浙江省嘉興市八校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2025學(xué)年第一學(xué)期嘉興八校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效。

4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、選擇題Ⅰ：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1．已知點(diǎn)A(2,5)，B4,11，則直線AB的斜率為

1

A．3B．C．2D．3

3

2．已知直線l1:2xy10與l2:xky30垂直，則實(shí)數(shù)k的值為

11

A．2B．2C．D．

22

x2y2

3．已知F、F分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1PF2，則PF1

1298

A．3B．6C．22D．2

4．已知空間向量a4,3,2與b2,x,y共線，則xy

11

A．1B．C．D．1

22

uuurruuurruuurruuur

．在三棱柱ABCABC中，，，，BC的中點(diǎn)為，則

5111ABaACbAA1cOOB1

1111

A．a(chǎn)bcB.abc

2222

1111

C．a(chǎn)bcD．a(chǎn)bc

2222

6．過(guò)點(diǎn)P(3,2)作圓O：x2y21的一條切線，切點(diǎn)為M，則MP

A．2B．23C．13D．4

7．已知圓C:(x1)2(y1)24和兩點(diǎn)Aa,0,Ba,0(a0)，若圓C上有且僅有一點(diǎn)P，使得

APB90，則實(shí)數(shù)a的值是

A．22B．22

C．2D．22或22

．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，S2S，

8F1F2F2PQPQF1QQF1F2PF1F2

則橢圓的離心率為

5231

A．B．C．D．

3333

二、選擇題Ⅱ：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每題全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)

得部分分.

9．已知圓C：x2y22x2y20，則下列說(shuō)法正確的是

A．點(diǎn)P(2,2)在圓內(nèi)

B．圓C的圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑r為2

．圓與軸交于點(diǎn)，則

CCyM、NSCMN3

D．直線l：xyc0與圓C相切，則c222

．正方體的棱長(zhǎng)為，則下列說(shuō)法正確的是

10ABCDA1B1C1D11

．直線與直線所成的角為

AAD1A1C160

．直線與平面所成的角為

BAD1ACC1A130

．二面角的平面角為

CA1AC1D130

2

D．點(diǎn)D到平面ACCA的距離為

1112

11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱

A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論正確的是

A．平面CMN截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面圖形是五邊形；

2

B．直線BD到平面CMN的距離是；

112

C．存在點(diǎn)P，使得B1PD190；

55

D．面積的最小值是

PDD16．

非選擇題部分

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12．直線xy10的傾斜角為．

x2y2

13．已知橢圓1(a6)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若橢圓上的點(diǎn)P滿足PF2x軸，PF12PF2，

a26

則PF1F2的周長(zhǎng)為．

22

14．已知圓M：xmy11與圓N關(guān)于直線l：xy30對(duì)稱，且圓M上任一點(diǎn)P與圓N上任

一點(diǎn)Q之間距離的最小值為222，則實(shí)數(shù)m的值為．

四、解答題:本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15．（本題13分）已知空間三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)aAB，bAC.

（1）求|b|，ab；

（2）若向量kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.

16．（本題15分）已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(2,3)，B（1,2），C（4，4）．

（）若直線過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，求直線的方程；

1l1CABl1l1

（）若直線過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積取

2l2AxyPQOOPQ

最小值時(shí)直線的方程．

l2

．（本題分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，圓：22

1715l1xay10Cxy2x30

（1）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值；

l1Ca

（2）若，直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的面積；

a3l1CA、BABC

（3）若直線：與圓交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的值.

l2ykxCM、NOM2ONOk

18．（本題17分）如圖，在四棱錐PABCD中，CD平面PAD，AB∥CD，AP22，

CD2AB2PD2AD4，點(diǎn)E是棱PC上靠近P端的三等分點(diǎn).

