第2章 實數 單元測試4（解析版）

2/2第二章實數·基礎通關建議用時：100分鐘，滿分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．若是二次根式，則a的值可能是（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握被開方數必須是非負數是解題的關鍵．根據是二次根式，則，即可得到答案．【詳解】若是二次根式，則被開方數需滿足，選項A、B、C均為負數，不符合條件；選項D為0，滿足，此時有意義，屬于二次根式．故選：D．2．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式．同類二次根式需滿足化簡后被開方數相同．將各選項化簡后，判斷被開方數是否與相同即可．【詳解】解：選項A：，結果為整數，不是二次根式，排除；選項B：，被開方數為5，與同類；選項C：已是最簡形式，被開方數為10，與5不同，排除；選項D：已是最簡形式，被開方數為15，與5不同，排除；故選B．3．在，，，，，，這六個數中，無理數共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了無理數的概念，算術平方根和立方根，無限不循環小數是無理數，初中范圍內涉及到的無理數有三種：開方開不盡的數，如；特定意義的數，如；特定結構的數，如．根據無理數的概念逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：是整數，屬于有理數；是整數，屬于有理數；是小數，屬于有理數；是無理數；是無理數；是整數，屬于有理數；則無理數共有2個，故選：B4．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了化為最簡二次根式，最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義，需滿足：①被開方數不含分母；②被開方數不含能開方的因數,對各選項逐一分析即可作答．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式；B、，不是最簡二次根式；C、，不是最簡二次根式；D、是最簡二次根式；故選：D5．下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了算術平方根，立方根的定義，根據算術平方根與立方根的定義，進行計算即可求解．【詳解】解：A、，故該選項不正確，不符合題意；

B、，故該選項正確，符合題意；

C、，故該選項不正確，不符合題意；

D、，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．6．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的加減乘除運算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．根據二次根式的加減乘除計算法則求解即可．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，計算錯誤，不符合題意；B、，計算錯誤，不符合題意；C、，計算正確，符合題意；D、，計算錯誤，不符合題意；故選：C．7．現對實數，定義一種運算：，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了實數的混合運算，先化簡算術平方根和立方根，再依據新定義規定的運算計算可得．【詳解】解：，，故選：A．8．如圖，在數軸上有四個點，則（

）A．點表示的數可能是 B．點表示的數可能是C．點表示的數可能是 D．點表示的數可能是【答案】C【分析】本題考查實數與數軸，無理數的估算，根據無理數的估算，結合點在數軸上的位置，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴點表示的數不可能是，故A錯誤；∵，∴點表示的數不可能是，故B錯誤；∵，∴，∴點表示的數可能是，故C正確；∵，∴，∴點表示的數不可能是，故D錯誤．故選C．9．如圖是一個程序框圖，若輸入，則輸出y的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據程序寫出代數式，再代入計算解答即可．本題考查了程序式計算，熟練掌握程序式計算是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，得程序式為，∵，∴，故選：B．10．根據表中的信息判斷，下列語句正確的是（

）nA． B．C．只有3個正整數n滿足 D．【答案】C【分析】本題考查算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義及其小數點變化規律是解題的關鍵，根據表格中n與的對應關系，逐一分析選項的正誤即可．【詳解】解：A中，由表格可知，，故A錯誤；B中，當時，，而，因此，故B錯誤；C中，由表格，，，滿足的正整數需滿足，即，共3個，故C正確；D中，表格中，則，故，故D錯誤；故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．計算：．【答案】3【分析】本題考查了算術平方根，理解其定義是解題的關鍵．根據算術平方根的定義計算即可．【詳解】解：．故答案為：．12．比較大小：2．（填“”“”或“”）【答案】【分析】本題主要考查了實數的大小比較，先比較兩個實數的平方的大小是解題的關鍵．先比較兩個數的平方，然后比較其大小即可．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：．13．若最簡二次根式與是同類二次根式，則．【答案】3【分析】本題考查了同類二次根式的定義，熟知同類二次根式的概念是解題的關鍵；題目已知兩個二次根式是最簡二次根式，故只需使兩個二次根式的被開方數相同即可．【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：；故答案為：3.14．若，則的立方根是．【答案】【分析】先根據非負數的性質列出方程求出x、y的值，再求的立方根．本題考查了二次根式和完全平方式的非負性，立方根．解題關鍵是牢記兩非負數和為0，即這兩個數分別為0．由可得：求出的值即可求解．【詳解】解：由題意得，，，解得，，，的立方根是，故答案為：．15．將一組數，2，，，，，，，，按如圖方式進行排列，則第七行最右邊的數是．【答案】【分析】本題考查的是數字的變化規律，從題目中歸納出一般規律是解題的關鍵．根據題意可知，前七行共有28個數，第n個數為：，據此求解即可．【詳解】解：∵第一行有1個數，第二行有2個數，第三行有3個數，……∴第七行有7個數，∴前七行共有數的個數為：，這組數第1個數為：，第2個數為：第3個數為：第4個數為：第5個數為：第6個數為：……第n個數為：，∴第七行最右邊的數．故答案為：．16．定義：如圖，點M，N把線段分割成三條線段，和，若以，，為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段的勾股分割點．若，則的長為．【答案】或5【分析】本題考查了新定義“勾股分割點”、勾股定理；理解新定義，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解決問題的關鍵．分兩種情況：①當為最大線段時，由勾股定理求出；②當為最大線段時，由勾股定理求出即可．【詳解】解：分兩種情況：①當為最大線段時，點、是線段的勾股分割點，；②當為最大線段時，點、是線段的勾股分割點，．綜上所述：的長為或5．故答案為：或5．三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）17．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，熟知二次根式的相關計算法則是解題的關鍵．（1）先計算二次根式除法和化簡二次根式，再計算加減法即可得到答案；（2）先根據乘法公式去括號，然后計算加減法即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．求x的值：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】本題考查利用平方根和立方根的定義解方程，熟知平方根和立方根的定義是解答的關鍵．（1）利用平方根的定義解方程即可，注意一個正數的平方根有兩個，且互為相反數；（2）根據立方根的定義解方程即可．【詳解】（1）解：原方程可化為，∴，解得或；（2）解：原方程可化為，∴，解得．19．把下列各數分別填在相應的括號內：，，，，0，，，（每兩個1之間依次增加一個0）．(1)整數：{

