高中數學-圓與方程試題含答案

高中數學-圓與方程試題含答案

1,圓(x+2)八2+y=5關于原點P(0,0)對稱的圓的方程為0

Ao(x-2)A2+y=5

Box+(y-2)A2=5

Co(x+2)八2+(y+2)八2=5

Dox+(y+2)八2=5

2.若P(2,?1)為圓(x?1)八2+y=25的弦AB的中點，則直線

AB的方程是()

Aox-y-3=0

Bo2x+y-3=0

Cox+y-l=0

Do2x-y-5=0

3.圓x+y-2x-2y+l=l的點到直線x-y=2的距離最大值是()

Ao2

B。1+也

Co1+2<2

D.1+2

4.將直線2x-y+入=0,沿x軸向左平移1個單位，所得直線

與圓xA2+yA2+2x-4y=0相切，則實數人的值為()

Ao-3或7

B。-2或8

Co0或10

Do1或11

5.在坐標平面內，與點A(l,2)距離為1,且與點B(3,l)距

離為2的直線共有()

Ao1條

Bo2條

Co3條

D。4條

6.圓x+y-4x=0在點P(l,3)處的切線方程為()

Aox+3y-2=0

Box+3y-4=0

Cox-3y+4=0

Dox-3y+2=0

二、填空題

1.若經過點P(?l,0)的直線與圓x八2+y八2+4x?2y+3=0相切,

則此直線在y軸上的截距是.

2.由動點P向圓x八2+y八2=1引兩條切線PA,PB,切點分別

為A,B,ZAPB=60,則動點P的軌跡方程為.

3.圓心在直線2x?y?7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0,-

4),B(0,-2),則圓C的方程為.

4.已知圓(x-3)八2+y八2=4和過原點的直線y=kx的交點為

P,Q,則OPQQ的值為.

5.已知P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA,PB是圓

x八2+H2-2x-2y+l=0的切線,A,B是切點,C是圓心,那么四

邊形PACB面積的最小值是.

三、解答題

1.點P(a,b)在直線x+y+1=0上,求aA2+bA2-2a-2b+2的最

小值。

2.求以A(-1,2),B(5,-6)為直徑兩端點的圓的方程。

3.求過點A(l,2)和B(l/0)且與直線x-2y-l=0相切的圓的

方程。

4.已知圓C和y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且被直

線y=x截得的弦長為27,求圓C的方程。

1.若直線$x-y=2$被圓$(x-a)+y=4$所截得的弦長為22,

則實數$a$的值為()

解析：直線與圓相交，可以將直線的$y$解出，代入圓的

方程中得到一個關于$x$的二次方程，解出兩個根，這兩個根

的差即為弦長。將弦長設為22,解方程得到$a-l$或$a=3$,

故選Ao

2.直線$x-2y-3$與圓$(x-2)+(y+3)=9$交于$E,F$兩點，

則$\triangleEOF$($0$是原點)的面積為()

解析：首先求出直線與圓的交點，設交點為$(x_O,y_O)$,

則代入直線方程得到$x_0=2y_0+3$,代入圓的方程得到

$y_0=-3\pm\sqrt{5}$o由于圓心在原點,故$\triangleEOF$是

等腰三角形，底邊$EF$的長度為圓心到直線的距離，即

$\frac{|3-0-4|){\sqrt{1A2+2A2}}=\frac{l}{\sqrt{5}}$,因此

$\triangleEOF$的面積為

$\frac{I}{2}\times\frac{1}{\sqrt{5}}\times2\sqrt{5}=l$,故選

Bo

3.直線$1$過點$(-2,)$,$1$與圓$x+y=2x$有兩個交點時,

$(-2,)$斜率$k$的取值范圍是0

解析：將直線方程$y=k(x+2)$代入圓的方程得到

$xA2+(k-2)x+(k-2)=0$,由于直線與圓有兩個交點，故判別式

$\Delta=(k-2)A2-4(k-2)\geq0$,解得$k\in\left(-2,-

\frac{1}{2}\right]\cup[2,\infty)$,故選C。

4.已知圓$C$的半徑為2,圓心在$x$軸的正半軸上，直

線$3x+4y+4$與圓$C$相切，則圓$C$的方程為()

