第4講 函數(shù)的復習解析版

第4講函數(shù)的復習

模塊一：正反比例函數(shù)

知識精講

1、正比例函數(shù)：y=kx(A^O)；圖像是一條直線，與坐標軸僅有一個交點；Q0時，隨著x

的逐漸增大，函數(shù)值『的值越來越大；K0時，隨著x的逐漸增大，函數(shù)值y的值越來

越小.

2、反比例函數(shù)：y=-(*W0),圖像是雙曲線，與坐標釉無交點；〃>()時，在每一象限內(nèi)，

x

隨著X的逐漸增大，函數(shù)值y的值越來越小；似0時，在每一象限內(nèi)，隨著x的逐漸增

大，函數(shù)值y的值越來越大.

例題解析

例1.下列函數(shù)(其中x是自變量)中，是正比例函數(shù)的是()

A.y=x2B.y=(J2+1)xC.y=6):+lD.y=—

x

【答案】B

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)尸kx的定義條件：k為常數(shù)且kWO,自變量次數(shù)為1,逐項判斷

即可.

【詳解】A、y=x2,不符合正比例函數(shù)定義，不是正比例函數(shù)，故本選項錯誤;

B、y=（j2+l）x中，k=,2+1#0,符合正比例函數(shù)定義，故本選項正確；

C、y=JJx+l中，b=l,是一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，故本選項錯誤；

D、y二,不符合正比例函數(shù)定義,不是F比例函數(shù),故本選項錯誤.

x

故選：B

【點睛】本題考查正比例函數(shù)的定義，判斷每個選項是否符合正比例函數(shù)定義的條件是解

答本題的重要途徑.

例2.如果尸伙一3?+卜2-9）是正比例函數(shù)，那么k=

【答案】-3

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得出關于k的方程，解出即可;

【詳解】解：???y=（"3）x+（公-9）是正比例函數(shù)，

，1<2-9=0且k-3W0,解得k=-3.故答案是：-3.

【點睛】本題考查了止比例函數(shù)的定義，應注意求出k的值時，不要忘記檢驗k-2W0這個

條件.

例3（1）正方形的周長。與正方形的對角線長a正比例（填“成”或“不成”）；

（2）已知正比例函數(shù)的自變量x減少2時，對應函數(shù)的值增加3,則這個函數(shù)的解析式

為.

【難度】★

【答案】（1）成；（2）y=~x.

【解析】（1）正方形的對角線長為〃，則正方形的邊長為叵，則2，“丁=2日

2aa

為一定值，所以成正比例.

(2)設了=辰，則由題意，可得：y+3=Z(x-2),解得：k=——?

從而可得這個函數(shù)的解析式為y=-*|x.

【總結】考察正比例的定義和正比例函數(shù)解析式的求法.

例4(1)如果片A戶2股x是正比例函數(shù)，求A的值；

(2)如果丁=。〃-1)—0+3是反比例函數(shù)，求力的值.

【難度】★

【答案】⑴0；(2)4.

【解析】(1)因為是正比例困數(shù)，所以24=0,解得：攵二0；

(2)因為函數(shù)是反比例函數(shù)，

2

rri._./n[/??-5/??+3=-l.

加以“J得《?,??/〃=4.

〃，一1Ho

【總結】考察正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義，注意比例系數(shù)要不為零.

例5(1)正比例函數(shù))，=(nr-m)x/t,2-3m+i經(jīng)過第___________象限一隨x增大而；

(2)反比例函數(shù),=經(jīng)過第象限，在同一象限內(nèi)，y隨

*增大而.

【難度】★

【答案】(1)一、三，增大；(2)一、三，減小.

【解析】(1)因為是正比例函數(shù)，所以可得卜：一碗+1=1,解得：m=3,

in'-m00

???函數(shù)解析式為y=6x,圖像過一、三象限，y隨才的增大而增大；

(2)因為是反比例函數(shù)，所以可得“；-3加+1=-1,解得：吁2,

m-m*0

.??函數(shù)解析式為y=2,圖像過一、三象限，y隨x的增大而減小.

x

【總結】考察正、反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)，注意比例系數(shù)不為零.

例6.已知正比例函數(shù)片九必函數(shù)值y隨著x的增大而減小，反比例函數(shù)萬&（%＜（））,它

X

們在同i直角坐標系中的圖象大致是（）.

【難度】★

【答案】A

【解析】由題意可知：正比例函數(shù)在二、四象限；反比例函數(shù)在二、四象限，故選A.

【總結】考察正、反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì).

