5.7 三角函數的應用 第2課時 （導學案）（解析版）數學人教A版2019必修第一冊

5.7三角函數的應用(二)第2課時導學案理解三角函數是描述周期變化現象的重要數學模型，能識別生活和學科中的周期現象。能根據實際數據畫散點圖，選擇合適的三角函數模型（如y=能利用三角函數模型解決實際問題（如計算時間、高度、范圍等），掌握三角函數應用的基本步驟。體驗數學建模的全過程，感受數學與生活、其他學科的聯系，提升數學建模和數據分析素養。教學重點：運用三角函數模型解決具有周期變化規律的實際問題（如潮汐、簡諧運動、風力發電等場景）。通過構建三角函數模型解決生活中的簡單周期問題，掌握“數據觀察—模型建立—問題求解—結果驗證”的建模基本步驟。教學難點：將實際問題抽象為三角函數模型，即準確識別周期現象、選擇合適模型并確定模型參數。深刻體會三角函數作為描述周期變化現象重要工具的價值，理解模型參數與實際問題意義的關聯。知識點一函數y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數的物理意義若函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示簡諧振動，則知識點二三角函數模型的作用三角函數作為描述現實世界中eq\x(\s\up1(01))周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫eq\x(\s\up1(02))周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．知識點三建立函數模型的一般步驟導入1：“外賣騎手幾點出發才能‘一路綠燈’？”——市中心某條干道紅綠燈采用“綠波”控制：-信號燈按正弦規律調整配時，周期80s；-第0s時剛好切換成綠燈，40s再次切換，綠燈持續40s；-騎手以5m/s勻速通過，若想在600m長的路段上連續遇到綠燈，需把出發時刻t?選在什么區間？請：1.寫出“綠燈時長占比”關于時間t的正弦型函數；2.建立騎手在路段任意位置s處遇到綠燈的三角不等式；3.解出滿足條件的出發時刻t?范圍（精確到秒）。【設計意圖】把“正弦周期”嫁接到每天等紅燈的生活痛點，學生發現“只要算準相位，就能少等燈”，立刻產生“我要學會sin(ωt+φ)來省時間”的驅動力。導入2：“為什么演唱會低音炮會讓人胸口‘共振’？”——音響工程師測得：-低音炮頻率40Hz，聲壓p(t)呈正弦變化；-人胸腔固有頻率約40Hz，振幅被放大到1.5倍才會明顯共振；-若聲壓模型為p(t)=0.8sin(80πt+φ)（單位：Pa），問：a)相位φ為何值時，能讓胸腔振幅剛好達到1.5Pa？b)安保要求共振時長不超過3s，一段20s的低音秀里，最多允許出現幾次滿足a)的相位區間？【設計意圖】把“三角函數”埋進“蹦迪”現場，學生意識到“原來函數能算出胸口共振的臨界時刻”，從而主動想掌握振幅、相位、周期在實際中的聯合運用。探究點1：基于周期數據建立三角函數模型例2海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．表5.7-2是某港口某天的時刻與水深關系的預報．表5.7-2時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：182.518：365.03：067.512：245.021：422.56：125.015：307.524：004.0(1)選用一個函數來近似描述這一天該港口的水深與時間的關系，給出整點時水深的近似數值（精確到）．(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規定至少要有m的安全間隙（船底與洋底的距離），該船這一天何時能進入港口？在港口能呆多久?(3)某船的吃水深度為4m，安全間隙為m，該船這一天在2：00開始卸貨，吃水深度以的速度減少，如果這條船停止卸貨后需0.4h才能駛到深水域，那么該船最好在什么時間停止卸貨，將船駛向較深的水域?分析：觀察問題中所給出的數據，可以看出，水深的變化具有周期性．根據表5.7-2中的數據畫出散點圖，如圖5.7-4．從散點圖的形狀可以判斷，這個港口的水深與時間的關系可以用形如的函數來刻畫，其中是時間，是水深．根據數據可以確定，，，的值．解：(1)以時間（單位：）為橫坐標，水深（單位：m）為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖（圖5.7-4）．根據圖象，可以考慮用函數刻畫水深與時間之間的對應關系．從數據和圖象可以得出：；由，得．所以，這個港口的水深與時間的關系可用函數近似描述．由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值（表5.7-3）：表5.7-3時刻0：001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深/m5.0006.2137.1227.4977.2456.4285.2534.0143.0232.5292.6563.372時刻12：0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深/m4.4975.7486.8127.4207.4206.8125.7484.4973.3722.6562.5293.023(2)貨船需要的安全水深為，所以當時就可以進港．令由計算器可得．探究點2：利用三角函數模型解決實際問題如圖5.7-5，在區間內，函數圖象與直線有兩個交點A，B，因此，或解得，．由函數的周期性易得：，．因此，貨船可以在零時30分左右進港，早晨5時45分左右出港；或在下午13時左右進港，下午18時左右出港．每次可以在港口停留5小時左右．(3)設在h時貨船的安全水深為m，那么．在同一直角坐標系內畫出這兩個函數的圖象，可以看到在6～8時之間兩個函數圖象有一個交點（圖5.7-6）．借助計算工具，用二分法可以求得點的坐標約為，因此為了安全，貨船最好在6.6時之前停止卸貨，將船駛向較深的水域．【變式】如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在ts時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關系式確定．以t為橫坐標，h為縱坐標，畫出這個函數在一個周期的閉區間上的圖象，并回答下列問題：