解析：設圓$C$的圓心坐標為$(a,0)$,由于圓心在

$x$軸的正半軸上，故$a\geq0$o設切點坐標為$(x_0,y_0)$,

則直線的斜率為$-\frac{3}{4}$,切線的斜率為$\frac{4}{3}$,

故$y_0=\frac{4}{3}(x_0-a)$o將圓的方程代入直線的方程得

到$x_0=\frac{2a+4}{5}$,代入圓的方程得到$a=\frac{2}{5}$,

故圓$C$的方程為$x"+y八2.\frac{4}{5}x=4$,化簡得到

$xA2+yA2Afrac{4}{5}x-4=0$,故選D。

5.若過定點$M(?1,)$,且斜率為$k$的直線與圓

$xA2+4x+y-5=0$在第一象限內的部分有交點，貝U$k$的取值

范圍是()

解析：將直線方程$y=k(x+l)$代入圓的方程得到

$xA2+(4k-l)x+(k-5)=0$,由于直線與圓在第一象限內有交點，

故判另I式$\Delta=(4k-1)A2-4(k-5)\geq0$,解得$k\in\left(-5,-

\frac{1}{4}\right]\cup[5,\infty)$,故選D。

6.設直線$1$過點$(-2,)$,且與圓$x+y=l$相切,則

$1$的斜率是()

解析：設直線$1$的斜率為$1<$,切點的坐標為

$(x_0,y_0)$,則直線方程為$y=k(x+2)$,圓的方程為$x+y=l$。

由于直線與圓相切，故切點到直線的距離等于圓心到直線的距

離，即$\frac{|k+1-2k-|}{\sqrt{1A2+1A2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,

解得$k=\pm1$,故選Ao

二、填空題

1.直線$x+2y二$被曲線$x+y-6x-2y?15二$所截得的弦長等

于22.

2.圓$C:x+y+Dx+Ey+F=$的外有一點$P(x,y)$,由點

$P$向圓引切線的長2.

3.對于任意實數$k$,直線$(3k+2)x-ky-2=$與圓$x+y-2x-

2y-2=$的位置關系是

4.動圓$x+y-(4m+2)x?2my+4m+4m+l=$的圓心的軌跡方

程是。

5.$P$為圓$x+y=l$上的動點,則點$P$到直線$3x-4y-

10=$的距離的最小值為.

三、解答題

1.求過點$A(2,4)$向圓$x+y=4$所引的切線方程。

解析：設切點坐標為$(x_0,y_0)$,則直線$AA'$的斜率

為$\frac{y_0-4}{x_0-2}$,切線的斜率為$-\frac{x_0+y_0-

4}{x_0-y_0)$,由于直線與切線重合，故有$\frac{y_0-4Hx_0-

2}=-\frac{x_0+y_0-4}{x_0-y_0}$,解得$x_0=\frac{10}{3}$,

$y_0=\frac{2}{3}$,切線的斜率為$-\frac{lONd/Bd-

\fraT15}{2}$,故切線方程為$y-4=-\frac{15}{2}(x-2)$,化簡

得到$15x+2y=38$o

2.求直線$2x-y-l$被圓$x+y-2y-l$所截得的弦長。

解析：將直線方程$y=2x-l$代入圓的方程得到$x”+(2-

2y)x+(y-l)=0$,解得$x=\frac{2y-2\pm2\sqrt{2y-l}}{2}$o由

于直線與圓相交,故$2y-l\geq0$,故$y\geq\frac{l}{2}$。

將兩個交點的坐標代入歐幾里得距離公式得到弦長為

$\sqrt{2(2\sqrt{2y-1})A2}=4\sqrt{2y-l}$,代入

$y=\frac{3}{2}$得到弦長為$2\sqrt{ll}$o

3.已知實數$x,y$滿足$x+y=1$,求$xA2+yA2+xy$的取值

范圍。

解析：將$x+y=1$代入$xA2+yA2+xy$得到

$xA2+yA2+xy=(x+y)A2-xy=1-xy$,故只需求$xy$的取值范圍。

由于$(x+y)八2\geq4xy$,故$xy\leq\frac{1}{4}$,又因為

$xA2+yA2\geq2xy$,故$1-xy=xA2+yA2+xy\geq\frac{5}{4}xy$,

故$xy\leq\frac{4}{9}$。綜上可得$1?