例7.已知y=x-M，,與x成正比例，乃與（匯一2）成反比例，當工=一2時，

y=-7；x=3時，）=13.求：y關于X的函數(shù)解析式

4

【答案】y=3x+——

x-2

tn,in

【分析】設,二履，必二江②，得到丁二"一記分，將X與y的兩組對應值代入

m

-7=-2k

得到二元一次方程組?，求出解集即可得到答案.

m

13=32

3^2

m.m

【詳解】解：設M=履，必=正②，則）'=履一注②,

in

-7=-2k-------

一2一2,解得一k=3

根據(jù)題意得：9

m=-4

13=3%---

3-2

4

則函數(shù)解析式是：），=3x+--

x-2

【點睛】此題考查正比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的定義，求出二元一次方程組的解，正

確理解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的定義并正確計算是解題的關鍵.

例8.已知正比例函數(shù)的圖像上一點尸的橫坐標是2,作勿J_x軸（。是坐標原點，〃是垂足），

△。/力的面積是6,求這個正比例函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】y=3x或y=-3x.

【解析】由題意可得：-OPPD=6,OP=2,則ED=6,，P（2,6）或網(wǎng)2,-6）

2

則正比例函數(shù)的解析式為y=3x或產(chǎn)-3x

【總結】考察正比例函數(shù)解析式的求法，注意長度轉成點坐標需要注意正負.

例9.已知如圖，點46是反比例函數(shù)尸3圖像上的點，分別經(jīng)過月，6兩點向/軸、/軸

x

做垂線段，若周影=1，貝％+&=（$，*指的是空白矩形的面積）?

【難度】★★

【答案】4

【解析】???S1+S陰影=3,S?+S陰影=3,S陰影=1，

???$=2,Sz=2,AS,+S2=4.

【總結】考察反比例函數(shù)的面積問題.過反比例函數(shù)y=4

x

上任意一點作X軸、y軸￡勺垂線，構成的矩形的面積為卜|.

例10.已知/(0,4)、8(6,4)、C(6,0)三點，經(jīng)過原點的一條直線把矩形如砥的面積

分成1:2兩部分，求這條直線的函數(shù)解析式.

【難度】★★

【答案】y=x^y=-x.

【解析】矩形如蛇的面積為24,因為直線將矩形分成1:2兩部分，則其中較小部分的面

積為8.當經(jīng)過原點的一條直線與相交時，其交點為〃,則、4xAD=8，則AD=4，

2

???0(4,4),此時正比例函數(shù)解析式為)，=x；

當經(jīng)過原點的一條直線與Q相交時，其交點為2,則，x6xCE=8,則CE=§,

23

???《6,g),此時正比例函數(shù)解.析式為產(chǎn))

【總結】考察面積的處理方法和正比例函數(shù)解析式的求法，注意分類討論.

例11.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點力的坐標為(1,0),在直線)，=等工上取一

點R使得△小〃是等腰三角形，求所有滿足條件的點P的坐標.

【難度】★★★

【解析】當OP=AP時，「點在的的線段垂直平分線上，則〃點的橫坐標為L

代入函數(shù)解析式可得縱坐標為除，當OP=OA時，設尸，〃，冬。

當A.=OA時，設〃〃，乎〃），貝JJ（〃一1『+（當〃]=1，???〃=0或楙，

???P（0,0）或回,其中與原點重合舍去.

滿足題意的點坐標為科制或尸惇,;或小今一；

綜上所述,

例12.已知如圖，矩形〃48C的頂點8（例2）在正比例函數(shù)y=gx的圖像上，點1在x軸

上，點。在y軸上，反比例函數(shù)的圖像過比邊上點M與/歷邊交于點雙且加U36M,求此

反比例函數(shù)的解析式及點A'的坐標.

【難度】★★★

【答案】y=p

【解析】???4（加，2）在正比例函數(shù)y的圖像上，，"7=4.

*/：.RM=3,CM=\,：.A/(l,2),

???反比例函數(shù)的解析式為y=2,.??N（4，F(xiàn).

【總結】考察反比例函數(shù)的解析式的求法和點坐標的求法.

例13.正比例函數(shù)），=心的圖像與反比例函數(shù)），=2的圖像相交于點A、B（如圖），點A

X

在第一象限，且點A的橫坐標為1,作AO_Lx軸，垂足為。點，SM“=1.

（1）求點A的坐標；

（2）求這兩個函數(shù)的解析式；

（3）如果△Q4C是以。4為腰的等腰三角形，且點。在工軸上，求點C的坐標.

