【基礎版】北師大版九年級數學上冊 正方形的性質與判定 同步練習（含解析）

【基礎版】北師大版數學九上1.3正方形的性質與判定同步練習

一、選擇題

1.菱形、矩形、正方形都具有的性質是（）

A.兩組對邊分別平行且相等B.對角線相等

C.四條邊相等，四個角相等D.對角線互相垂直

2.下列說法不正確的是（）

A.對角線互相垂直的矩形是正方形

B.對角線相等的菱形是正方形

C.四邊都相等的四邊形是正方形

D.鄰邊相等的矩形是正方形

3.若正方形對角線長為4,則它的面積是（)

A.4B.XC.16D.32

4.如圖，E是正方形4BC0的邊BC延長線上的一點，且=4￡交。0于點孔則功肅的度數為

A.45°B.30°C.20°D.22.5°

5.在正方形ABCD中，AB=12cm,對角線AC、BD相交于O,則△ABO的周長是（）

A.12+12&B.12+6V2C.12+x/2D.24+6企

6.如圖，邊長為2的正方形ABCO的中心與坐標原點。重合，48〃無軸，將正方形A8CZ）繞原點0

順時針旋2023次，每次旋轉45。則頂點B的坐標是（）

A.(V2,-1)B.(0,-V2)C.(0,-/2)D.(-1,-1)

7.如圖，正方形4BCD的邊長為10,且4E=FC=8,BF=DE=6,貝ijEF的長為（）

A.2B.挈C.25/2D.3A/2

8.如圖，在邊長為6的正方形4BC。內作/匕4尸二45。，4E交BC于點亂AF交CD于點F,連接EF,將

44DF繞點力順時針旋轉90。得到44BG.若。F=3,則BE的長為（）

二、填空題

9.如圖，正方形48co的邊長為4,E為BC上一點,且BE=1,/為A8邊上的一個動點，連接

EF,以E/為邊向右側作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.

10.如圖，正方形4BCD的邊長為3,E為CD邊上一點，DE=1.△4DE繞著點4逆時針旋轉后與4

力B尸重合，連結EF,則EF=.

11.如圖，點E為正方形ABCD對角線BD上一點，且BE=84,則乙DCE的度數

為

12.如圖，在2x2的正方形網格中有9個格點，己知取定點A和B,在余下的7個點中任取一點

C,使△ABC為直角三角形的概率是.

13.如圖，止方形ABCD的對角線長為8V2,E為AB上一點，若EF_LAC十F,EG_LBD十G,

14.如圖，E是正方形ABCD對角線BD上的一點，求證：AE=CE.

15.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點F,ZF=90°,ED=EC.求

證：四邊形DFCE是正方形.

B

16.如圖，四邊形48C0是正方形，△8(3是等邊二角形，連接DE.

(2)求乙4ED的度數.

17.正方形48co的邊長為5,E、尸分別是A8、8c邊上的點，且NEOf=45。，將(DAE繞點。

逆對針旋轉90。，得到△OCM.

(1)求證：△。所名△OMA；

(2)若AE=2,求石廠的長.

18.如圖，點E為正方形ABCD外?點，ZAEB=90°,將Rt△ABE繞A點逆時針方向旋轉9。°得到△

ADF,DF的延長線交BE于H點.

(1)試判定四邊形4FHE的形狀，并說明理由;

(2)已知BH=7,BC=13,求DH的長.

答案解析部分

1.【答案】A

【蟀析】【解答】解：A、菱形、矩形、正方形的兩組對邊分別平行且相等，故符合題意;

B、菱形的對角線不相等，故大符合題意；

C、正方形的四條邊相等，四個角相等，故不符合題意；

D、菱形、正方形的對角線互相垂直，故不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據菱形、矩形、正方形的性質逐項判斷即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A：對角線互相垂直的矩形是正方形正確，所以A不符合題意：

B：對角線相等的菱形是正方形正確，所以B不符合題意；

C：四邊都相等的四邊形是正方形不正確，所以C符合題意；

D：鄰邊相等的矩形是正方形正確，所以D不符合題意。

故答案為：Co

【分析】根據正方形的判定正確判定，即可得出答案。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：???正方形對角線長為4,

，它的面積是劣X4x4=8

故答案為：B.

【分析】根據正方形的性質”面積等于對角線乘積的?半”，即可求解.

4.【答案】D

【蟀析】【解答】解：???四邊形ABCD為正方形，

=45。，AD||BE,

：-cE=4DAF,

?：CE=CAf

??LE="AF,

：-LCAF=Z.DAF=鼻CAD=22.5%

J

故答案為：D.

