（輔導班）2027年高考數學一輪復習精講精練 第3章 第03講 三角函數的圖象與性質 講義+隨堂檢測（教師版）

第頁第03講三角函數的圖象與性質知識點一：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．知識點二：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（下表中）函數圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數遞增區間遞減區間無對稱中心對稱軸方程無注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；知識點三：與的圖像與性質（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．（3）最值假設．①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心．假設．①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置．（5）單調性．假設．①對于，②對于，（6）平移與伸縮由函數的圖像變換為函數的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數圖像，使之變形．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發生多大變化，而不是“角”變化多少．【解題方法總結】關于三角函數對稱的幾個重要結論；（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型一：函數的奇偶性【例1】使函數為偶函數，則的一個值可以是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，因為為偶函數，可得，所以，令，可得.故選：A.【變式1-1】函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像，若函數是偶函數，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數的圖像向左平移個單位，得的圖像，又函數是偶函數，則有，，解得，；所以.故選：C．【變式1-2】已知的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，且的圖象關于y軸對稱，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得，故，由于的圖象關于y軸對稱，則為偶函數，故,即，故的最小值為，故選：B【變式1-3】將函數的圖象向右平移個單位得到一個奇函數的圖象，則的取值可以是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數為奇函數，則，取，則．故選：D【解題方法總結】由是奇函數和是偶函數可拓展得到關于三角函數奇偶性的重要結論：（1）若為奇函數，則；（2）若為偶函數，則；（3）若為奇函數，則；（4）若為偶函數，則；若為奇函數，則，該函數不可能為偶函數．題型二：函數的周期性【例2】已知，，是函數的兩個零點，且的最小值為，若將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的最大值為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知函數的最小正周期，則，得，.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關于原點對稱，則，，所以，，又，所以當時，取得最大值，最大值為．故選：A【變式2-1】將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數的周期為，將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，可得，由可知，兩個函數的最大值與最小值的差為2，且，不妨設，則，即在時取得最小值，由于，此時，不合題意；，此時，當時，滿足題意.故選：C.【變式2-2】函數（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是______.【答案】【解析】因為函數（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，所以該函數的最小正周期為，因為，所以，即，因此，故答案為：【變式2-3】函數對于，都有，則的最小值為（

）.A．B．C．D．【答案】C【解析】∵恒成立，∴是函數的最小值，是函數的最大值，即、是函數的兩條對稱軸，則的最小值為.故選：C.【變式2-4】函數的最小正周期是______．【答案】【解析】所以最小正周期為，故答案為：【變式2-5】已知函數，則函數的最小正周期是__________．【答案】【解析】，故，故答案為：．【解題方法總結】關于三角函數周期的幾個重要結論：（1）函數的周期分別為，．（2）函數，的周期均為（3）函數的周期均．題型三：函數的單調性【例3】已知函數，則下列說法錯誤的是（

）A．的值域為B．的單調遞減區間為C．為奇函數，D．不等式的解集為【答案】D【解析】因為，所以，所以，故選項A正確；由得，所以的單調遞減區間為，故選項B正確；所以，所以為奇函數，故選項C正確；由得，即所以，所以不等式的解集為，故選項D錯誤.故選：D.【變式3-1】將函數的圖象上各點向右平移個單位長度得函數的圖象，則的單調遞增區間為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】將的圖象向右平移個單位長度后，得到，即的圖象，令，，解得，，所以的單調遞增區間為，.故選：C.【變式3-2】已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個單位長度后所得函數的圖象在上單調遞增【答案】C【解析】由函數圖象可知，最小正周期為，所以，將點代入，得，又，所以，故，故A錯誤；所以，故B錯誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因為，故D錯誤.故選：C.【變式3-3】已知函數，則（