【難度】★★★

【解析】（1）由題可知，點力坐標為：A（l,2）；

（2）反比例函數(shù)解析式為y=二；正比例函數(shù)解析式為），=2「

x

（3）當。4=OC時，OA=后，則C（0,0）或C（一石,0）,

當OA=4CH寸，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得：OD=DC=\,AC（2,0）

綜上所述：。（6,0）或。（-石，0）或。（2,0）.

【總結】考察正反比例函數(shù)解析式的求法和等腰三角形的分類討論.

例14.如圖所示，已知正方形力比方的邊長是3厘米，動點〃從點8出發(fā)，沿8aM方向運動

至點力停止.點尸的運動的路程為x厘米，外的面積為y平方厘米.

（1）當點，在歐上運動時，求y關于x的解析式及定義域;

（2）當點〃在⑦上運動時，求y關于x的解析式及其定義域;

（3）當x取何值時，△力“的面積為1.5平方厘米？

【難度】★★★

【解析】（1）當點〃在式上運動時，PB=x（0<x<3）

1C

y=—xABxBP=-^x（0<x<3）；

（2）當點P在⑺上運動時，BC+CP=x,

y=—xABxBC=—（3<A*<6）；

22

（3）-xABx//=1.5,h=1

2

當〃在a'邊上時，A=1；當〃在物邊上時，x=8.

模塊二：一次函數(shù)

知識精講

1.函數(shù)的概念和圖像及性質(zhì)

（1）定義：解析式形如）〃伏工0）的函數(shù)叫做一次函數(shù).

（2）次函數(shù)的圖象滿足:

①形狀是一條直線；②始終經(jīng)過(0,b)和(-2,0)兩點；

k

(3)定義：直線產(chǎn)去(心0)與y軸的交點坐標是(0"),截距是加

(4)一次函數(shù))，=履+〃伏工0),當&>0時，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大：當k<0

時，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小.

2.函數(shù)的應用

(1)實際問題；

(2)數(shù)形結合類.

例題解析

例1(1)已知一次函數(shù))，=&+2，當產(chǎn)-3時，尸1；當產(chǎn)2時，尸-6,求這個一次函數(shù)的

解析式；

(2)已知一次函數(shù)尸/'(x),且/'(T)=-3,/(1)=1,求函數(shù)的解析式.

【難度】★

【答案】(1)y=-1x-y；(2)f(x)=2x-l.

,f,_7

【解析】(1)由題意可得：「解得：》，

[2k+b=-6b=~

則一次函數(shù)解析式為y=—gx-￡；

(2)設/(x)=b+b,

Ig上一r,口[-/:+/>=-3\k=2

由題意可得：<?解得：，

k+b=\[/?=—1

則一次函數(shù)解析式為/(x)=2x-l.

【總結】考察利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的求解析式.

例2(1)若一次函數(shù)片*(1-幻+3的圖像在p軸上的截距是-5,求這個函數(shù)解析式；

(2)若一次函數(shù)y=(2-k)x+(4-F)的圖像經(jīng)過原點，求女的值.

【難度】★

【答案】（1）y=-8x-5；（2）k=-2.

【解析】（1）若一次函數(shù)尸〃（1—x）+3的截距為2+3=—5,則女=—8,

所以這個函數(shù)的解析式為），=-8%-5

（2）?.?圖像過原點,

.?.4-r=0且2一丘o,:.攵二一2

【總結】考察一次函數(shù)的截距等概念.

例3（1）若宜線片〃田人與直線片-2田4無交點，且直線尸與x軸的交點是

（3,0）,求此函數(shù)解析式；

（2）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1,-2）、（-2,1）.求這個一次函數(shù)的解析式.

【難度】★

【答案】（1）y=—2x+6；（2）y=-x-\.

【解析】（1）????直線片"戶6與直線產(chǎn)-2公4無交點，

直線y=kx+b與直線尸-2產(chǎn)"4平行，，攵=一2,故解析式為y=-2x+b,

???直線產(chǎn)〃戶6與7軸的交點是（3,0）,???b=6,

函數(shù)解析式為y=-2x+6；

（2）設），=&K+8,

k+b=_2k—~1

由題意可得：…二，解得：~，則一次函數(shù)解析式為y=-x-1.

【總結】考察一次函數(shù)解析式的求法，注意兩直線的位置關系與衣和6的關系.

例4（1）若把函數(shù)），=-的圖像向下平移4個單位，再向右平移2個單位，求平移

后的函數(shù)解析式：

（2）若一次函數(shù)的圖像向下平移4個單位，再向右平移2個單位得到的函數(shù)解析式是

y=--x，求平移前的函數(shù)解析式.

