x≠13 B．x≥1 C．x＞13．下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．1，2，2 B．1，2，3 C．4，6，8 D．6，8，104．下列各式計算正確的是（）A．3+7=10 B．42?35．如圖，在菱形ABCD中對角線AC，BD交于點O，要使該菱形成為正方形，則應添加的條件是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．OA=OC D．∠AOB=60°6．已知-2＜m＜3，化簡(m?3)2A．5 B．1 C．2m-1 D．2m-57．《九章算術》“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時繩索用盡.問繩索長是多少？設繩索長為x尺，可列方程為（）A．32+82=x2 B．（x-8）2+32=x2C．x2+82=（x+3）2 D．（x-3）2+82=x28．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC，BC，AB為邊向外作半圓，并分別記它們的面積為S1，S2，S3，若S1=8π，S2=24π，則S3=（）A．42π B．32π C．40π9．如圖，在矩形ABCD中，點E為CD邊的中點，點F為邊BC上一點，且AE平分∠DAF.若BF=4，FC=1，則AF的長為（）A．5 B．25 C．6 D．10．如圖，菱形ABCD的邊長為4，且∠A=60°，DE⊥BC于點E，P為BD上一點，且△PCE的周長最小，則△PCE的周長的最小值為（）A．3+1 B．27+2 C．2二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．如圖，為測量池塘岸邊A，B兩點之間的距離，小亮在池塘的一側選取一點O，測得OA，OB的中點D，E之間的距離是14米，則A，B兩點之間的距離是.12．如圖，數軸上點A，點B分別表示1和3，CB⊥AB，且CB=1，以點A為圓心，以AC為半徑作弧，弧與數軸的交點為D，則點D表示的數是.13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，AD=5，則菱形ABCD的面積為．???????14．如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊三角形BCE，則∠CDE=.15．已知在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12.則BC的長為.16．如圖，在矩形ABCD中，把矩形ABCD繞點C旋轉，得到矩形EFGC，且點E落在AD上，連接BE，BG，BG交CE于點H，連接FH，若FH平分∠EFG，則下列結論正確的是.①AE+CH=EH；②∠DEC=3∠ABE；③BH=HG；④CH=2AB.三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．計算：（1）27?（2）(2+318．如圖，每個小正方形的邊長都為1.

（1）AB=，BC=，BD=；（2）判斷∠BCD是直角嗎？并說明理由.19．先化簡，再求值：(a+5)(a?520．如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，求∠ADC的度數．

21．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點.過點A作AE∥BC，過點C作CE∥DA，交于點E.

（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若BC=12，AB=10，求CE的長.22．學校校內有一塊如圖所示的三角形空地ABC，計劃將這塊空地建成一個花園，以美化校園環境，預計花園每平方米造價為30元，學校修建這個花園需要投資多少元？23．如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．???????（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）E為AO上一點，連接BE，若AE=4，AB=6，EB=23，求AO的長．24．如圖，在正方形ABCD中，O是AC的中點，E是AD上一點，連接BE，交AC于點H，作CF⊥BE于點F，AG⊥BE于點G，連接OF.（1）求證：AG=BF；（2）若正方形邊長為1，當點F為HB中點時，求AE的長；（3）求證：CF?AG=225．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是射線BC上一個動點，連接AE并延長交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折到△AB'E，延長AB'與直線CD交于點M．（1）求證：AM=MF；（2）當點E是邊BC的中點時，求CM的長；（3）當CF=4時，求CM的長．

答案解析部分1．【答案】B【知識點】最簡二次根式【解析】【解答】解：A、45=3B、10是最簡二次根式，故本選項符合題意；C、23D、0.2=故選：B．【分析】根據最簡二次根式的定義逐項進行判斷即可求出答案.2．【答案】D【知識點】二次根式有無意義的條件；函數自變量的取值范圍【解析】【解答】解：∵3x-1≥0，所以x≥1故答案為：D。【分析】根據被開方數大于等于0，即可得到3x-1≥0，所以x≥133．【答案】D【知識點】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A.12B.1+2=3，不能構成三角形，不符合題意；C.42D.62故選：D．【分析】根據勾股定理逆定理逐項進行判斷即可求出答案.4．【答案】D【知識點】二次根式的乘除混合運算；二次根式的加減法【解析】【解答】解：A.3與7不是同類二次根式，不能合并，故此選項不符合題意；B.42C.22D.27÷故選：D.【分析】根據二次根式的四則運算逐項進行判斷即可求出答案.5．【答案】A【知識點】正方形的判定；平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形之間的關系【解析】【解答】解：由菱形到正方形，需要添加條件為一個內角為直角，或者對角線相等