）A．在上單調遞減B．在上單調遞增C．在上單調遞減D．在上單調遞增【答案】C【解析】因為.對于A選項，當時，在上單調遞增，A錯；對于B選項，當時，則在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯；對于C選項，當時，則在上單調遞減，C對；對于D選項，當時，則在上單調遞減，故D錯.故選：C.【解題方法總結】三角函數的單調性，需將函數看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．如函數的單調區間的確定基本思想是吧看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區間即為增區間；由解出的范圍，所得區間即為減區間．若函數中，可用誘導公式將函數變為，則的增區間為原函數的減區間，減區間為原函數的的增區間．對于函數的單調性的討論與以上類似處理即可．題型四：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）【例4】已知函數，若將的圖像向右平移個單位長度后圖象關于軸對稱，則實數的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】的圖像向右平移個單位長度后，變為，因的圖象關于軸對稱，所以為偶函數，所以，,即，,因，所以，故當時，實數取得最小值為，故選：B【變式4-1】已知，函數，的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的值是______．【答案】【解析】，函數的最小正周期為，，．將的圖像向左平移個單位長度，可得的圖像，根據所得圖像關于軸對稱，可得，，解得，，又，則令，可得的值為．故答案為：．【變式4-2】設函數的圖象關于點成中心對稱，若，則______.【答案】【解析】因為函數的圖象關于點成中心對稱，所以，所以，所以因為，所以時，.故答案為：【變式4-3】將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象.若函數的圖象關于點對稱，則的最小值為______.【答案】【解析】由題可得，的圖象關于點對稱，所以，解得，，故的最小值為.故答案為：.【解題方法總結】關于三角函數對稱的幾個重要結論；（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型五：函數的定義域、值域（最值）【例5】實數滿足，則的范圍是___________.【答案】【解析】.故令，.則原式，故.故答案為：.【變式5-1】的最小值為__________.【答案】【解析】，所以當，時，取得最小值.故答案為：．【變式5-2】若關于的方程在上有實數解，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】原方程等價于即函數，在上有交點，∵，∴，，故，則.故答案為：【變式5-3】設、且，求的取值范圍是________.【答案】【解析】解法一：，，可得．，令，，顯然函數在上單調遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設，即，則令，，，，顯然在上單調遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：【變式5-4】函數的值域為_____________．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數的值域為．故答案為：.【解題方法總結】求三角函數的最值，通常要利用正、余弦函數的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．（1），設，化為一次函數在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設，化為二次函數在閉區間上的最值求解，也可以是或型．（4），設，則，故，故原函數化為二次函數在閉區間上的最值求解．（5）與，根據正弦函數的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于或的函數求解釋務必注意或的范圍．（6）導數法（7）權方和不等式題型六：三角函數性質的綜合【例6】（多選）設函數，的最小正周期為，且過點，則下列正確的有（

）A．在單調遞減B．的一條對稱軸為C．的周期為D．把函數的圖象向左平移個長度單位得到函數的解析式為【答案】AB【解析】根據輔助角公式得．最小正周期為，，，即．函數過點，，，則．當時．即．令，則，當時，在單調遞減，故A正確．令，則，當時，的一條對稱軸為，故B正確．因為為偶函數，所以，則的周期為且，故C錯誤．函數的圖象向左平移個長度單位得到函數的解析式為，故D錯誤．故選：AB．【變式6-1】（多選）已知函數，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱C．函數的最小正周期為D．若在上有且僅有3個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】由，故必有一個最大值和一個最小值，則為半個周期長度，故正確；由題意的圖象關于軸對稱，B正確；的最小正周期為C錯誤.，在上有且僅在3個零點，結合正弦函數的性質知：，則，D正確；故選：ABD【變式6-2】已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；(2)將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數在內的零點.【解析】（1）由圖象可得，，則，即，∴，由圖象得，即，∴，，則，，又，∴，故；（2）將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函，∴，令，則或，解得，，或，，又，∴或，即函數在內的零點為0與.【變式6-3】，，，(1)若，求的值；(2)若函數的最小正周期為①求的值；②當時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍【解析】（1）依題意，，當時，，（2）①由（1）知，最小正周期，得，②當時，，當時，，當，即時，的最大值為2，不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當時，恒成立，當時，，得，綜上可得，，當時，，當時，，當，即時，的最大值為0不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當時，恒成立，當時，，得，綜上可得，，綜上可知，當時，，當時，.【變式6-4】已知函數的部分圖象如圖所示.