3

【難度】★★

【答案】（1）>?=-—X--;（2）y=-—x+—?

3333

【解析】（1）利用平移規(guī)則，可知平移后的函數(shù)解析式為：y=--（x-2）-4=--x--；

-333

（2）利用平移規(guī)則，可知平移后的函數(shù)解析式為：），=-g（x+2）+4=-gx+g.

例5.已知直線廣〃戶4經(jīng)過點產(chǎn)（1,加，且平行于直線尸-2戶1,它與x軸相交于點兒求

△OPA的面積.

【難度】★★

【答案】2.

【解析】:?直線片AH4平行于直線產(chǎn)-2戶1,k=-2,則y=-2x+4,

則它與x軸相交于點A（2,0）.

???直線），=一2工+4經(jīng)過點夕（1,m）,???〃z=2,???P（1,2）.

???△/初的面積為：-xOAxPv=lx2x2=2.

2y2

【總結】考察一次函數(shù)的圖像性質(zhì)及與三角形面積的結合.

例6.已知一次函數(shù)），=履+〃的自變量的取值范圍是-2Wx<6,相應的函數(shù)值的范圍是

-H<y<9,求這個函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】y=-3+4或.

【解析】當左<0時，則有[二產(chǎn)”=9解得：卜二一3，

回+〃=-11[/?=4

這個函數(shù)解析式為y=-1x+4；

th解得:

當攵＞0時，則有，

b=-6

這個函數(shù)解析式為尸Tx-6.

【總結】考察一次函數(shù)的性質(zhì)，注意此類題要有兩種情況的分類討論.

例7.已知直線/過點（-2,4）,旦弓兩坐標軸圍成一個等腰三角形，

（1）求這個一次函數(shù)的解析式；

（2）所得三角形的周長及面積.

【難度】★★

【解析】設一次函數(shù)的解析式為），=匕+人

???函數(shù)圖像與兩坐標軸圍成一個等腰三角形，?」4=卜詈，則2=1或-1

當&=1時，一次函數(shù)為y=x+Z?,直線/過點（-2.4）,「?〃=6,y=x+6

與坐標軸的交點為（0,6）,（-6,0）,此時周長為12+8巨，面枳為18；

當&=一1時，一次函數(shù)為y=-x+〃，直線/過點（-2,4）,/.Z?=2,y=-x+2,

與坐標軸的交點為（0,2）,（2,0）,此時周長為4十2亞，面枳為2.

【總結】考察一次函數(shù)的性質(zhì)，注意線段長與點坐標之間的轉換.

例8.某中學初二年級準備購買10只米奇品牌的筆袋，每只筆袋配x（＞23）支水筆作為獎

品.已知48兩家超市都有這個牌子的筆袋和水筆出售，而且每只筆袋的標價都為2D元,

每只水筆的標價都為1元，現(xiàn)兩家超市正在促銷，力超市所有商品均打九折銷售，而8超市

買1只筆袋送3支水筆，若僅考慮購買筆袋和水筆的費用，請解答下列的問題：

（1）如果只在某一家超市購買所需筆袋和水筆，那么去哪家超市購買更合算？

（2）當年12時，清設計最省錢的購買方案.

【難度】★★★

【解析】（1）1家超市共付（10x20+10x）x0.9=180+9x（x》3）；

6家超市共付10x20-10x-30=10x+170(x23)：

當180+9x=10x+170時，則x=10；當180+9x>10x+190時，則xvlO；

當180+9xvl0x+190時，則x>10；

所以每只筆袋配10只筆時，力、8兩家超市都一樣；

每只筆袋配超過10只筆時，選力家超市更合算；

每只筆袋配超過10只但是不少于3只筆時?，選“家超市更合算；

(2)當產(chǎn)12時，即要10支筆袋，配120支筆.

設總費用為公在力超市買a只筆袋，在6超市買(10-a)只，送了3(10-a)支筆，

則h=0.9x[20?+120-3(10-a)]+20(10-a)

/?=0.767+281(0<?<10)

故當a=0時，總費用最少，為281元，

因此在8超市買10只筆袋，在A超市買90支水筆是最省錢的購買方案.

【總結】考察?次函數(shù)的應用.

例9.若直線)，=h+￡過)，=3X-5與)，=一21+10的交點A,y=kx+b^jy軸于B,

y=-2x+10交x軸于C,若SMBC=l2,求直線y=y=kx+b的解析式.