（1）證明：PD平面ABCD；

（2）證明：PA∥平面BDE；

222

（3）是否存在棱PA上一點(diǎn)F，使得平面BFC與平面BFA夾角的余弦值為？若存在，

11

請(qǐng)指出此時(shí)點(diǎn)F的位置.

x2y23

19．（本題17分）已知橢圓:1(ab0)的離心率為，A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)C(1,0)

a2b22

作斜率為k1k10的動(dòng)直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)；當(dāng)k1變化時(shí)，ABM面積的最大值為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)k11時(shí)，求AMN的面積；

（3）如圖，設(shè)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為P，直線AP、BN交于點(diǎn)Q，設(shè)直線OQ的斜率

k2

為k2，試探究是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

k1

一、選擇題Ⅰ（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．D；2．B；3．A；4．C；

5．C；6．B；7．D；8．A．

二、選擇題Ⅱ（本大題共3小題，每小題6分，共18分；每題全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分

選對(duì)的得部分分）

9．ABC；10．ABD；11．AC；

三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

12．45o；13．623；14．2或6.

11.解析：對(duì)于A，如圖直線MN與C1B1、C1D1的延長(zhǎng)線分別交于M1,N1，連

接CM1,CN1分別交BB1,DD1于M2,N2，連接MM2,NN2，則五邊形MM2CN2N

即為所得的截面圖形，

故A正確；

對(duì)于B，由題可知MN//B1D1，MN平面CMN，B1D1平面CMN，

∴B1D1//平面CMN，故點(diǎn)B1到平面CMN的距離即為直線B1D1到平面CMN的距離，

設(shè)點(diǎn)B1到平面CMN的距離為h，由正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2可得，

2

1217

CMCN3,MN2，2，

SCMN23

222

∴111717，

VShhh

B1CMN3CMN326

1111

VSCC2，

CB1MN3B1MN1323

217

∴由VBCMNVCBMN，可得h，

1117

217

所以直線B1D1到平面CMN的距離是，故B錯(cuò)誤；

17

對(duì)于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B12,0,2,D10,2,2,C2,2,0,M1,0,2，

設(shè)PCMC,01，

∴PCMC1,2,2，又C2,2,0，

B12,0,2,D10,2,2,

∴P2,22,2，

PB1,22,22,PD12,2,22，

假設(shè)存在點(diǎn)P，使得B1PD1=90，

22

∴PB1PD12222220，整理得91440，

713713

∴1（舍去）或，

99

故存在點(diǎn)P，使得B1PD1=90，故C正確；

對(duì)于D，由上知P2,22,2，所以點(diǎn)P2,22,2在DD1的射影為0,2,2，

∴點(diǎn)P2,22,2到DD1的距離為：

2

222216

d225445，

55

245

∴當(dāng)=時(shí)，d，

5min5

14545

∴故△PDD1面積的最小值是2，故D錯(cuò)誤.

255

答案為：AC.