∴結合選項A答案符合題意。故答案為：A。【分析】由菱形到正方形，需要添加正方形相對于菱形特有的條件，即內角為90°，或者對角線相等，選項A，AC=BD，對角線相等，所以符合題意。

B選項，菱形性質有C⊥BD，不能作為判定菱形成為正方形的條件。

C選項，OA=OC，也是菱形的性質，不能作為判定菱形成為正方形的條件。

D選項，∠AOB=60°，沒有條件可以得到這個結論，故不符合題意。6．【答案】A【知識點】整式的加減運算；二次根式的化簡求值；化簡含絕對值有理數【解析】【解答】解：∵-2＜m＜3

∴m-3＜0，m+2＞0

∴m?32=3?m，m+2=m+2

∴故答案為：A。【分析】根據a2=a=?aa＜07．【答案】D【知識點】列二元一次方程；勾股定理的實際應用-其他問題【解析】【解答】解：∵繩索長為x，由題意得木柱長為(x-3)尺

根據勾股定理得（x-3）2+82=x2故答案為：D。【分析】本題可以抽象成直角三角形，由繩索長為x，根據繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，可以得到木柱長為(x-3)尺，再根據牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時繩索用盡，這時可以看成是直角三角形的一條直角邊為8，斜邊是繩子的長，根據勾股定理即可得到（x-3）2+82=x2。8．【答案】B【知識點】三角形的面積；勾股定理的應用；圓與三角形的綜合【解析】，【解答】解：∵S1,S2,S3為半圓

∴S1=12π12AC2=18πAC2故答案為：B。

【分析】由S1,S2,S3為半圓，利用圓的面積公式=πr2，可以求出S9．【答案】C【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；矩形的性質【解析】【解答】解：過點E作EG⊥AF與點G，連接EF

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠D=90°，BC=AD

∴AD⊥CD

∵AE平分∠DAF，AF⊥GE

∴DE=EG，∠AGE=∠D=90°

∵點E為CD的中點

∴DE=CE

∴DE=EG=CE

∴在Rt△AGE與Rt△ADE中

∴AE=AE，DE=EG

∴Rt△AGE?Rt△ADE

同理Rt△FGE?Rt△FCE

∴AD=AG，GF=CF=1

∵BF=4，CF=1

∴BC=BF+CF=5

∴AG=5

∴AF=AG+GF=6故答案為：C。

【分析】利用矩形的性質，可以得到∠D=90°，BC=AD，做好輔助線，再利用角平分線的性質，得到EG=CE，再利用證明直角三角形全等的判定HL，即可得到Rt△AGE?Rt△ADE，Rt△FGE?Rt△FCE，可以得到AD=AG，GF=CF=1，再根據BC=BF+CF=5，即可得到AF=AG+GF=6。10．【答案】B【知識點】菱形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：連接AC交BD與點O，再連接AE交BD與點P

∵四邊形ABCD為菱形且邊長為4

∴AC⊥BD，AO=OC，AD=CD=BC=4

∵∠A=60°

∴∠ADB=60°

∵DE⊥BC于點E

∴∠BDE=30°，DE=23，E為BC中點

∴∠ADE=90°，CE=2

∴AE=27

∴△PCE的周長AE+CE=27【分析】利用菱形的性質，得到點A與點C關于BD對稱，CD=BC，再連接AE與BD交于點P，即為所求，求PC+PE就是求AE，根據∠A=60°，CD=BC，根據DE⊥BC于點E，利用等腰三角形三線合一，即可得到∠BDE=30°，利用勾股定理即可得到DE=23，CE=2，再根據∠A=60°，AD=AB，所以三角形ADB為等邊三角形，所以∠ADB=60°，即可得到∠ADE=90°，再次利用勾股定理即可得到AE=27，即可得到△PCE的周長AE+CE=11．【答案】28【知識點】三角形的中位線定理【解析】【解答】解：∵D，E為OA，OB的中點，且DE=14