【分析】根據正方形的性質得到：△。40=45。，AD||BE,進而結合等腰三角形的性質得到：乙E=

“4F,然后根據平行線的性質得到：ZF=Z-DAF,^^CAF=^DAF=^CAD,即可求解.

5.【答案】A

【解析】【解答】如圖,

在RSABO中，AB=12,AO=BO=6&,所以△ABO的周長是12+6直+6返=12+12直.故

答案為：A.

【分析】根據正方形的對角線相等互相垂直得出/AOB=90。,然后根據勾股定理即可算出AO=BO=

6V2,再根據三角形的周長計算方法即可算出答案。

6.【答案】C

【解析】【解答】根據題意可得旋轉8次回到原來位置，

???2023+8=252......7,

???將正方形A8CO繞原點。順時針旋2023次，每次旋轉45。，則頂點B的坐標是(0,迎)，

故答案為：C.

【分析】先求出規律旋轉8次回到原來位置，再結合2023+8=252……7,求出頂點B的坐標是(0,

6)即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：延長BF交AE于點G,如下圖:

???四邊形ABCD是正方形

.\AD=AB=BC,ZDAB=90°

VAD=BC=10,AE=FC=8,BF=DE=6

ADE^ACBF(SSS),AD2=AE2+DE2

/.ZADE=ZCBF,ZDAE=ZBCF,ZAED=ZCFB=90°,ZDAE=ZBCF

???ZADE+ZDAE=ZDAE+ZGAB

AZADE=ZGAB

同理，可得NBCF二NABG；

AZDAE=ZABG

VZADE=ZGAB,AD=AB,ZDAE=ZABG

.*.△ADE^ABAC(ASA)

ADE=AG=6,AE=BG=8,ZAGB=ZAED=90°

???GE=AE-AG=8-6=2,GF=BG-BF=8-6=2

AEF=V22+22=2V2

故答案為：C.

【分析】根據正方形的性質，可得AD二AB=BC,NDAB=90。；根據三角形全等的判定(SSS和

ASA)和性質，可得NADE=NCBF,ZDAE=ZBCF,ZAED=ZCFB=90°,ZDAE=ZBCF,

DE=AG=6,AE=BG=8,ZAGB=ZAED=90°；根據勾股定理的逆定理，可得NAED=NCFB=90。和

EF的值.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：???正方形ABCD,

.??AB=AD,ZD=ZC=ZABE=ZABG=ZBAD=90°,

將/4DF繞點4順時針旋轉90。得到

:ADFg△ABG,

AAG=AF,DF=BG=3,ZDAF=ZGAB,

VZDAF+ZEAF+ZBAE=90°,ZEAF=45°,

???ZGAB+ZBAE=45°B|JZGAE=45°,

AZEAF=ZGAE,

在△EAF和^EAG中

(AG=AD

\^EAF=^GAE

(AE=AE

EAF^AEAG(SAS),

.\EG=EF,

設BE=x,貝ijEF=EG=3+x,CE=6-x,

EF=CE2+CP即(3+x)2=(6-x)2+32,

解之：x=2,

???BE的長為2.

故答案為：B.

【分析】利用正方形的性質可證得AB=AD,ZD=ZC=ZABE=ZABG=ZBAD=90°,利用旋轉的性

質可證AG=AF,DF=BG=3,ZDAF=ZGAB,由此可推出NEAF二/GAE,再利用SAS證明

△EAF^AEAG,利用全等三角形的性質可推出EG二EF：設BE=x,可表示出EF,CE,CF的長，

然后利用勾股定理可得到關于x的方程，解方程求出x的值,可得到BE的長.

9.【答案】|

【解析】【解答】解：由題意可知，隨著點F的移動，點G也隨著移動；

???點F在線，段AB上運動

???點G也在直線上運動

將AEFB繞點E旋轉60。，使EF與EG重合，可得△EBFgZ\EHG；

???△EBH是等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上，作CM_LHN,作EP_LCM,如下圖，點

CM即為CG的最小值：

???△EBH是等邊三角形

ABE=HE=1

VCM±HN,EP±CM

，四邊形HEPM是矩形

CM=MP+CP=HE+|EC

.\CM=1+1=!

故答案為：f.

【分析】根據旋轉的性質，構造等邊三角形，可得BE=HE；根據點與線之間垂線段最短，作

CM1HN,可得CG的最小值；根據矩形的判定定理和性質即可求出CG的最小值.

10.【答案】2底

【解析】【解答】根據旋轉得旋轉角為=90°,

ALEAF=90°,AE=AF,

vAD-3,DE-1,

AE=yjAD24-DE2=V32+l2=V10>

AF=V10?