…}；(2)分數：{

…}；(3)無理數：{

…}．【答案】(1)、、0(2)、、(3)、、（每兩個1之間依次多一個0）【分析】本題主要考查了實數的分類、無理數、有理數之間的關系，立方根，有理數都可以化為小數，其中整數可以看作小數點后面是零的小數，分數都可以化為有限小數或無限循環小數；無理數是無限不循環小數，其中有開方開不盡的數．（1）根據整數的定義進行填空即可；（2）根據分數的定義進行填空即可；（3）根據無理數的定義進行填空即可．【詳解】（1）解：，，∴整數有：、、0；（2）解：分數有：、、；（3）解：無理數有：、、（每兩個1之間依次多一個0）．20．已知，，分別求下列代數式的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)15【分析】本題考查二次根式的運算、求代數式的值，利用平方差公式和完全平方公式計算是解題的關鍵．（1）先利用平方差公式分解因式，再計算即可；（2）將所求式子變形為，再代入求值即可．【詳解】（1）解：

；（2）解：

．21．已知的立方根為，4的算術平方根是，是的整數部分．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】本題考查了立方根，平方根，算術平方根的定義，無理數的估算，代數式求值，熟練掌握相關知識為解題關鍵（1）根據立方根，算術平方根的定義求出a，b的值，再根據無理數的估算求出c的值即可；（2）先代入求出代數式的值，再求平方根即可．【詳解】（1）解：∵的立方根是，∴，∵4的算術平方根是，∴，∵，∴即，∴的整數部分是5，又是的整數部分，∴，綜上可知，，；（2）解：∵，，，∴．∴的平方根為．22．對于實數a，b定義一種新運算“○”，規定，如．(1)___________，___________；(2)若，求x的值．【答案】(1)，4(2)【分析】本題以新定義運算為載體，主要考查了實數的運算和二次根式的運算，弄清新定義運算的法則是解題的關鍵；（1）根據新定義運算法則計算即可；（2）根據可得：，再解方程即可．【詳解】（1）解：；；故答案為：，4；（2）解：由可得：，解得：．23．如圖，已知點，是數軸上兩點，，點在點的右側，點表示的數為，設點表示的數為．(1)實數的值是___________；(2)求的值；(3)在數軸上有兩點分別表示實數和，且有與互為相反數，求的算術平方根．【答案】(1)(2)1(3)的算術平方根為4【分析】本題考查的是實數與數軸，非負數的性質，算術平方根平方根的含義等知識點．（1）根據數軸上兩點之間的距離可得答案；（2）由數軸可知：，再根據絕對值的意義化簡即可；（3）根據非負數的性質求解，，再進一步求解即可．【詳解】（1）解：∵點B在數軸上點A右右側，點A表示的數為，，∴；（2）解：由數軸可知：，∴，，∴；（3）解：∵與互為相反數，∴，又，均為非負數，故且，即，，∴，∴的算術平方根．24．觀察下列等式：第1個等式；第2個等式第3個等式；…根據你所發現的規律，解決下列問題：(1)填空______；(2)猜想______；（用含n的式子表示，n為正整數）(3)計算．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查數式規律問題，實數的運算，結合已知條件總結出規律是解題的關鍵．(1)根據題干中的已知等式即可求得答案；(2)根據已知等式總結規律即可；(3)根據所的規律先化簡再算乘法即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）（n為正整數，故答案為：；（3）原式．25．【閱讀理解】小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：設（其中a，b，m，n均為正整數），則有，，．這樣小明就找到了一種把化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題．【實踐探究】（1）當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，則________，________；（2）若，且x、m、n均為正