∴根據三角形的中位線定理，可以得到AB=2DE=28故答案為：28。【分析】根據三角形的中位線定理，平行于第三邊且等于第三邊的一半，由D，E為OA，OB的中點，且DE=14，即可得到AB=2DE=28。12．【答案】5【知識點】實數在數軸上的表示；數軸上兩點之間的距離；運用勾股定理在數軸上標出無理數對應點【解析】【解答】解：∵數軸上點A，點B分別表示1和3

∴AB=3-1=2

∵CB⊥AB，且CB=1

∴在直角三角形ABC中AC=AB2+BC2=2故答案為：5+1【分析】根據數軸上兩點之間距離為大數減小數，所以AB=3-1=2，再CB⊥AB，可以得到三角形ABC為直角三角形，再根據CB=1，AB=2，即可得到點D表示的數是。13．【答案】24【知識點】勾股定理；菱形的性質【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形

∴AC⊥BD，AO=OC，OD=OB

∴∠AOD=90°

∵AC=6，AD=5

∴AO=3，

∴在Rt△AOD中，OD=AD2?AO2=52故答案為：24。【分析】根據菱形的性質，對角線互相垂直且平分，可以得到∠AOD=90°，BD=2OD，根據勾股定理得到，在Rt△AOD中，OD=AD2?A14．【答案】15【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的判定；等邊三角形的性質；正方形的性質【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形

∴∠BCD=90°，BC=CD

∵三角形BCE為等邊三角形

∴CE=BC，∠BCE=60°

∴CD=CE，∠DCE=∠BCE+，∠DBC=150°

∴∠EDC=∠DEC

∴∠EDC=180°-∠DCE=180°-150°=30°

∴∠EDC=15°故答案為：15°。【分析】根據正方形的性質得到，∠BCD=90°，BC=CD，再根據三角形BCE為等邊三角形，即可得到CE=BC，∠BCE=60°，所以CD=CE，根據等邊對等角，所以∠EDC=∠DEC，再利用三角形的內角和，即可得到∠EDC=180°-∠DCE=180°-150°=30°，即可得到∠EDC=15°。15．【答案】14或4【知識點】勾股定理；數形結合；分類討論【解析】【解答】解：此題需分類討論，當∠BAC為鈍角時，如下圖過點A做AD⊥BC與點D

∴∠ADB=90°

在RtADB中，AB=13，AD=12∴BD=5

同理在Rt△ADC中，AC=15，AD=12

∴DC=9

∴BC=BD+CD=14

當∠ABC為鈍角時，過點D作AD⊥CB交CB延長線與點D

∴∠ADC=90°

∴在Rt△ADC，與Rt△ABD中

AC=15，AD=12，AB=13

∴BD=5，CD=9

∴BC=CD-BD=4

綜上BC=14或4

故答案為：14或4。【分析】此題需要數形結合，當∠BAC為鈍角時，利用高AD可以得到△ABD與△ADC為直角三角形。利用勾股定理BA2?AD2=13216．【答案】①③【知識點】矩形的性質；旋轉的性質；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：①AE+CH=EH

