年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3幾何證明與計算課件（福建）

專題突破篇專題三幾何證明與計算類型1類型2類型3類型4例1：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的中線，以CD為底邊向右作等腰三角形CDE，CE＝DE，使∠CDE＝∠A，DE與BC交于點F.類型1利用特殊三角形的性質(zhì)證明與計算(1)求證：△CDF是直角三角形.類型1類型2類型3類型4

類型1類型2類型3類型4

類型1類型2類型3類型4

1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于點D，E是BC上一點，連接AE，與BD相交于點O，連接OC，DE，且OB＝OC.(1)求證：AE垂直平分BC.類型1類型2類型3類型4類型1類型2類型3類型4證明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上．∵OB＝OC，∴點O在線段BC的垂直平分線上．∴AO垂直平分BC，即AE垂直平分BC.(2)若∠BAC＝60°.①求證：△CDE是等邊三角形；②若OB＝2，則BC＝______．類型1類型2類型3類型4證明：由(1)知AB＝AC，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°.例2：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，P為射線BC上一動點(點P不與點B重合)，以AP為直角邊在AP的右側(cè)作等腰直角三角形APQ，∠PAQ＝90°.類型2利用全等三角形證明與計算類型1類型2類型3類型4(1)如圖①，當(dāng)點P在線段BC上時，求點Q到直線AC的距離；類型1類型2類型3類型4解：如圖①，作QD⊥AC交AC于點D，則∠ADQ＝90°，∵∠PAQ＝90°，△APQ是等腰直角三角形，∴∠PAC＋∠DAQ＝90°，AP＝AQ.∵∠ACB＝90°，∴∠PAC＋∠CPA＝90°，∴∠DAQ＝∠CPA，又∵∠ADQ＝∠ACB＝90°，∴△ADQ≌△PCA，∴QD＝AC＝1，∴點Q到直線AC的距離為1.(2)如圖②，當(dāng)點P運動到BC的延長線上時，連接BQ，交直線AC于點M，求證：QM＝BM.類型1類型2類型3類型4證明：如圖②，作QE⊥MC交直線MC于點E，則∠E＝90°.∵∠PAQ＝90°，∴∠EAQ＋∠PAC＝180°－∠PAQ＝90°.∵∠ACP＝90°，∴∠CPA＋∠PAC＝90°，∴∠EAQ＝∠CPA.∵∠E＝∠ACP＝90°，AQ＝AP，∴△EAQ≌△CPA，∴EQ＝CA.∵AC＝CB，∴EQ＝CB.∵∠EMQ＝∠CMB，∠E＝∠MCB＝90°，∴△EMQ≌△CMB，∴QM＝BM.2．如圖，在等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，P為線段AD上一動點(點P不與點A，D重合)，以PB為邊在PB的下方作等邊三角形PBQ，連接CQ.(1)求∠BCQ的度數(shù)．類型1類型2類型3類型4類型1類型2類型3類型4∵△ABC與△PBQ都是等邊三角形，∴AB＝BC，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°，∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.∴△ABP≌△CBQ.∴∠BCQ＝∠BAD＝30°.(2)如圖②，M，N為直線CQ上兩點，且BM＝BN，△BMN的周長為16，CD＝4，則MN的長為________．類型1類型2類型3類型46例3：如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，D為BC的中點，CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線交AB于點F，連接BE.(1)求證：CD2＝DE·DA；類型3利用相似三角形證明與計算類型1類型2類型3類型4類型1類型2類型3類型4證明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝∠CDE＋∠CAD＝90°，∴∠DCE＝∠CAD，∴△CDE∽△ADC，(2)求證：∠DAB＝∠EBD；類型1類型2類型3類型4證明：∵D為BC的中點，∴CD＝BD.∵CD2＝DE·DA，∴BD2＝DE·DA，∴

.∵∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴∠DAB＝∠EBD.(3)若AE＝4，DE＝1，求

的值．類型1類型2類型3類型4解：如圖，過點E作EH⊥BC于點H，

∴∠EHD＝90°.∵AE＝4，DE＝1，∴AD＝AE＋DE＝5.類型1類型2類型3類型43．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC>BC，D是邊AB上一動點，連接CD，將線段DC繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接AE，CE.[2025龍巖質(zhì)檢節(jié)選](1)如圖①，若D是AB的中點，∠DAE＝75°，求∠BDC的度數(shù)；類型1類型2類型3類型4類型1類型2類型3類型4解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE＝CD，∠CDE＝90°.∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，∴CD＝AD，∴DE＝AD，∴∠DEA＝∠DAE＝75°，∴∠ADE＝180°－∠DEA－∠DAE＝30°，∴∠BDC＝180°－∠ADE－∠CDE＝180°－30°－90°＝60°.(2)如圖②，當(dāng)AE⊥AB時，求證：.類型1類型2類型3類型4證明：過點C作CF⊥AB于點F，如圖，則∠DCF＋∠CDF＝90°.由(1)知DC＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠ADE＝180°－90°＝90°，∴∠DCF＝∠ADE.又∵AE⊥AB，∴∠EAD＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△FCD，∴AD＝CF.例4：如圖，已知直線l1∥l2.(1)在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1之間的距離恰好等于l與l2之間的距離；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)類型4尺規(guī)作圖和幾何證明與計算類型1類型2類型3類型4解：如答圖①，直線l就是所求作的直線.(2)在(1)的條件下，若l1與l2之間的距離為2，點A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積.[2024福建10分]類型1類型2類型3類型4

②如答圖③，當(dāng)∠ABC＝90°，BA＝BC時，分別過點A，C作直線l1的垂線，垂足為M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°.∵l∥l1∥l2，直線l1與l2之間的距離為2，且l與l1之間的距離等于l與l2之間的距離，類型1類型2類型3類型4

類型1類型2類型3類型44.如圖，BD是矩形ABCD的對角線.(1)求作☉A，使得