第01講 集合（講義）（解析版）

第01講集合1．集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語(yǔ)言集合語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法并集所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B補(bǔ)集全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}?UA4.常用結(jié)論(1)若有限集合A中有個(gè)元素,則A有個(gè)子集,有個(gè)真子集,有個(gè)非空真子集.考點(diǎn)一Venn圖法解決集合運(yùn)算問(wèn)題考點(diǎn)二分類討論法解決元素與集合關(guān)系問(wèn)題考點(diǎn)三根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍考點(diǎn)四數(shù)軸法解決集合運(yùn)算問(wèn)題考點(diǎn)一：Venn圖法解決集合運(yùn)算問(wèn)題例1．已知全集，，，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?故選：D.對(duì)點(diǎn)變式1：已知，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B．或C． D．【答案】D【分析】由圖可得，所求為集合A關(guān)于全集U的補(bǔ)集，后由補(bǔ)集定義可得答案.【詳解】由圖可得，所求為集合A關(guān)于全集U的補(bǔ)集，則.故選：D對(duì)點(diǎn)變式2：（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知全集，集合或，，則如圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.【詳解】，，，由圖可知陰影部分表示的集合是，故選：A.考點(diǎn)二：分類討論法解決元素與集合關(guān)系問(wèn)題例2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，．若，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求的值.【詳解】因?yàn)椋剩驶颍簦瑒t，，此時(shí)，符合；若，則，，此時(shí)，不符合；故選：B對(duì)點(diǎn)變式1：已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由元素與集合關(guān)系分類討論，結(jié)合元素的互異性判斷即可.【詳解】∵，∴或．若，解得或．當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．對(duì)點(diǎn)變式2：（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)x的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.【詳解】因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，則.故實(shí)數(shù)x的取值集合為.故選：B.考點(diǎn)三：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍例3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，依題意可得，即可得到不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)椋裕郑裕郑裕獾茫磳?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A對(duì)點(diǎn)變式1：（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，根據(jù)得出為的子集，結(jié)合集合間的關(guān)系可得答案.【詳解】，因?yàn)椋詾榈淖蛹?故選：C.對(duì)點(diǎn)變式2：（多選），，且，則的可能值為（

）A． B． C．0 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)，，得到，分類討論解決即可.【詳解】由題知由，解得或所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，，即，或，即；故選：BCD考點(diǎn)四：數(shù)軸法解決集合運(yùn)算問(wèn)題例4：（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接解一元二次不等式得集合，解一元一次不等式的集合，從而可得并集.【詳解】因?yàn)椋獾没颍曰颍郑曰颍蔬x：A.對(duì)點(diǎn)變式1：（陜西省榆林市2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意可得，，則，故選：A對(duì)點(diǎn)變式2：（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋虼耍?故選：D.一、單選題1．集合，將集合分別用如下圖中的兩個(gè)圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個(gè)數(shù)恰好為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圖象求得正確答案.【詳解】，所以:A選項(xiàng)，陰影部分表示，不符合題意.B選項(xiàng)，陰影部分表示，符合題意.C選項(xiàng)，陰影部分表示，不符合題意.D選項(xiàng)，陰影部分表示，不符合題意.故選：B2．如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先求得圖中陰影部分表示的集合中的元素個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得其真子集個(gè)數(shù).【詳解】，則或圖中陰影部分表示的集合為或中有3個(gè)元素，其真子集個(gè)數(shù)為個(gè)故選：C3．已知集合，則如圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算的概念，可知圖中陰影部分表示的集合為，求解即可.【詳解】根據(jù)集合的基本運(yùn)算的概念，可知圖中陰影部分表示的集合為.∵，∴或，，∴.故選：D.4．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知，，再根據(jù)題意求即可得答案.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋剩驗(yàn)椋裕矗詧D中陰影部分表示的集合是故選：B5．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合，若，則集合C中的元素有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由可知需滿足，利用解方程組代入可得，即C中有2個(gè)元素.【詳解】由可得，集合C為集合A，B的公共元素，需滿足，即，又，故或，解得或此時(shí)集合有2個(gè)元素.故選：C6．（2022秋·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)校考期中）集合或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】按討論求解集合,按列出滿足的條件求解即可.【詳解】，①當(dāng)時(shí)，即無(wú)解，此時(shí)，滿足題意．②當(dāng)時(shí)，即有解，當(dāng)時(shí)，可得，要使，則需要，解得．當(dāng)時(shí)，可得，要使，則需要，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．7．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與指數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可.【詳解】對(duì)于，易得，則，故；所以，對(duì)于，得，故，所以.故選：B.8．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合A、B，再求.【詳解】由題意，所以．故選：B．9．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求集合，進(jìn)而可求交集.【詳解】由題意可得：，則.故選：C.二、多選題10．能正確表示圖中陰影部分的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算，結(jié)合圖形分析可得.【詳解】因?yàn)殛幱安糠衷贐中不在A中，根據(jù)集合的運(yùn)算分析可知ACD正確.故選：ACD11．定義集合運(yùn)算，設(shè)集合，集合，則（

）A．中有四個(gè)元素B．有7個(gè)真子集C．D．中的元素之和為13【答案】BC【分析】根據(jù)題目所給的集合新定義進(jìn)行運(yùn)算，求出的元素即可求解.【詳解】可取可取,則可取,，，；由集合的互異性可知中有3個(gè)元素,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;，則的真子集有個(gè),故選項(xiàng)B正確;,故選項(xiàng)C正確;中所有元素之和為,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC.12．若集合，則的值可能為（

）A． B．0 C． D．1【答案】ABD【分析】由題意知，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分類討論和兩種情況，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，化為，所以.當(dāng)時(shí)，，則.若，則的解集為，所以；若，則的解集為，所以.故選：ABD.三、填空題13．已知集合，，則_________.【答案】【分析】根據(jù)集合元素的互異性以及交集性質(zhì)進(jìn)行分類討論即可得出符合題意.【詳解】因?yàn)椋裕字?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，滿足題意，所以.故答案為：14．已知關(guān)于x的不等式的解集是M，若且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，分析可得和或，解出即可.【詳解】若，則有，解得或，若，則有或，解得，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_____．【答案】1【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋@然，故，則；此時(shí)兩集合分別是，則，解得或.當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足題意.所以故答案為：.16．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________