【難度】★★★

【答案】y=2x-2.

【解析】???)，=3X-5與)，=—2工+10的交點力為(3,4),y=履+〃與y軸交于點以0,b),

)，=-2》+10交》軸于點45,0)

又???直線丁=丘+人過力為(3,4),???3%+8=4,

，過4作力反Lx軸，垂足為反

當0vH4時,

S^ABC=S四邊形八雎+S^EC~^/\OBC=—X3X(Z>4-4)+—X2X4——X5XZ>=12

解得：b=-2（舍去）

當。＜0時，設直線45與仇?相交于產(chǎn)

**?S^ABC-S&AFC+SgFC=415+—|(4-^)=12

2

V3k+b=4,:.k=2,b=-2,

???直線解析式為＞=2x—2.

【總結】考察面積問題的處理方法，注意分類討論.

模塊三：綜合

例題解析

例1.己知反比例函數(shù)y=K（&工（））和一次函數(shù)y=2x-l,其中一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點

X

(h5).

（1）試求反比例函數(shù)的解析式;

（2）若點/I在第?象限，且同時在上述兩個函數(shù)的圖像上，求點力的坐標.

【難度】★★

【答案】(1)y=—;(2)4(3,5).

x

【解析】（1）???一次函數(shù)y=2x—l經(jīng)過點（〃,5）,?,?&=3,，點坐標為（3,5）,

又因為這個點在反比例函數(shù)上，所以反比例函數(shù)的解析式為y="

x

(2)令"=2x-l,解得：X]=--,X,=3,代入y="可得：y=-6,%=5,

x2x

???點力在第?象限，，A（3,5）.

【總結】考察反比例解析式的求法和交點坐標的求法.

例2.如圖，一次函數(shù)），=奴+人伏wO）的圖像與x軸、y軸分別交于點力、8兩點,且與反

比例函數(shù)），=〃（〃2工0）的圖像在第一象限交于C點，徵垂直于X軸，垂足為〃.若

X

OA=OB=Ob=1.

（1）求點力、B、〃的坐標；

（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】（1）4（-1,0）,8（0,1）,。（1,0）；

2

（2）y=x+1?y=—.

x

【解析】（1）?：0A=0B=0D=\,A>4（-1,0）,4（（）,1）,D（l,0）；

（2）???一次函數(shù)y="+。伐工0）的圖像與x軸、y地分別交于點力、B兩點,

y=x+1；

???。在y=x+l匕AC（l,2）.

*/。（1,2）在），=乂上，J

xx

【總結】考察反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求法.

例3.如圖，一次函數(shù)）=奴+。伙。0）的圖像與與反比例函數(shù)y=-色的圖像交于力、8兩

x

點，且點力的橫坐標和點8的縱坐標都是-2,

求：（1）一次函數(shù)的解析式；（2）A/1仍的面積.

【難度】★★

【答案】（1）y=-x+2：（2）6.

【解析】（1）?.?點/的橫坐標和點△的縱坐標都是-2,

且兩點都在反比例函數(shù)丁=-?的圖像上，

x

???A（-2,4）,8（4,-2）

???兩點都在一次函數(shù)丁=辰+6（&*0）上，

*-2k+b=4?{k=-1

??A,??S9

4k+b=-2b=?.

?'.一次函數(shù)解析式為：y=-x+2-.

（2）???一次函數(shù)y=-x+l與x軸的交點為（2,0）,

?**S*=SZOE+S△⑷8=/X2X4+]X2X2=6.

【總結】考察反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的求法及三角形血積的求法.

例4.已知點力（勿，2勿）（其中加＞0）在雙曲線），=色上，直線產(chǎn)過點兒并且與坐標

x

軸正方向所圍成的三角形的面積是18,求直線的解析式.

【難度】★★

【答案】y=-x+6或y=-4x+12.

【解析】???點月（/〃，2/7/）（其中〃》0）在雙曲線），=色上，

X

o

2m=—>，〃z=2或一2,*.*〃?>0,，〃z=2，:.A（2?4）

m

???直線尸k/b過點兒：,2k+b=4

???直線片與坐標軸正方向所圍成的三角形的面積是18,

???g?>（-'）=18,解得：攵二-1或Y

當左=一1時，b=6,直線的解析式為y=-x+6；

當攵=-4時，力=12,直線的解析式為），=Tx+12.

【總結】考察反比例函數(shù)、一次函數(shù)解析式的求法和面積問題的處理方法.

例5.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點〃（-3,2）、Q（2,-3）.