過點B作BM⊥CE于M

∵旋轉性質：CB=CE，CD=CG，矩形中AB=CD，故AB=CG。

?∴AD∥BC

∴∠AEB=∠CBE

∵CB=CE

∴∠CBE=∠CEB

∴∠AEB=∠CEB。

?∴△ABE?△MBE

∴AE=ME，AB=MB

?∵MB=CG

∴△BMH?△GCH

∴MH=CH。

?∴EH=EM+MH

∴EH=AE+CH，①正確。

②∠DEC=3∠ABE

∵△ABE?△MBE

∴∠AEB=∠MEB

∵AD∥BC

∴∠DEC=∠ECB

?∴設∠ABE=α

∴∠AEB=90°-α，∠CEB=90°-α

∴∠AEC=180°-2α

?∵∠AEC+∠DEC=180°

∴∠DEC=2α=2∠ABE，不是3∠ABE，②錯誤。

③BH=HG

∵△BMH?△GCH

根據全等三角形對應邊相等

∴BH=HG，③正確。

④CH=2AB

∵FH平分∠EFG，∠EFG=90°

∴∠EFH=45°

∵∠FEH=90°

∴EF=EH。

?在矩形中AB=EF

∴AB=EH。

?∵①知EH=AE+CH

∴AB>CH，不是CH=2AB，④錯誤。

【分析】①根據旋轉?的性質CB=CE，CD=CG，矩形中AB=CD，AD∥BC，故AB=CG。∠AEB=∠CBE，再利用三角形全等，即可得到△ABE△MBE，所以AE=ME，AB=MB，根據MB=CG，得到△BMH?△GCH即可得到答案。

②根據△ABE?△MBE，AD∥BC，所以∠AEB=∠MEB，∠DEC=∠ECB，設∠ABE=α，所以∠AEB=90°-α，∠CEB=90°-α，所以∠AEC=180°-2α，再根據∠AEC+∠DEC=180°，即可得到∠DEC=2α=2∠ABE，故②錯誤

③根據BH=HG，得到△BMH?△GCH，利用全等三角形的性質即可得到BH=HG③正確。

④根據FH平分∠EFG，∠EFG=90°，即可得到∠EFH=45°，所以EF=EH，利用矩形性質?，AB=EF，即可得到AB=EH，根據①知EH=AE+CH，所以AB>CH，④錯誤17．【答案】（1）解：27?12+13

（2）解：(2+3)2?(2+3)(2?3).

=4+43【知識點】二次根式的性質與化簡；二次根式的加減法；二次根式的化簡求值【解析】【分析】（1）根據二次根式性質，再根據合并同類項法則，二次根式的加減法即可求出答案。

（2）根據完全平方公式a+b2=a18．【答案】（1）26；25；5（2）解：∵CD2=22+12=5，【知識點】勾股定理的逆定理；運用勾股定理解決網格問題【解析】解：（1）AB=52+12=25+1=26

BC=42+22=16+4=20=25

BD=32+42=2519．【答案】解：原式=a2-5-a2+2a=2a-5，將a=22=22=22【知識點】平方差公式及應用；二次根式的乘除混合運算；利用整式的加減運算化簡求值；求代數式的值-化簡代入求值【解析】【分析】先化簡代數式，根據平方差公式（a-b）（a+b）=a2-b2，即可得到(a+5)(a?5)=a2?5，再去括號得-a220．【答案】解：連接BD，∵點E、F分別是邊AB、AD的中點，EF=6，∴EF∥BD，BD=2EF=12，∴∠ADB=∠AFE=50°，在Rt△BDC中，BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，則BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°+50°=140°．【知識點】勾股定理的逆定理；三角形的中位線定理【解析】【分析】根據點E、F分別是邊AB、AD的中點，即可聯想到三角形的中位線，所以輔助線就出來了，連接BD，根據三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可得到EF∥BD，BD=2EF=12，利用平行線的性質，兩直線平行，同位角相等，即可得到∠ADB=∠AFE=50°，再利用勾股定理的逆定理得到BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，所以BD2+CD2=BC2，即可得到∠BDC=90°，所以∠ADC=90°+50°=140°。即可得到答案。21．【答案】（1）解：∵AB=AC

∴△ABC為等腰三角形

∵D是BC的中點

∴AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∵CE∥DA

∴EC⊥BC

∴∠ECD=90°

∵AE∥BC

∴∠E+ECB=180°

∴∠E=90°

∴四邊形ADCE是矩形（2）解：∵AB=AC

∴△ABC為等腰三角形

∵D是BC的中點，BC=12

∴CD=6，AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=100-36=64

∴AD=8

∵由（1）知道四邊形ADCE為矩形，

∴CE=AD=8。【知識點】勾股定理；矩形的判定與性質；等腰三角形的性質-三線合一【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質，三線合一可以得到AD⊥BC，再根據平行線的性質和矩形的判定即可得出四邊形ADCE為矩形。