xy\in\left[\frac{5}{4},\frac{4}{3}\right]$,故

AA

$x2+y2+xy\in\left[\frac{1}{3},\frac{7}{9}\right]$o

4.已知兩圓$xA2+yA2-10x-10y=0$,$xA2+yA2+6x-2y-

40=0$,求(1)它們的公共弦所在直線的方程；(2)公共弦

長。

解析：將兩個圓的方程相減得到$(x-2)八2+(y-4)八2=25$,

故第一個圓的圓心坐標為$(2,4)$,半徑為5.將兩個圓的方程

相加得到$仁-2)八2+。+1)八2=18$,故第二個圓的圓心坐標為

$(2,-1)$,半徑為$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。由于兩個圓相交于兩

個交點，故它們有公共弦，公共弦所在直線過兩個圓的圓心，

故公共弦所在直線的方程為$y=2x-4$。將公共弦所在直線的

方程代入兩個圓的方程得到兩個交點的坐標為$(-1,1)$和

AA

$(5,9)$,故公共弦長為$\sqrt{(5-(-1))2+(9-1)2)=4\sqrt{10}$o

1.已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0),則圓心坐標為:

A。(a,2)°Bu(-a,2)°C°(a,-2)°D°(-a,-2)

2.若點P在z軸上，且PA=PB,其中A(l,-2,1),B(2,2,2),

則點P的坐標為:

Ao(0,0,0)oBo(0,0,DoCo(0,0,/)。Do(0,0,2)

3.已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0),直線l:x-y+3=0,當直

線1被C截得的弦長為23時，則a的值為：

Ao2.BO2-42.C。2-^/3.Do2+小

4.圓(x-l)2+y2=l的圓心到直線y=2的距離為:

Ao45.B。2.Col.Do3

5.直線3x+y-23=0截圓x+y=4得的劣弧所對的圓心角為：

Ao30°oBo45°oCo60°oDo90°

6.圓x+y=l上的點到直線3x+4y-25=0的距離的最小值是:

Ao6.Bo4.Co5.Do1

7.兩圓x+y=9和x+y-8x+6y+9=0的位置關系是：

Ao相離。Bo相交。Co內切。Do外切

二、填空題

1.若B(2,2,2),點P在z軸上，且PA=PB,則

點P的坐標為(2,0,0)。

2.若曲線y=l.x2與直線y=x+b始終有交點，則b的取值范

圍是(-1,1);

若有一個交點，則b的取值范圍是[/1]；

若有兩個交點，則b的取值范圍是G8,-l]U[l,+8)。

3.把圓的參數方程｛x=l+2cosO,y=-3+2sin。｝化成普通方程

是(x-l)2+(y+3)2=4.

4.已知圓C的方程為x+y-2y-3=0,過點P(-l,2)的直線1與

圓C交于A,B兩點，若使AB最小，則直線1的方程是x-

y+l=O.

5.如果實數x,y滿足等式(x-2)+y=3,則y/x的最大值是2/3.

6.過圓x+(y-2)2=4外一點A(2,-2),引圓的兩條切線，切點

為T1,T2,則直線T1T2的方程為y=2x?6.

三、解答題

1.由曲線x+y=x+y2圍成的圖形的面積為1/2.

2.設d=、2/2,則直線x-y+l=O到曲線y=x?的距離最小。

3.過點M(5,2),N(3,2)且圓心在直線y=2x-3上的圓的方程

為(x-3/2)2+(y-5/2F=5/2.

4.平面上有兩點A(.1,O),B(1,O),點P在圓周(x-3)2+(y?

4尸二4上，使AP+BP最小的點P的坐標為(3-42,4-42)或

(3+42,4+42)。

1.如果點A(x,y)關于原點P(0,0)對稱得到點B(-x,-y),那么

有(-x+2)+(?y)=5/2.

2.設圓心為C(1,O),則AB垂直于CP且斜率為-1,即k=-

1,而AB的斜率為1,因此可列出方程y+l=x-2.

3.圓心在線段AB的垂直平分線y-3上且在直線2x-y-7=0

上，因此圓心為(2,-3),半徑為根號5.

4.圓x+y+2x-4y=0的圓心為C(-l,2),半徑為根號2,因此

到點P(1,3)的距離為5,即切線方程為(x?2)+3(y-3)=0.