14．解析：設(shè)圓N的圓心為x,y，

∵圓M和圓N關(guān)于直線l對(duì)稱，

y1

1

xmx4

∴，解得，

xmy1ym3

30

22

∴圓N的圓心為4,m3．

222

∴MN4mm42m4．

∵圓M上任一點(diǎn)P與圓N上任一點(diǎn)Q之間距離的最小值為為222，

2

∴2m42222，

解得m2或m6．

四、解答題（本大題有5小題，共77分）

15．（本題滿分13分）

解:（1）由題意，aAB(1,1,0),bAC(1,0,2)，………2分

r

故|b|5……4分

ab(1,1,0)(1,0,2)1；……6分

（2）因kab與ka2b互相垂直，則（kab）（ka2b）=0……8分

即k2|a|2kab2|b|22k2k100……………11分

5

解得，k2或k.………………13分

2

16．（本題滿分15分）

解：（1）方法一：因?yàn)辄c(diǎn)A，B到直線l1的距離相等，所以直線l1與AB平行或通過(guò)AB的中點(diǎn)，

32

當(dāng)直線l與AB平行，因?yàn)閗1k，且l過(guò)點(diǎn)C，所以l方程為y4x4，即

1AB21l111

①

xy80；………3分

5

4

3521313

當(dāng)直線l通過(guò)AB的中點(diǎn)D(,)，所以k，所以l的方程為y4(x4)，即

1CD31

22455

②2

13x5y320．………6分

綜上：直線l1的方程為xy80或13x5y320．

方法二：設(shè)直線l1:y4k(x4)，………1分

即kxy4k40，又因?yàn)辄c(diǎn)A，B到直線l1的距離相等

|2k34k4||k24k4|

所以………3分

k21k21

13

化簡(jiǎn)計(jì)算可得，k1或k………………5分

5

即直線l1的方程為xy80或13x5y320………6分

（2）方法一：由題意設(shè)P(a,0)，Q(0,b)，其中a，b為正數(shù)，

xy

可設(shè)直線l的方程為1………7分

2ab

23

因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)A(2,3)，所以1，………9分

2ab

232326

由基本不等式可得12，……11分

ababab

23

1

aba4

所以ab26，ab24，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，ab取得最小值24，

23b6

ab

1

所以O(shè)PQ面積Sab12，………13分

2

xy

所以當(dāng)a4，b6時(shí)，OPQ面積最小，此時(shí)直線l的方程為1，即

246

3x2y120．………15分

方法二：設(shè)直線l2:y3k(x2)…7分

3

則P（-2,0)，Q(0,2k3)………9分

k

13

S(2)(32k)………10分

OPQ2k

19

(124k)

2k

9

依題意知k0，故4k0，0

k

99

由基本不等式可得：4k()2(4k)()12………12分

kk

93

當(dāng)且僅當(dāng)4k時(shí)取等號(hào)，此時(shí)k，

k2

此時(shí)OPQ面積最小為12.………14分

3

此時(shí)直線l的方程為l:y3(x2)，即3x2y120………15分

222

17．（本題滿分15分）

解：解：（1）圓C：x2y22x30(x1)2y24………1分

圓心C(1,0)半徑r2………2分

2

直線與圓相切………4分

l1Cd2a0

a21

y

2

（2）直線l：x3y10則d1

12B

31

A

………6分C

x

所以AB23………8分

1

S2313…9分

ABC2

（3）設(shè)，

M(x1,y1)N(x2,y2)

OM2ON，①

x12x2y

…10分M

ykx

由得(1k2)x22x30C

22Ox

xy2x30N

23

xxxx②

121k2121k2

…12分

15

將①式代入②式得k…15分

3

18.（本題滿分17分）

解：（1）因?yàn)镃D平面PAD，所以CDPD………………1分

因?yàn)镻DAD2，AP22，所以PDAD………………3分

………………4分

PD平面ABCD

（2）方法一：連AC交BD于點(diǎn)M，連ME

CECM2

Q,EM∥AP…………6分

EPMA1

QEM平面EBD，AP平面EBD………7分

PA∥平面BDE………8分

方法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，…………5分

44

則A2,0,0，B2,2,0，C0,4,0，P0,0,2，E0,,.

33

44

DB2,2,0，DE0,,，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為

33

2x2y0

mDB0

mx,y,z，則，即44，

mDE0yz0

33

令x1，得y1，z1，則m1,1,1.…………7分

又PA2,0,2，可得PAm0，

因?yàn)镻A平面BDE，所以PA//平面BDE.…………8分

uuuruur

（3）假設(shè)存在，設(shè)PFPA（01）…………9分

uuuruur

設(shè)F(a,0,c)，則PF(a,0,c2)，PA(2,0,2)，

可得F(2,0,22)…………10分

uuur

BC2,2,0，AB0,2,0，BF(22,2,22)

設(shè)平面的一個(gè)法向量為（），

BFAn1x1,y1,z1

n1BF0(22)x12y1(22)z10

則，即，可得n(1,0,1)…………12分

2y01

n1AB01

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

BFCn2(x2,y2,z2)

n2BF0(22)x22y2(22)z20

則，即，可得n(1,1,2)………14分

2x2y02

n2BC022

設(shè)平面BFC與平面BFA的夾角為，則

|nn||32|222

coscosn,n12.......15分

12222

|n1||n2|2(1)(1)(2)11

Q1，320，化簡(jiǎn)整理得42430

1

解得，從而點(diǎn)F是棱PA的中點(diǎn)........17分

2

19.（本題滿分17分）

c3

解：（1）依題意可知e，……………1分

a2

1

當(dāng)M為短軸頂點(diǎn)時(shí)，ABM取到最大值2abab2，…2分

2

c3

a2a2

可得ab2，解得b1，

222

abcc3

x2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程y21…4分

4

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C1,0在橢圓內(nèi)部，可知直線l與橢圓必相交，設(shè)Mx1,y1,N