2025-2026學(xué)年福建省廈門一中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年福建省廈門一中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下面四幅作品分別代表“立春”、芒種”、“白露”、“大雪”四個(gè)節(jié)氣，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）3．（4分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．2，3，6 B．2，6，8 C．4，5，8 D．4，4，104．（4分）麗麗同學(xué)不小心把家里的一塊三角形玻璃打碎成如圖所示的四塊，現(xiàn)在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，可以帶哪塊碎片去玻璃店（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④5．（4分）在如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC6．（4分）若a為正整數(shù)，則（a6）3表示的是（）A．9個(gè)a相加 B．3個(gè)a6相乘 C．9個(gè)a相乘 D．3個(gè)a6相加7．（4分）數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫（）A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy28．（4分）如圖，用圓規(guī)和直尺作圖，BD不能把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形的是（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，垂足為D，CE平分∠ACB．若BE＝2（）A． B．1 C． D．210．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，將兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，繞點(diǎn)D任意旋轉(zhuǎn)三角板，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E，F(xiàn)與點(diǎn)A，B，C不重合），連接EF，②△ADE與△EFC有可能全等，③△CEF的周長(zhǎng)等于△ABC的周長(zhǎng)的一半（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，第11題每空2分，其余每題4分，共32分）11．（12分）計(jì)算：a2?a4＝；（a2）3＝；（ab）2＝；6a4÷（2a）＝；a0＝（a≠0）；＝．12．（4分）等腰三角形的一個(gè)底角為50°，則它的頂角的度數(shù)為．13．（4分）如圖，興趣小組在做用蠟燭探究小孔成像原理的實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)小孔在某一位置使得AO＝CO，則蠟燭實(shí)際火焰AB的高度為cm．14．（4分）如圖，已知等邊三角形ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，則∠EFD＝．15．（4分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中放入一個(gè)邊長(zhǎng)為8的正方形ALMN和兩個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形DEFG、HIJK．若陰影部分的面積滿足2S3+S1﹣S2＝2，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為．16．（4分）如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，ON＝AD，MN⊥OD交AB與點(diǎn)M，BM＝BH，DM＝5．三、解答題（本大題共9小題，共78分）17．（8分）計(jì)算：（1）（a+b）（a+2b）；（2）（6a8﹣4a6+2a2）÷（2a2）．18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣1）（x﹣2）﹣x（x+1）．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1）（4，2）、C（2，3）．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）△ABC是；（填“直角三角形”，“銳角三角形”或“鈍角三角形”）（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為．20．（8分）如圖，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上，點(diǎn)A為DC的中點(diǎn)，求證：DE＝CB．21．（8分）如圖，△ABC．（1）尺規(guī)作圖：在BC上求作一點(diǎn)D，使得∠ADC＝2∠B；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，DE⊥AC于點(diǎn)E，DE，若AD＝CD22．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DE．求證：DE平分∠ADC．請(qǐng)你填空完成下面的推理過程，并在空白括號(hào)內(nèi)注明推理的依據(jù)．證明：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H．∵EF⊥AB，∠AEF＝60°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°．∴∠CAD＝180°﹣∠BAD﹣∠EAF＝°．∴∠EAF＝∠CAD，即AC平分∠．又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴．（）．∵BE是角平分線，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴．（等量代換）又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴點(diǎn)E在∠ADC的平分線上，（角的內(nèi)部，）∴DE平分∠ADC．23．（8分）如圖，在等邊△ABC中，P為AB邊上的一點(diǎn)，連接DA并延長(zhǎng)交直線CP于點(diǎn)E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度數(shù)；（2）若AE＝1，CE＝5，求AD的長(zhǎng)．24．