5.由于兩圓相交，因此它們的距離小于它們的半徑之和，

即根號2+1=根號5,設切點為T,則OT的長度為根號5,因此

OP*OQ=OT八2=5.

填空題：

1.點P(?l,0)在圓x+y+4x-2y+3=0上,切線方程為x-y+l=0,

因此OP=2.

2.將方程(x?5)八2+(y+6)八2=10化簡得x+y-4x+4y-17=0.

3.圓心在y=6上,設圓心為(a,6),則(a-1)八2+16=25,解得

a=3,因此圓心為(3,6),半徑為根號20.

4.設圓心為則圓心到直線x.2y+l=0的距離為2t,

因此有3t.2t=7/2,解得t=l或日/5,因此圓心為(3,1)或(?9/5,?

Do

解答題：

1.設點P(a,b),則直線AP的斜率為kl=-b/a,直線BP的

斜率為k2=(b-l)/(a-l),因此直線AB的斜率為k=(k2-

kl)/(l+klk2)=-(a+b-2)/(a-b),則直線AB的方程為y-b=-(a+b-

2)/(a-b)(x-a),將點(1,1)代入得到a+b=2,因此直線AB的方程

為y-l-(x-l),即x+y-2=0.點P到直線x+y-2=0的距離為

d=|a+b?2|/根號2,因此(a+b-2)/根號2的最小值為根號2,即

a+b=2+根號2,所以最小值為根號2/2.

2.設(x-1)八2+(y+2)八2二1?八2,則(x+5)八2+(y-4)八2=r八2,解得

x=-3或x=5,因此P點為(-3,-2)或(5,-6)。由于圓心為(2』)，因

此OP的斜率為?1/3,因此直線OP的方程為3y+x-5=0,設0T

的長度為d,貝U0T八2=OP*OQ=4d八2,因此d二根號(17/4)。設

T點為(x,y),則0T的斜率為(y-l)/(x-2),因此(y?l)/(x-2)=-3/l,

解得T點為(?5,4)或(1,-2),因此P點到圓的切線方程為

3x+y+13=0或x?3y+13=0.

3.設P點在AB上的投影為D,則AD=BD=2,因此三角

形APB是等腰三角形，且角APB=120度。設PC的斜率為k,

由于PC垂直于AB,因此k=-l/k,解得k=根號3或-1<=根號3.

設圓心為0,則0P=0A=根號3,因此三角形0AP是等邊三

角形，角AOP=60度,因此角COP=60度-120度/2=30度。設

角CPA為a,貝1Ja+30度=90度，解得a=60度，因此三角形

PAC是等邊三角形，且面積為根號3/4.

6.已知三角形的三邊長為2、1、3,求其中一個角的大小

為60度。

二、填空題

1.45(x-3)+(y-1)=25,d=5,r=5,rA2-dA2=25,

x八2+y八2+Dx+Ey+F=0

2.相切或相交的條件是2k/(3k+2)+kA2/(3k+2)A2<=2；另

一種方法是直線恒過點(1,3),而(1,3)在圓上。

3.設k=(y+2)/(x+l),則k可以看作圓xA2+yA2=l上的動點

到點(-1,-2)的連線的斜率，而相切時的斜率為-2/3,因此k0=

-2/3.

4.設x=2m+l,y=m,則圓心為(2m+l,m),半徑為m,且

xrL則x_2y-l=0的圓心坐標為(2,1)。

5.1/d-r=1/5

三、解答題

1.解:顯然x=2為所求切線之一。另設y-4=k(x-2),貝(kx?

y+4-2k=-l/5,而4-2k/3=2,因此k=3/4.代入原方程得3x-

4y+10=0為所求。

2.解：圓心為(0,1),則圓心到直線2x?y?l=0的距離為2/收

半徑為245/5,而弦長的一半為Y(30A2-2(2八/5)人2)/2=30心,

因此弦長為60.

3.解：設k=(y+2)/(x+l),則k可以看作圓x八2+y八2=1上的

動點到點(?1,?2)的連線的斜率。當k=2/3時，點(-1,-2)與圓的

切線斜率為-2/3,因此-2/3=(-2⑶(x+l)o

4.解：設切點為(xl,yl),則ATI的方程為xlx+(yl-2)x-

2yl+2