2025-2026學年上海黃浦高三一模數學試題 附答案

/黃浦區2025-2026學年第一學期高三年級數學一模一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）1．函數的定義域是__________.2．若直線與平行，則__________.3．已知集合，，則__________.4．已知是虛數單位，則__________.5．若的展開式中的系數為160，則實數__________.6．甲、乙兩人獨立破譯某個密碼，甲譯出密碼的概率為0.3，乙譯出密碼的概率為0.4，則該密碼被破譯的概率為__________.7．已知邊長為3的正的三個頂點都在球的球面上，球心到平面的距離為1，則球的體積為__________.8．若正數滿足，則的最小值為__________.9．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊與以坐標原點為圓心、1為半徑的圓交于點，若點的橫坐標與縱坐標之和為，則_________.10．已知數列是公差為2的等差數列，數列也為等差數列，且，則__________.11．如圖，在一塊空地上有四棵樹，若把它們所在的位置看成點，則這四個點恰好是一個平行四邊形的四個頂點，且米，米，，現要用擋板圍出一個形狀為矩形的展覽區，使得其邊分別經過點，則該展覽區的最大面積約為__________平方米（精確到1平方米）.12．若圖形上的每個點都在圓上或在圓內部，則稱圓為的一個覆蓋圓.設由函數（）與的圖像所組成，則的最小覆蓋圓的半徑為_______.二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分.其中第13、14題每題滿分4分，第15、16題每題滿分5分)每題有且只有一個正確答案,考生應在答題紙的相應編號上,將代表答案的小方格涂黑,選對得滿分,否則一律得零分.13．下列函數中，既是偶函數又在上嚴格減的函數是（）A．B．C．D.14．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則D．若，，則 15．若數列同時滿足如下條件：（i）是無窮數列；（ii）是嚴格增數列；（iii）存在正數，使得對任意的，都有的前項的和.則稱具有性質.關于如下結論：其中正確的說法是（）①存在等差數列具有性質；②存在等比數列具有性質.A．①和②均正確B．①和②均錯誤C．①正確，②錯誤D．①錯誤，②正確16．已知點，，則的取值范圍是（）A．B．C．D.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分)本題共有3個小題,第1、2小題滿分各為4分,第3小題滿分6分.一家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況,記錄了過去20天蘋果的日銷售量(單位:kg),按從小到大的排序結果如下:62,74,75,84,84,85,85,85,86,87,89,92,93,94,97,99,101,104,107,117.(1)求該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數；(2)若以過去20天蘋果的日銷售量的第80百分位數作為下個月每日蘋果的平均進貨量，試確定下個月每日蘋果的平均進貨量;(3)若從過去20天中隨機抽取3天，分別求“3天中每天的蘋果銷售量均超過90kg”與“3天中恰有2天的蘋果銷售量超過90kg”的概率.18.(本題滿分14分)本題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，上平面，，，分別是線段的中點.(1)求證:平面；(2)設平面與平面的交線為，求二面角的大小.19.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題6分,第2小題8分.在中，.(1)求的長和的正弦值；(2)若點在邊上，且，設，求的表達式，并判斷是否存在，使得在處的瞬時變化率等于.20.(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.已知雙曲線的中心位于坐標原點,焦點分別在軸的正、負半軸上,,直線是的一條漸近線,直線與有且只有一個公共點.(1)求的方程；(2)若點在軸上，且為直角，求點的坐標；(3)設動直線平行于，與交于點，，與交于點，是否存在常數，使得總成立?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.21.(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.已知函數的定義域為,對于給定實數,定義集合.(1)若，求；(2)若，求證:“為周期函數”的充要條件是“存在非零常數，使得”.(3)若，，且對于任意的，都有，求實數的取值范圍. 黃浦區2025-2026學年第一學期高三年級數學一模一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）1.2.3.4.5.6.7.8.1449.10.11.213612.