（10分）定義：對(duì)于依次排列的多項(xiàng)式x+a，x+b，x+c（a，b，c，d是常數(shù)），當(dāng)它們滿足：（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）＝M，則稱a，b，c，d是一組平衡數(shù)，x+1，x+6，因?yàn)椋▁+2）（x+5）﹣（x+1）（x+6）＝（x2+7x+10）﹣（x2+7x+6）＝4，所以2，1，6，5是一組平衡數(shù)（1）已知2，4，7，9是一組平衡數(shù)，求該組平衡數(shù)的平衡因子M；（2）若a，b，c，d是一組平衡數(shù)，且a＝﹣4，請(qǐng)直接寫出b與c的數(shù)量關(guān)系；（3）若n2+n，n2+n+2，c，d是一組平衡數(shù)（n是常數(shù)）且平衡因子為142+n﹣c的值．25．（12分）【問題提出】（1）如圖1，△ABD、△ACE都是等邊三角形，求證：BE＝DC．【方法提煉】這兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，其在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，當(dāng)圖形中只有一個(gè)等邊三角形時(shí)，可嘗試在它的一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)等邊三角形，從而解決問題．【方法應(yīng)用】（2）等邊三角形ABC中，E是邊AC上一定點(diǎn)，若點(diǎn)D在邊BC上，連接CF．求證：CE+CF＝CD．（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ，如果有，求出它的最小值，請(qǐng)說明理由．

2025-2026學(xué)年福建省廈門一中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DACABBADBC一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下面四幅作品分別代表“立春”、芒種”、“白露”、“大雪”四個(gè)節(jié)氣，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形B、不是軸對(duì)稱圖形C、不是軸對(duì)稱圖形D、是軸對(duì)稱圖形；故選：D．2．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣8，故選：A．3．（4分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．2，3，6 B．2，6，8 C．4，5，8 D．4，4，10【解答】解：A、2+3＜8，故A不符合題意；B、2+6＝2，故B不符合題意；C、4+5＞5，故C符合題意；D、4+4＜10，故D不符合題意．故選：C．4．（4分）麗麗同學(xué)不小心把家里的一塊三角形玻璃打碎成如圖所示的四塊，現(xiàn)在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，可以帶哪塊碎片去玻璃店（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：根據(jù)“ASA”，由①②可確定原三角形玻璃的大小．故選：A．5．（4分）在如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC【解答】解：∵點(diǎn)D在BC上，∴∠ADB+∠ADC＝180°，∵∠ADB＝∠ADC，∴2∠ADC＝180°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故A不符合題意；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠C與點(diǎn)D所在的位置沒有關(guān)系，∴由∠B＝∠C不能說明AD⊥BC，故B符合題意；∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故C不符合題意；∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故D不符合題意，故選：B．6．（4分）若a為正整數(shù)，則（a6）3表示的是（）A．9個(gè)a相加 B．3個(gè)a6相乘 C．9個(gè)a相乘 D．3個(gè)a6相加【解答】解：（a6）3＝a18，所以表示的是2個(gè)a6相乘或18個(gè)a相乘．故選：B．7．（4分）數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫（）A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy2【解答】解：﹣4xy（3y﹣7x﹣3）＝﹣4xy?2y+4xy?2x+3xy×3＝﹣12xy2+6x2y+12xy．∴□內(nèi)應(yīng)填寫+8x8y．故選：A．8．（4分）如圖，用圓規(guī)和直尺作圖，BD不能把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形的是（）A． B． C． D．【解答】A．尺規(guī)作圖作的∠ABC的角平分線，由圖可知，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠DBC＝∠DBA＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABD和△BCD為等腰三角形，∴BD能把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，故A不符合題意；B．尺規(guī)作圖作的線段AC的垂直平分線，由圖可知，∠C＝∠A＝45°∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴AD＝BD，DC＝BD，∴△ABD和△BCD為等腰三角形，∴BD能把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，故B不符合題意；C．∵∠A＝30°，∴，∠C＝60°，有尺規(guī)作圖可得，∴BC＝CD＝BD＝AD，∴△ABD和△BCD為等腰三角形，∴BD能把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，故C不符合題意；D．∵∠A＝∠C＝30°，∴AB＝AD＝BC，但不能說明△BCD為等腰三角形，∴BD不能把△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，故D符合題意；故選：D．9．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，垂足為D，CE平分∠ACB．若BE＝2（）A． B．1 C． D．2【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝8∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，CE＝2，∴AE＝CE＝1．故選：B．10．