(1)小球在開始振動（即）時的位置在哪里？(2)小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？(3)經過多少時間小球往復運動一次？(4)每秒鐘小球能往復振動多少次？【答案】(1)平衡位置上方處(2)；(3)秒(4)次.【分析】（1）根據函數的解析式，即可作出其一個周期上的圖象，令，即可求得小球在開始振動（即）時的位置在哪里.（2）根據函數的最大值和最小值，即可求得答案；（3）求出函數的周期，即得答案；（4）根據函數的頻率為周期的倒數，即得答案.【詳解】（1）作出函數在一個周期的閉區間上的圖象如圖，

當時，即小球在開始振動（即）時的位置在處，即平衡位置上方處；（2）的最大值為2，最小值為，則小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是；（3）由于，故經過小球往復運動一次；（4）每秒鐘小球能往復振動次.【感悟提升】在物理學中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數y＝Asin(ωx＋φ)表示物體振動的位移y隨時間x的變化規律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T＝eq\f(2π,ω)為周期，表示物體往復振動一次所需的時間，f＝eq\f(1,T)為頻率，表示物體在單位時間內往復振動的次數．探究點3：三角函數在幾何與物理中的綜合應用思考如圖5.7-6，設，有人認為，由于點是兩個圖象的交點，說明在時，貨船的安全水深正好與港口水深相等，因此在這時停止卸貨將船駛向較深水域就可以了．你認為對嗎？三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．具體地，我們可以利用搜集到的數據，先畫出相應的“散點圖”、觀察散點圖，然后進行函數擬合獲得具體的函數模型，最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題．實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要使用信息技術．

1.（24-25高三上·黑龍江·階段練習）如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形.是扇形弧上的動點，是扇形的內接平行四邊形，則四邊形ABCD的面積最大值為.【答案】【知識點】輔助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、幾何中的三角函數模型【分析】作于點，作于點，將四邊形ABCD的面積轉化為矩形EFCD的面積，設，將矩形EFCD的面積表示為，應用三角運算及三角函數性質求最大值即可.【詳解】解：如圖：作于點，作于點，則矩形EFCD的面積等于平行四邊形ABCD的面積，設，則，在Rt中，，所以，所以矩形EFCD的面積為因為，所以，當即時，矩形EFCD的面積最大為，所以平行四邊形ABCD的面積最大值為.故答案為：.2.（2025高三·全國·專題練習）已知正的內切圓半徑為為其圓心，點是以為圓心、1為半徑的圓上的動點，求的最大值．【答案】【知識點】幾何中的三角函數模型【分析】設，利用幾何關系可得，進而結合的范圍可得.【詳解】設，作于點于點，如圖，則，，從而，由正的內切圓半徑為，可得，當與相切時，最大，此時,此時取得最大值為

3.（24-25高一下·四川南充·階段練習）已知點A是兩平行直線之間的一定點，并且點A到的距離分別是3，5，是直線上的動點，作，且使與直線交于點．則的面積的最小值是．【答案】15【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、二倍角的正弦公式、幾何中的三角函數模型【分析】設，則，分別表示出，根據三角形面積公式及二倍角公式得出，再根據正弦函數的性質求解即可．【詳解】設，則，所以，所以，因為，所以，所以當，即時，的面積的最小值為15，故答案為：15．4.（24-25高一下·四川德陽·期末）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”．由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（m）和時間t（s）的函數關系為，如圖，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為，，（），且，，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為s．【答案】【知識點】求正弦（型）函數的最小正周期、由正弦（型）函數的周期性求值、三角函數在物理學中的應用【分析】利用已知條件可求得周期，再借助正弦曲線即可求解.【詳解】該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為，，（），且，，，，，，，由可得，，，，在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.故答案為：.5.（多選題）（2025·重慶·一模）聲音源于物體振動所產生的、能夠激發聽覺的波動．為了有效地消除噪聲，人類研發了主動降噪的技術，該技術的原理是通過電子設備模擬產生一種與目標噪聲頻率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差為的奇數倍）的聲音，理論上就可以和噪聲完全抵消．某一目標噪聲的數學模型函數是，則可以作為降噪模擬聲的數學函數模型有（

