等差數列的前n項和公式高二上學期數學人教A版選擇性必修第二冊

第四章數列教學目標

01

02

03

04學科素養(yǎng)

數學抽象

直觀想象

邏輯推理

數學運算

數據分析

數學建模

前面我們學習了等差數列的概念和通項公式，下面我們將利用這些知識解決等差數列的求和問題.據說，200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋???＋100=？高斯（Gauss，1777－1855），德國數學家，近代數學的奠基者之一.他在天文學、大地測量學、磁學、光學等領域都做出過杰出貢獻.

當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯經過細致的觀察，迅速地報出得數：5050.在老師與同學露出驚訝之色時，他解釋了自己的思考過程：將這100個數分成50個數對，其中1＋100=101，2＋99=101，…，50＋51=101，于是100個數的和就是50個101，即50×101=5050．高斯的算法實際上解決了求等差數列1，2，3，…，n，…前100項之和的問題．我國南宋數學家楊輝提出了這樣一個問題:“今有圭垛草一堆，頂上一束，底闊八束．問共幾束？答：36束．”8層{{9束他的計算方法可以用右圖來表示．設想有另外一堆同樣的草，將其倒置，并和原來的草堆拼在一起，這就得到8×9的草堆，一共72束，因此原來的草堆共有36束．

在特殊問題中高斯運用的是“兩兩配對”的方法，那對于一般等差數列的求和問題，也能否這樣處理呢？這個就不行了，因為n不一定是偶數，這樣就不好“兩兩配對”了，這時我們就要改進方法了．大家回憶一下梯形面積公式的求法：先構造一個一模一樣的梯形，然后將它倒過來補成一個平行四邊形，這樣梯形面積等于平行四邊形面積的一半，非常之巧妙．前人計算等差數列前n項和的方法的確巧妙，那么這種方法能推廣到求一般等差數列的前n項和嗎？設等差數列{an}的前n項和為Sn，公差為d，即

Sn=a1＋a2＋a3＋……

＋

an

再將項的次序反過來，Sn可以寫成

Sn=an＋an－1＋an－2＋……

＋a1兩式兩邊分別相加，得2Sn=(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋……

＋(an

＋a1)=n

(a1＋an)由此得到等差數列{an}的前n項和的公式如果數列{an}為等差數列，且n+m=p+q,那么an＋am=ap＋aq（n，m，p，q∈N*）(a1＋an)=(a2＋an－1)=(a3＋an－2)=…這種求和方法叫倒序相加法

思考不從公式(1)出發(fā)，你能用其他方法得到公式(2)嗎？∴等差數列{an}的前n項和公式為說明：(1)推導等差數列的前n項和公式的方法叫

；(2){an}為等差數列

，這是一個關于

的不含

的“

”.倒序相加法Sn=an2+bnn常數項二次式（注意a還可以是0）等差數列前n項和公式這是等差數列前n項和的結構特征

判斷與證明數列為等差數列證明數列為等差數列的方法1.定義法2.等差中項法

例1.已知數列{an}是等差數列.變式.已知數列{an}是等差數列.根據下列各題中的條件，求相應等差數列{an}的前n項和Sn.(1)a1＝5,an＝95,n＝10;(2)a1＝100,d＝－2,n＝50;

(3)a1＝－4,a8＝－18,n＝10;(4)a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.課本P222.等差數列－1,－3,－5,???的前多少項的和是－100?課本P23

課本P24例3.已知一個等差數列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎?

925結論即：均勻分段的和仍為等差數列

3.在等差數列{an}中，Sn為其前n項的和，若S4＝6，S8＝20，求S16.課本P23奇數項與偶數項和

例4.一個等差數列共有10項,其中奇數項的和為125，偶數項的和為15，求a1、d.例5.等差數列{an}中，a5=14，a2+a9=31，求S12例6.等差數列{an}中，S15=90，求a8.

3

264.在等差數列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.課本P235.已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261.求此數列中間一項的值以及項數.課本P23和之比與項之比的問題3和之比與項之比的問題

Sn的最值問題

所有非正項的和最小所有非負項的和最大

n=8或9

11n=5或63.已知等差數列－4.2，－3.7，－3.2，???的前n項和為Sn，Sn是否存在最大(小)值?如果存在，求出取得最值時n的值.課本P24課本P24等差數列{an}的前n項和Sn與數列{|an|}的前n項和Tn的關系

等差數列{an}的前n項和Sn與數列{|an|}的前n項和Tn的關系

變式.已知一個等差數列的前3項的和是34，最后3項的和是146，所有項的和是390，則這個數列的項數是

.131.某市一家商場的新年最高促銷獎設立了兩種領獎方式：第一種，獲獎者可以選擇2000元的獎金；第二種，從12月20日到第二年的1月1日，每天到該商場領