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，將兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，繞點(diǎn)D任意旋轉(zhuǎn)三角板，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E，F(xiàn)與點(diǎn)A，B，C不重合），連接EF，②△ADE與△EFC有可能全等，③△CEF的周長(zhǎng)等于△ABC的周長(zhǎng)的一半（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：如圖，連接CD，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，∴．CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∵DE⊥DF，∴∠ADE+∠CDE＝∠FDC+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，DE＝DF；∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE+CF+EF＝CE+AE+EF＝AC+EF，∵ABC的周長(zhǎng)＝AC+BC+AB＝2AC+2AD＝4（AC+AD），∵EF、AD不一定相等，∴△CEF的周長(zhǎng)不一定等于△ABC的周長(zhǎng)的一半，故③錯(cuò)誤；∵∠C＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵∠A＝45°，點(diǎn)E，B，C不重合，∴ㄥADE≠90°，∴當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，△ADE是等腰直角三角形，又∵△ADC也為等腰直角三角形，AD＝CD，∴AE＝CE＝DE＝AC，而∠FDB＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△FDB也為等腰直角三角形，同理可證CF＝BF＝DF＝CB＝，在△ADE與△EFC中，，∴△ADE≌△EFC（SAS），故②正確；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形CEDF＝S△CED+S△CDF＝S△CED+S△ADE＝S△ACD＝S△ABC.故④正確，綜上，正確的結(jié)論有①②④，故選：C．二、填空題（本大題共6小題，第11題每空2分，其余每題4分，共32分）11．（12分）計(jì)算：a2?a4＝a6；（a2）3＝a6；（ab）2＝a2b2；6a4÷（2a）＝3a3；a0＝1（a≠0）；＝﹣1．【解答】解：a2?a4＝a4；（a2）3＝a7；（ab）2＝a2b5；6a4÷（3a）＝3a3；a5＝1（a≠0）；（）2025×（﹣3）2015＝﹣8；故答案為：a6；a6；a8b2；3a6；1；﹣1．12．（4分）等腰三角形的一個(gè)底角為50°，則它的頂角的度數(shù)為80°．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2＝80°，∴頂角為80°．故填80°．13．（4分）如圖，興趣小組在做用蠟燭探究小孔成像原理的實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)小孔在某一位置使得AO＝CO，則蠟燭實(shí)際火焰AB的高度為2cm．【解答】解：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD，∵蠟燭成像火焰高度CD為2cm，∴蠟燭實(shí)際火焰AB的高度AB為2cm，故答案為：4．14．（4分）如圖，已知等邊三角形ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，則∠EFD＝45°．【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知；∠AFE＝∠EFD．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∠C＝60°．∵ED⊥BC，∴△EDC為直角三角形，∴∠FDB＝30°，∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴∠EFD＝45°．故答案為：45°15．（4分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中放入一個(gè)邊長(zhǎng)為8的正方形ALMN和兩個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形DEFG、HIJK．若陰影部分的面積滿足2S3+S1﹣S2＝2，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為90．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為a，寬為bS1的長(zhǎng)為：8﹣6＝2，寬為：b﹣86＝2（b﹣8）S8的長(zhǎng)為：8+6﹣a＝14﹣a，寬為：6+6﹣b＝12﹣b2＝（14﹣a）（12﹣b）；S6的長(zhǎng)為：a﹣8，寬為：b﹣68＝（a﹣8）（b﹣6）．由條件可知4（a﹣8）（b﹣6）+7（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，解得ab＝90，故答案為：90．16．（4分）如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，ON＝AD，MN⊥OD交AB與點(diǎn)M，BM＝BH，DM＝53.5．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥OD交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．∵∠AOB＝90°，HN⊥OD，∴∠TON+∠ONT＝90°，∠H+∠ONT＝90°，∴∠NOT＝∠H，∵BM＝BH，∴∠H＝∠BMH，∵AP⊥OP，NH⊥OP，∴AP∥NH，∴∠DAP＝∠BMH，∴∠NOT＝∠DAP，在△OTN和△APD中，，∴△OTP≌△APD（AAS），∴OT＝AP，在△APO和△OTH中，，∴△APO≌△OTH（AAS），∴OA＝OH＝12，∵∠MDT+∠DMT＝90°，∠BOD+∠AOP＝90°，∴∠BDO＝∠BOD，∴BD＝OB，∴5+BM＝12﹣BH，∴5+BM＝12﹣BM，∴BM＝6.5．故答案為：3.7．三、解答題（本大題共9小題，共78分）17．（8分）計(jì)算：（1）（a+b）（a+2b）；（2）（6a8﹣4a6+2a2）÷（2a2）．【解答】解：（1）（a+b）（a+2b）＝a2+4ab+ab+2b2＝a5+3ab+2b3；（2）（6a8﹣7a6+2a3）÷（2a2）＝3a8÷（2a3）﹣4a6÷（7a2）+2a5÷（2a2）＝6a6﹣2a6+1．18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣1）（x﹣2）﹣x（x+1）．