）A． B．C． D．【答案】AB【知識點】誘導公式二、三、四、誘導公式五、六、三角函數在物理學中的應用【分析】根據題意結合誘導公式可得出合乎題意的模型.【詳解】由題意可知，可以作為降噪模擬聲的數學函數模型為，，或，，AB選項滿足題意，故選：AB.6.（2024高一上·全國·專題練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮樓神器”，如圖（1）．由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時間t（單位：s）的函數關系為，如圖（2）．若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達位置（）的時間分別為，，（），且，，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）A． B． C．1s D．【答案】D【知識點】求正弦（型）函數的最小正周期、三角函數在生活中的應用、三角函數在物理學中的應用【分析】先確定函數的一個周期，再解不等式求另一個周期，最后計算總時間即可.【詳解】由題意得，，故函數的周期為，，可得，令，解得，故總時間為，綜上在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為.故選：D.7.（24-25高三上·湖南長沙·期末）某地區2024年全年月平均溫度（單位：℃）與月份之間近似滿足.已知該地區2月份的月平均溫度為℃，全年月平均溫度最高的月份為6月份，且平均溫度為32℃，則該地區12月份的平均溫度為（

）A．℃ B．℃ C．℃ D．℃【答案】A【知識點】三角函數在生活中的應用【分析】由題意可得，可求得，進而根據已知可得，，可求得解析式，進而可求得時的函數值，可得結論.【詳解】由題意可知，直線是曲線的一條對稱軸，所以，，即，.又，即，所以.因為全年月平均溫度的最大值為32℃，所以①.又當時，，所以，所以②.由①②解得，，所以，則當時，℃.故選：A.8.（23-24高一下·湖北·期末）如圖所示，角（）的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，其終邊與單位圓的交點為，分別過點作軸的垂線，過點作軸的垂線交角的終邊于，，根據三角函數的定義，．現在定義余切函數，滿足，則下列表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】三角函數線的應用、三角函數新定義【分析】利用三角形相似，即可求解.【詳解】由圖象可知，，則，即，所以.故選：D9.（24-25高一下·安徽馬鞍山·開學考試）“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當圓心角的范圍為時，其所對的“古典正弦”為（為的中點）．根據以上信息，當圓心角對應弧長時，的“古典正弦”值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】弧長的有關計算、三角函數在生活中的應用【分析】根據給定的定義，結合圓的性質求出的“古典正弦”值.【詳解】由圓心角對應弧長，得圓心角弧度數絕對值為2，則，所以.故選：D.10.（多選題）（25-26高一上·全國·單元測試）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中使用（如圖1）．若一半徑為的筒車水輪圓心O距離水面（如圖2），已知水輪按逆時針轉動，每分鐘轉動4圈，當水輪上點P從水中浮現時（圖2中點）開始計時，點P距水面的高度y（單位：）可以用與時間x（單位：s）有關的函數表示．下列結論正確的有（

）A．B．點P第一次到達最高點需用時5sC．點P再次接觸水面需用時10sD．當點P運動2.5s時，距水面的高度為【答案】BC【知識點】三角函數在生活中的應用【分析】根據函數模型的定義與性質，求出A、B和T、ω、φ，寫出函數解析式，再判斷選項中的命題是否正確．【詳解】函數中，所以，時，，解得，因為，所以，所以，A錯誤；令得，則，解得，所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；當時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．故選：BC

1.（24-25高一上·浙江杭州·期末）如圖，在扇形中，半徑，圓心角，C為扇形弧上的動點，矩形內接于扇形，則矩形的面積的最大值為．

【答案】/【知識點】三角恒等變換的化簡問題、求含sinx(型)函數的值域和最值、二倍角的正弦公式、幾何中的三角函數模型【分析】利用三角函數的定義表示出點，在直角三角形中表示出，進而得出矩形的面積表達式，從而得到最大值.【詳解】設點，由則，所以矩形的面積，由，，，，當且僅當時取到最大值.故矩形的面積的最大值為故答案為：2.（多選題）（2025高三·全國·專題練習）潮汐現象是地球上的海水受月球和太陽的萬有引力作用而引起的周期性漲落現象．某觀測站通過長時間觀察，發現某港口的潮汐漲落規律為，其中（單位：m）為港口水深，（單位：h）為時間（），該觀測站觀察到水位最高點和最低點的時間間隔最少為6h，且中午12點的水深為8m，為保證安全，當水深超過8m時，應限制船只出入，則（

）A． B．最高水位為10mC．該港口從上午8點開始首次限制船只出入 D．一天內限制船只出入的時長為4h【答案】ABC【知識點】由正（余）弦函數的性質確定圖象（解析式）、解余弦不等式、三角函數在生活中的應用【分析】根據余弦函數的圖象和性質解出判斷AB，解不等式判斷CD即可.【詳解】依題意，解得，A正確；當時，，解得，所