（2）利用等腰三角形的三線合一即可得到BD=6，再根據勾股定理即可得到AD=8，根據矩形的性質對邊相等，即可得到CE=8.22．【答案】解：過點D作AD⊥BC于點D，設BD=x,則CD=14?x，在Rt△ABD與Rt△ACD中，∵A∴AB即13解得：x=5,∴AD∴AD=12(米)，∴學校修建這個花園的費用=30×1答：學校修建這個花園需要投資2520元．【知識點】三角形的面積；勾股定理【解析】【分析】過點D作AD⊥BC于點D，設BD=x,則CD=14?x,再根據勾股定理建立方程，解方程可得x=5，進而可得出AD的長，由三角形的面積公式即可求出答案.23．【答案】（1）證明：因為AO=OC，OB=OD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠2=∠ACB，因為∠1=∠2，所以∠1=∠ACB所以AB=CB，所以平行四邊形ABCD是菱形（2）解：因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，在Rt△ABO和Rt△EBO中，根據勾股定理得：OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，設OE=x，因為AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，所以62-（4+x）2=（23）2-x2，解得：x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5．【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的判定，對角線互相平分，即AO=OC，OB=OD，即可得到四邊形ABCD是平行四邊形，即可得到AD∥BC，再利用平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，即可得到∠2=∠ACB，再根據∠1=∠2，等量代換即可得到∠1=∠ACB，利用等角對等邊即可得到AB=CB，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得到平行四邊形ABCD是菱形。

（2）根據菱形的性質，對角線互相平分且垂直，即可得到AC⊥BD，根據支架三角形勾股定理得OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，再利用方程的思想，設OE=x，根據AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，利用勾股定理得到62-（4+x）2=（23）2-x2，所以x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5，即可得到答案。24．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AB，∠CBA=90°，∴∠CBF+∠GBA=90°，∵AG⊥BE，CF⊥BE，∴∠AGB=∠BFC=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，∴∠ABG=∠BCF，在△AGB和△BFC中，∠ABG=∠BCF∠AGB=∠BFC∴△AGB≌△BFC（AAS），∴AG=BF（2）解：∵正方形邊長為1

∴BC=AB=1，∠ABC=910°

∴在Rt△ABC中，AC=2

∵F為BH中點，CF⊥BH

∴△BCH為等腰三角形

∴BC=CH=1

∴AH=2?1

∵AD∥BC

∴△AHE~△CHB

∴AEBC=AHCH（3）解：如圖，四邊形ABCD是正方形，連接OG、OB，∴AO=BO，∠AOB=90°，又∵∠BGA=90°，∠GHA=∠OHB，∴∠FBO=∠GAO，在△OBF和△OAG中，BF=AG∠FBO=∠GAO∴△OBF≌△OAG（SAS），∴∠BOF=∠AOG，FO=GO，∴∠GOF=∠AOG+∠HOF=∠BOF+∠HOF=∠AOB=90°，∴△GOF為等腰直角三角形，∴GF2=OG2+OF2=2OF2，∠OFG=45°，∴GF=2∴CF=BG，∴CF-AG=BG-BF=GF，∴CF?AG=【知識點】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA【解析】【分析】（1）根據正方形的性質，鄰邊相等，內角為直角，即可得到BC=AB，∠CBA=90°，結合圖形得到∠CBF+∠GBA=90°，再根據垂直AG⊥BE，CF⊥BE，即可得到∠AGB=∠BFC=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，所以∠ABG=∠BCF，利用三角形全等的判定條件，即可得到△AGB≌△BFC，根據全等的性質，所以AG=BF。

（2）根據邊長為1，利用勾股定理即可得到對角線AC=2，再利用F為BH中點，CF⊥BH