【解答】解：原式＝x2﹣3x+6﹣x2﹣x＝﹣4x+3，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝﹣8×．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1）（4，2）、C（2，3）．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）△ABC是直角三角形；（填“直角三角形”，“銳角三角形”或“鈍角三角形”）（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C4即為所求；（2）由網(wǎng)格可知：△ABC是直角三角形，故答案為：直角三角形；（3）如圖，點(diǎn)P即為所求，0），故答案為：（2，8）．20．（8分）如圖，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上，點(diǎn)A為DC的中點(diǎn)，求證：DE＝CB．【解答】證明：∵DE∥BC，∴∠D＝∠C，∵點(diǎn)A為DC的中點(diǎn)，∴AD＝AC，在△ADE和△ACB中，，∴△ADE≌△ACB（ASA），∴DE＝CB．21．（8分）如圖，△ABC．（1）尺規(guī)作圖：在BC上求作一點(diǎn)D，使得∠ADC＝2∠B；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，DE⊥AC于點(diǎn)E，DE，若AD＝CD【解答】（1）解：如圖，點(diǎn)D即為所求；（2）證明：∵AD＝DC，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠ADC＝2∠B＝∠B+∠DAB，∴∠CDE＝∠B，∴DE∥AB．22．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DE．求證：DE平分∠ADC．請(qǐng)你填空完成下面的推理過程，并在空白括號(hào)內(nèi)注明推理的依據(jù)．證明：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H．∵EF⊥AB，∠AEF＝60°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°．∴∠CAD＝180°﹣∠BAD﹣∠EAF＝30°．∴∠EAF＝∠CAD，即AC平分∠DAF．又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF＝EG．（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．∵BE是角平分線，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH．（等量代換）又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴點(diǎn)E在∠ADC的平分線上，（角的內(nèi)部，到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．）∴DE平分∠ADC．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，∵EF⊥AB，∠AEF＝60°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAD＝180°﹣∠BAD﹣∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAD，即AC平分∠DAF，又∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF＝EG．（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∵BE是角平分線，EF⊥AB，∴EF＝EH，∴EG＝EH．（等量代換），又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴點(diǎn)E在∠ADC的平分線上，（角的內(nèi)部，∴DE平分∠ADC，故答案為：30，DAF，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．23．（8分）如圖，在等邊△ABC中，P為AB邊上的一點(diǎn)，連接DA并延長(zhǎng)交直線CP于點(diǎn)E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度數(shù)；（2）若AE＝1，CE＝5，求AD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，CB＝CA，∵∠ACE＝20°，∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，由翻折的性質(zhì)可知，CB＝CD，∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，∴∠CAD＝∠D＝80°，∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．（2）過點(diǎn)C作CT⊥DE于T．設(shè)∠ECA＝α，∴∠ACD＝60°﹣2α，∵CA＝CD，∴∠CAD＝（180°﹣60°+2α）＝60°+α，∵∠DAC＝∠E+∠ACE，∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，∵CT⊥AD，CA＝CD，∴AT＝DT，∴∠ECT＝30°，∴ET＝EC＝2.5，∴AT＝DT﹣AE＝8.5﹣1＝7.5，∴AD＝2AT＝2．24．（10分）定義：對(duì)于依次排列的多項(xiàng)式x+a，x+b，x+c（a，b，c，d是常數(shù)），當(dāng)它們滿足：（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c）＝M，則稱a，b，c，d是一組平衡數(shù)，x+1，x+6，因?yàn)椋▁+2）（x+5）﹣（x+1）（x+6）＝（x2+7x+10）﹣（x2+7x+6）＝4，所以2，1，6，5是一組平衡數(shù)（1）已知2，4，7，9是一組平衡數(shù)，求該組平衡數(shù)的平衡因子M；（2）若a，b，c，d是一組平衡數(shù)，且a＝﹣4，請(qǐng)直接寫出b與c的數(shù)量關(guān)系；（3）若n2+n，n2+n+2，c，d是一組平衡數(shù)（n是常數(shù)）且平衡因子為142+n﹣c的值．【解答】解：（1）根據(jù)定義，平衡因子M＝（x+a）（x+d）﹣（x+b）（x+c），代入a＝2，b＝4，d＝7，∴（x+2）（x+9）﹣（x+2）（x+7）＝（x2+11x+18）﹣（x6+11x+28）＝18﹣28＝﹣10，∴M＝﹣10；（2）∵a，b，c，d是一組平衡數(shù)，d＝3，∴a+d＝b+c，∴b+c＝﹣4+3，∴b+c＝﹣1；（3）已知a＝n2+n，d＝n5+n+2，由平衡數(shù)定義：a+d＝b+c，代入a＝n2+n，b＝n7+n+2，得：（n2+n）+d＝（n2+n+2）+c，∴d＝c+2，平衡因子M＝ad﹣bc＝14，