二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分.其中第13、14題每題滿分4分，第15、16題每題滿分5分)每題有且只有一個正確答案,考生應在答題紙的相應編號上,將代表答案的小方格涂黑,選對得滿分,否則一律得零分.13.B14.C15.D16.B三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分)本題共有3個小題,第1、2小題滿分各為4分,第3小題滿分6分.一家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況,記錄了過去20天蘋果的日銷售量(單位:kg),按從小到大的排序結果如下:62,74,75,84,84,85,85,85,86,87,89,92,93,94,97,99,101,104,107,117.(1)求該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數；(2)若以過去20天蘋果的日銷售量的第80百分位數作為下個月每日蘋果的平均進貨量，試確定下個月每日蘋果的平均進貨量;(3)若從過去20天中隨機抽取3天，分別求“3天中每天的蘋果銷售量均超過90kg”與“3天中恰有2天的蘋果銷售量超過90kg”的概率.【正確答案】（1）（2）（3）（1）∵，故該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數為90kg.…………4分（2）∵，故過去20天蘋果的日銷售量的第80百分位數為，所以下個月每日蘋果的平均進貨量為100kg.…………8分（3）過去20天蘋果的日銷售量超過90kg共有9天，所以“3天中每天的蘋果銷售量均超過90kg”的概率為；…11分“3天中恰有2天的蘋果銷售量超過90kg”的概率為.…14分18.(本題滿分14分)本題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，上平面，，，分別是線段的中點.(1)求證:平面；(2)設平面與平面的交線為，求二面角的大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）（1）設是的中點，連，分別是的中點，，又是中點，且四邊形ABCD是矩形，，，故四邊形是平行四邊形，所以∥，…4分又平面，平面，∥平面.…6分（2）以為坐標原點，為軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，由平面，可得∥軸.……………7分由,,,得,,設是平面的一個法向量，二面角的大小為.由可得故.……10分又是平面的一個法向量，所以,………13分可得,故二面角的大小為.…14分19.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題6分,第2小題8分.在中，.(1)求的長和的正弦值；(2)若點在邊上，且，設，求的表達式，并判斷是否存在，使得在處的瞬時變化率等于.【正確答案】（1）（2），存在（1）在中，，故.…………3分由，可得.…………6分（2）在中,,…………7分由，可知故.…………11分,由且且,故存在，使得，即存在，使得在處的瞬時變化率等于.……14分20.(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.已知雙曲線的中心位于坐標原點,焦點分別在軸的正、負半軸上,,直線是的一條漸近線,直線與有且只有一個公共點.(1)求的方程；(2)若點在軸上，且為直角，求點的坐標；(3)設動直線平行于，與交于點，，與交于點，是否存在常數，使得總成立?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.【正確答案】（1）（2）或.（3）存在符合題意（1）設的方程為，的焦距為，則，即，由是的一條漸近線，可知，即，故，可得，，所以的方程為.……………4分（2）由消去得，由且，可得，此時點的坐標為.…7分設，由為直角向量，可得，即，解得或，故點的坐標為或.……………10分（3）的斜率為，故可設的方程為.…………11分由在直線上，故可設，代入，可得，故，…………13分將的方程代入的方程，可得，設點的橫坐標分別為，則故，……17分故當時，，所以存在常數λ，使得總成立.………18分21.(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.已知函數的定義域為,對于給定實數,定義集合.(1)若，求；(2)若，求證:“為周期函數”的充要條件是“存在非零常數，使得”.(3)若，，且對于任意的，都有，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）（1），即，可得，解得或.故.……4分（2）若且為周期函數，則存在非零常數，使得對一切恒成立，故對一切恒成立，所以；由，即對一切恒成立，可知對一切恒成立，故對一切恒成立，所以.故存在非零實數，使得.………7分若且存在非零實數，使得，則對一切,都有與恒成立，可知對一切,與恒成立，從而恒成立，所以為周期函數.綜上可知：若，“為周期函數”的充要條件是“存在非零常數，使得”.