(1)求函數的解析式；(2)將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若方程在上有解，求實數的取值范圍.【解析】（1）由函數的圖象知：，則，所以，，因為，所以，則，又因為，則，所以；（2）由題意得：，令，則化為：，即在上有解，由對勾函數的性質得：，所以.【解題方法總結】三角函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．因為對稱性奇偶性（若函數圖像關于坐標原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖像關于軸對稱，則函數為偶函數）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調性（在相鄰的對稱軸之間，函數單調，特殊的，若，函數在上單調，且，設，則深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系）題型七：根據條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數的部分圖像，求函數解析式．【例7】已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，設使成立的a的最小正值為m，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】使成立的a即為的對稱中心的橫坐標，∴a的最小正值為，由圖可知，，，∴，將點代入，得，∴，，，，∵，∴取，∴，∴，∴.故選：B.【變式7-1】已知函數（為常數，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的解析式可以為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，所以，故，因為，，所以，，即.又因為，解得.即.將的圖像向左平移個單位長度，得到函數.故選：A.方向二：知性質（如奇偶性、單調性、對稱性、最值），求解函數解析式（即的值的確定）【變式7-2】已知函數，當時，的最小值為，則______；若將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象在軸上的截距為，則在上的值域為______．【答案】【解析】易知的最大值和最小值分別為和，因為，所以、一個為的最大值點，一個為的最小值點，設函數的最小正周期為，則由的最小值為，得，所以，則，所以．將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數為，令，則，可得，，所以，，所以，所以，所以，若，則，則，則.故在上的值域為．故答案為：；．【變式7-3】已知，滿足，，且在上有且僅有5個零點，則此函數解析式為_____________．【答案】【解析】因為，令，則，即，所以是圖像的對稱中心，又，令，則，即，所以是圖像的對稱軸，所以，得，令，則，所以，因為在上有且只有5個零點，所以，又，即，所以，得，代入上式，得，又，所以，所以.故答案為：【解題方法總結】根據函數必關于軸對稱，在三角函數中聯想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點或單調性來求解．題型八：三角函數圖像變換【例8】如圖，函數的圖像過兩點，為得到函數的圖像，應將的圖像（

）A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向左平移個單位長度【答案】D【解析】代入得即，即對于A選項，,故A錯誤對于B選項，故B錯誤對于C選項，故C錯誤對于D選項，，故D正確，故選：D【變式8-1】已知把函數的圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象，則的最小正值為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題知，，且，，即，解得，當時，取得最小正值，.故選：C.【變式8-2】為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度【答案】A【解析】由題意，由于函數，觀察發現可由函數向左平移個單位長度，得到函數的圖象，故選：A.【變式8-3】若要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，故將已知轉化為要得到函數的圖象，又，所以將的圖象向右平移個單位長度即可得到的圖象.故選：D【解題方法總結】由函數的圖像變換為函數的圖像．方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換．的圖像的圖像的圖像的圖像第03講三角函數的圖象與性質1．將函數的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則下列正確的是（

）A．直線是圖像的一條對稱軸B．的最小正周期為C．的圖像關于點對稱D．在上單調遞增【答案】C【解析】由，則圖像向右平移個單位長度可得，，因為，所以不是圖像的一條對稱軸，A錯；由，得的最小正周期為，B錯；由，所以點是圖像的一個對稱中心，C正確；由，則，所以在上有增有減，D錯.故選：C2．函數圖象的對稱軸可以是（

）A．直線B．直線C．直線D．直線【答案】A【解析】，令，解得，所以的對稱軸為直線，當時，.故選：A.3．將函數的圖象上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則在區間上的值域為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變得到的圖象，再將圖象上所有點向左平移個單位長度得到的圖象．當時，，．故選：C.4．已知函數，若對于任意實數x，都有，則的最小值為（

）A．2B．C．4D．8【答案】C【解析】因為對于任意實數x，都有，則有函數圖象關于點對稱，因此，解得，而，所以當時，取得最小值4.故選：C5．已知函數，，將函數的圖象經過下列變換可以與的圖象重合的是（

）A．向左平移個單位B．向左平移個單位C．向右平移個單位D．向右平移個單位【答案】D【解析】因為，所以將向右平移個單位得到.故選：D6．已知函數，則關于的下列結論不正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象關于點對稱C．在區間上是單調遞減函數D．將的圖象向