（1）求這兩個函數(shù)的函數(shù)解析式；

（2）在給定的直角坐標系中，畫出這兩個函數(shù)的大致圖像；

<3）當x為何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？當x為何值時，一次函數(shù)的

值小于反比例函數(shù)的值？

【難度】★★

【解析】（1）反比例的函數(shù)解析式為），=-工

x

設?次函數(shù)的解析式為），=丘+）,

-3k+b=2

則可得:

2k+b=-3

所以一次函數(shù)解析式為)，=-工-1：

(2)如右圖：

(3)當x<-3或0cx<2時，-次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值：

當-3<x<0或;r>2時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

【總結】考察反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)性質(zhì)的分析?.

例6.已知一次函數(shù)y=(〃?-2)x+2/〃-3；

(1)求證：無論加取何實數(shù)，函數(shù)的圖像恒過一定點；

(2)當工在1<工42內(nèi)變化時，在4W.yW5內(nèi)變化，求機的值.

【難度】★★★

【答案】(1)見解析；[2)777=3.

【解析】(1)y=/〃(x+2)—2x-3,當x+2=0,即x=-2時，y=l,

???無論機取何實數(shù)，函數(shù)的圖像恒過一定點(-2,11；

(m-2+2m-3=4

當團-2>0時，z*o二4，解得：〃?=3；

(2)[2(〃?-2)+2加-3=5

m-2+2m-3=5

當m-2<0時，L°、°???解不等式后不存在這樣的/〃值,

2(m-2)+2m-3=4

所以tn-3.

【總結】考察解析式圖像恒過一定點的條件和一次函數(shù)的增減性的運用.

隨堂檢測

1.(l)y與K成正比例，且產(chǎn)4時，尸-4,那么y與x之間的函數(shù)關系式為；

(2)j-1與z成正比例，比例系數(shù)為2,z與六1成正比例，當產(chǎn)T時，y=7,那么y

與》的函數(shù)關系式為

【難度】★

【答案】（1）y=—x；（2）y=-4x+3.

【解析】（1）由題意可知，函數(shù)關系式為：），=-X；

（2）??51與z成正比例,比例系數(shù)為2,

y+1=2z：

,二Z與"成正比例，.??設Z=

+1=2k（x-1）?

???當片T時，尸7,???左=一2,

y=-4x+3.

【總結】考察正比例的定義.

2.已知廠3與x成正比例，且產(chǎn)2時，y=7.

（1）寫出y與x的函數(shù)關系式；

（2）計算產(chǎn)4時尸的值；

（3）計算尸4時為的值.

【難度】★

【答案】（1）y=2x+3；（2）11；（3）g.

【解析】（1）設），-3=云，???產(chǎn)2時，尸7,???k=2,/.y=2x+3；

（2）當x=4B寸，），=11；

（3）當y=4時，x=~.

2

【總結】考察正比例的定義，及根據(jù)其中一個變量的值求另一個變量的值.

3.已知正比例函數(shù)丁=依伙＞0）的圖像上有兩點且4（再，y）,例X2，）’2），且小〉羯則

M與理的大小關系是（）

D.不能確定.

A.X<%B.y>y2c.y\-%

【答案】B

【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的系數(shù)衣判斷出函數(shù)的增減性，再由汨>必即可得出結論.

【詳解】解：???正比例函數(shù)片履中，Q>0,J此函數(shù)是增函數(shù).

Xi>x->,.*.yi>j2.故選：B.

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)的增減性與系數(shù)k的

關系是解答此題的關鍵.

4.下列四個函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）

/\.y=—+\B.y=-XC.y=x2+1I）,y—y[x-1

X

【答案】B

【分析】依據(jù)一次函數(shù)的定義進行解答即可，一次函數(shù)H勺定義：一般地，形如y=kx+b（k

X0,k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).

【詳解】解：A、y=-+h自變量x的次數(shù)為-1,不是一次函數(shù)，故A錯誤；

X

B、y=x是一次函數(shù)，故B正確；

C、>=/+]是二次函數(shù)，故c錯誤；

D、）,二4一1中，自變量次數(shù)不為1,不是一次函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的定義，掌握一次函數(shù)的定義是解題的美鍵.

5.下列函數(shù)中，）'隨x的增大而減少的函數(shù)是（）

A.y=-2xB.y=-c.y=--D.y=2x

XX

【答案】A

【分析】A.根據(jù)一次函數(shù)圖象性質(zhì)解題;

B.根據(jù)反比例函數(shù)圖象解題；

C.根據(jù)一次函數(shù)圖象性質(zhì)解題：

D.根據(jù)正比例函數(shù)圖象性質(zhì)解題.