EF=7AE?+A/2=J(7io)2+(V10)2=2Vs.

故答案為：26.

【分析】先利用勾股定理求出AE的長，再根據匕EA/=90。，利用勾股定理求出EF的長即可。

1L【答案】22.5°

【解析】【解答】解：???正方形ABCD,

ABC=AB,ZDBC=45°,ZBCD=90°

VBE=BA,

ABC=BE

AZBEC=ZBCE=67.5°,

???ZDCE=ZBCD-ZBCE=90°-67.5o=22.5°,

故答案為：22.5°.

【分析】根據正方形的性質可得BC=BA,ZDBC=45°,ZBCD=90°,根據三角形的內角和以及

BE=BC可得NBCE=67.5。，由角的和差可得結果.

12.【答案】1

【解析】【解答】???取定點A和B,在余下的7個點中任取一點C,使△ABC為直角三角形的有4種

情況，

???使4ABC為直角三角形的概率是：.

故答案為：、.

【分析】首先確定選點的總情況數，其次根據正方形的對角線是角平分線的性質，來確定滿足ABC

是Rt三角形的點的個數，即可根據概率公式計算得到。

13.【答案】4V2

【解析】【解答】解：如圖:

???四邊形ABCD是正方形,

A0A=0B=4V2,

乂*.*SAABO=SAAEO+SAEBO>

1

-???

2OAOB=1OAEF+1OBEG,

即;x4四x4虎二;x4&x(EF+EG)

/.EF+EG=4V2.

故答案為：4V2.

【分析】根據IF方形的性質得出OA=OB=4V2.然后根據SAARO=6AAEQ+SAERO,得出方程化簡得出

答案。

14.【答案】證明：???四邊形ABCD是正方形，

???AB=CB,ZABE=ZCBE,

在AABE^HACBE中，

AB=CB

乙ABE=乙CBE,

DE=BE

/.△ABE^ACBE(SAS),

???AE=CE.

【解析】【分析】利用“SAS”證明△ABEgZ\CBE,再利用全等三角形的性質可得AE=CE,

15.【答案】證明：???四邊形ABCD是正方形，

AZFDC=ZDCF=45°,

VZE-90%ED-EC,

AZEDC=ZECD=45°,

，ZFCE=ZFDE=NE=90。，

???四邊形DFCE是矩形，

VDE=CE,

???四邊形DFCE是正方形.

【解析】【分析】由正方形的性質得NFDC=NDCF=45。，由等腰直角二角形的性質得ZEDC=

ZECD=45°,進而即可判斷出四邊形DFCE是矩形，最后根據一組鄰邊相等的矩形是正方形得山

結論.

16.【答案】（1）證明：???四邊形ABCD是正方形，

AB=DC,乙ABC=乙DCB=90°,

???△8CE是等邊三角形，

BE=CE,乙EBC=乙ECB=60°,

???乙ABC—乙EBC=乙BCD—乙ECB,

???LABE=乙DCE,

在△48E和△OCE中，

AB=DC

乙ABE=乙DCE,

BE=CE

ABE=△DCE（SAS）,

???AE=DE；

（2）解：由（1）得△ABE、△COE、△4DE是等腰三角形，

設乙DAE=x。，依題意得

180-2x=360-60-2（90-x）,

解得x=15,

180°-2x15°=150°,

???乙AED為150度

【解析】【分析】（1）利用正方形得AB=DC,ZABC=ZDCB=90°；根據等邊三角形的性質得

BE二CE,ZEBC=ZECB=60°,推出NABE=NDCE,由SAS證△ABE且Z\DCE,由全等三角形的性

質可得AE=DE；

（2）設ND4E=x。，由（1）得△4BE、△CDE、△4DE是等腰三角形，根據等腰三角形的性質和三

角形內角和定理，列方程求解即可.

17.【答案】（1）證明：:△DAE逆時針旋轉90。得到△DCM,

AZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,AE=CM,

???F、C、M三點共線,

???DE=DM,NEDM=90。，

???NEDF+NFDM=90。，

VZEDF=45°,

AZFDM=ZEDF=45°,

在ADEF和^DMF中，

DE=DM

Z.EDF=Z.MDF,

DF=DF

.*.△DEF^ADMF(SAS),

AEF=MF,

AEF=CF+AE；

(2)解：設EF=MF=x,

VAE=CM=2,BC=5,

ABM=BC+CM=5+2=7,

ABF=BM-MF=BM-EF=7-x,

AEB=A