【詳解】A.正比例函數(shù)y=-2x中，k<0,y隨x增大而減小，故A正確；

B.在反比例函數(shù)y=，中當k>0時，圖象分布在一、三象限，在第一象限中，》隨工的增大

x

而減小，第三象限中，y隨x的增大而減小，故選B錯誤；

C.在反比例函數(shù)廣-■!■中，圖象分布在二、四象限，在第二象限中，丁隨x的增大而增

x

大，在第四象限中，<0時y隨4的增大而增大，故c錯誤；

【）.正比例函數(shù)y=2x中,k>（）,y隨x增大而增大，故D錯誤.

故選A.

【點睛】本題考查正比例函數(shù)圖象的增減性、一次函數(shù)圖象的增減性、反比例函數(shù)圖象的

增減性等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

6.已知正比例函數(shù)），=攵/中，）'隨x的值的增大而減小；反比例函數(shù)>=勺■中，在每一

x

個象限內(nèi)，隨工的值的漕大而增大，那么這兩個函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的大致圖像可能是

（）

【答案】A

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)了二勺工中，y隨x的增大而減小，圖像過二、四象限，反比例函

數(shù)），二&中，在每一個象限內(nèi)，y隨x的值的增大而增大，圖像位于二、四象限，則可得

X

答案.

【詳解】解：正比例函數(shù)》=后/中，y隨X的增大而減小，

圖像過二、四象限，故B、C錯誤，

又反比例函數(shù)y二士■中，在每一個象限內(nèi)，V隨工的值的增大而增大，

x

,圖像位于二、四象限，」.只有A正確，故選：A

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、正比例函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，

利用一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

7.在一次函數(shù)尸ax-a中，y隨x的增大而減小，則其圖像可能是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)y隨x的增大而減小可得aVO,然后判斷函數(shù)圖象即可.

【詳解】解：???一次函數(shù)y=ax-a中，y隨x的增大而減小，

Aa<0,-a>0,???其圖象過一、二、四象限，故選：B.

【點睛】本題考查了次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)增減性判斷出“VO,是解題的關

鍵.

8.一次函數(shù)V=〃zr+〃的圖像如圖所示，那么下列說法正確的是（）

A.當x>0時，y>-2B.當時，y<0

C.當工<1時，y>0D.當x<0時，-2<y<（）

【答案】A

【分析】根據(jù)圖像，結合一次函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即可.

【詳解】A.由圖像可知，當工>0時，y>-2,故正確；

B.由圖像可知，當XN1時.，y20,故不正確；

C.由圖像可知，當xvl時，yVO,故不正確；

D.由圖像可知，當了<0時，y<-2,故不正確；

故選A.

【點睛】本題主要考杏函數(shù)和不等式的關系及數(shù)形結合思根的應用.解決此類問題關鍵是

仔細觀察圖形，注意幾個關鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結合.

二、填空題

9.平面直角坐標系中，點力坐標為（26，2）,將點力沿x軸向左平移加個單位后恰好

落在正比例函數(shù)y=-20x的圖象上，則/的值為_____.

■田生、7>/3

【答案】_2_.

3

【分析】根據(jù)點的平移規(guī)律可得平移后點的坐標是（26-〃7,2）,再根據(jù)正比例函數(shù)圖

象上點的坐標特點可得（20一6”（-2月）=2,再解方程即可得到答案.

【詳解】解：A坐標為（2JJ,2）,

???將點A沿x軸向左平移加個單位后得到的點的坐標是（26-機，2）,

恰好落在正比例函數(shù)y=-2瓜的圖象上，

「.（26-心（-2揚=2,

解得：機=拽.

3

故答案為：友.

3

【點睛】此題主要考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，關鍵是根據(jù)點的平移規(guī)律解

答.

10.已知函數(shù)丁="次+w2+〃2為正比例函數(shù)，則常數(shù)”的值為______.

【答案】-1

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)為概念可直接進行列式求解.

［詳解】解:???函數(shù)y=mx+nr+m為正比例函數(shù)，

/w2+/w=0?且加=0,解得：m=—1：故答案為T.

【點睛】本題主要考查正比例函數(shù)的概念及一元二次方程的解法，熟練掌握正比例函數(shù)的

概念及一元二次方程的解法是解題的關鍵.

11.如果正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點（Y,2）,則它的解析式為.

【答案】y=--x

2

【分析】設正比例函數(shù)關系式為片履（女工0）將點（-4,2）直接代入即可求得函數(shù)的解

析式.

【詳解】解：設函數(shù)的解析式是片履（20）,

把（-4,2）代入就得到：-4A=2,解得：A=--,

2

因而這個函數(shù)的解析式為：y=--x.故答案為：y=--x

22

【點睛】本題主要是運用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，這是最常用的求解析式的方法.

12.正比例函數(shù)y=（2Z+l）x的圖像經(jīng)過第二、四象限，則k.

【答案】k<―

2

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)經(jīng)過象限，得到關于k的不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：???正比例函數(shù)y=（2攵+l）x的圖像經(jīng)過第二、四象限，

***2Z+1v0,解得k<—.故答案為：k<—

22

【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在正比例函數(shù)中當k>0時，圖象經(jīng)過第

一、三象限，當k<0時，圖象經(jīng)過笫二、四象限.

13.直線），=履+。與直線y=x-5平行，并且直線與）’軸交點到原點的距離是2,則這條

直線的解析式為—.

【答案】y=x+2或y=x-2.

【分析】設所求直線解析式為y=kx+b,根據(jù)兩直線平行的問題得到k=l,再根據(jù)直線y

=kx+b與y軸交點到原點的距離為2,得到b=±2,于是可確定所求直線解析式.

【詳解】設所求直線解析式為y=kx+b,

，?,直線y=kx+b與y=x-5平行,/.k=l,

???直線y=kx+b與y軸交點到原點的距離為2,Ab=2或-2,

工所求直線解析式為y=x+2或y=x-2.故答案為：y=x+2或y=x-2.

【點睛】本題考查了兩條直線相交或平行的問題：若兩條直線的交點坐標，就是由這兩條

直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解.若兩條直線是平行的關系，

那么他們的自變最系數(shù)相同，即k值相同.

14.如圖，已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點力（2,3）,8（%6）.

（1）求正比例函數(shù)的解析式及〃，的值；

（2）分別過點力與點8作y軸的平行線，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的分支分別交于點

a〃（點￡〃均在點力、8下方），若盼5AC.求反比例函數(shù)的解析式.

【分析】（1）根據(jù)A點坐標可知，用待定系數(shù)法即可求得正比例函數(shù)解析式，再將B點坐

標代入即可求得m的值；

（2）設反比例函數(shù)表達式為），=2,表示BD和AC,利用法54c列出方程即可求得n.

【詳解】解：（1）設正比例函數(shù)的解析式為尸kx,

???正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點A（2,3）,???3=2k,???%=]

33

???比例函數(shù)的解析式為y=把B（m,6）代入解析式得6二耳機，解得m=4；

（2）?.?AC〃BD〃y軸，???C點的橫坐標為2,D點的橫坐標為4,

設反比例函數(shù)的解析式為丁二@，分別代入得先.

x2A

??AC—3—,BD=6—，VBD-5AC?/?5（3—）=6—，解得n=4,

2424

4

反比例函數(shù)的解析式為），=一.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與?次函數(shù)綜合.掌握待定系數(shù)法是解決（1）的關鍵，能正

確表示線段的長度是解決（2）的關鍵.

15.如圖，一次函數(shù)）="+〃的圖像與反比例函數(shù)》='的圖像相交于A（2,2）、

X

8（T-4）兩點.

8(?1/4)

（1）求出兩函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)圖像回答：當大為何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值?

（3）連接4。、B0,試求AAOB的面積.

4

【答案】(1))，:一，y=2x-2；(2)-1<XVO或x>2；(3)3

x

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)觀察圖象，當一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的取值范圍即是答案；

(3)設直線A8:)，=2x—2與x軸交于點C,求出點根據(jù)

+SA80c即可求出答案.

【詳解】解：(1)因為反比例函數(shù)y=色的圖像經(jīng)過點4(2,2),

in4

所以，2=-,得m=4,所以，反比例函數(shù)解析式為y二,

因為一次函數(shù))，=3+人的圖像經(jīng)過點A(2,2)、8(—1,-4),所以L+b__4

k=2

解得Lc，故所求的一次函數(shù)解析式為y=2X-2：

b=-2

(2)當-l<x<0或/>2時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.

(3)設直線A8:)，=2x-2與x軸交于點。，

當y=0時，2%一2=()，得x=l,???點C(l,0),???0C=l.

=X，X2+X1X4=3

SMOB=Sgoc+SRBOC22,

【點睛】此題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，函數(shù)圖象與幾何圖象，待定系數(shù)法求