2026屆安徽省宣城市名校數學九上期末檢測試題含解析

2026屆安徽省宣城市名校數學九上期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，△ABC的頂點都是正方形網格中的格點，則sin∠ABC等于（

）A． B． C． D．2．如圖，正方形ABCD中，BE＝FC，CF＝2FD，AE、BF交于點G，連接AF，給出下列結論：①AE⊥BF；②AE＝BF；③BG＝GE；④S四邊形CEGF＝S△ABG，其中正確的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．已知二次函數的圖象如圖所示，現給出下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知一次函數y=kx+b的圖象如圖，那么正比例函數y=kx和反比例函數y=在同一坐標系中的圖象的形狀大致是（）A． B．C． D．5．若△ABC與△DEF相似，相似比為2：3，則這兩個三角形的面積比為（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：46．二次函數圖象上部分點的坐標對應值列表如下：則該函數圖象的對稱軸是（）……-3-2-101…………-17-17-15-11-5……A． B． C． D．7．如圖，是的外接圓，已知，則的大小為（）A． B． C． D．8．將拋物線y＝﹣3x2先向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣1）2+2C．y＝﹣3（x+1）2﹣2 D．y＝﹣3（x+1）2+29．如圖，AB為⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，且CD＝1，則⊙O的半徑為（）A．8.5 B．7.5 C．9.5 D．810．已知點P（2a+1，a﹣1）關于原點對稱的點在第一象限，則a的取值范圍是（）A．a＜﹣或a＞1 B．a＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a＞111．某路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當小明到達該路口時，遇到紅燈的概率是（）A． B． C． D．112．如圖，中，，，.將沿圖示中的虛線剪開，按下面四種方式剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（）A．①②③ B．②③④ C．①② D．④二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，，若點在反比例函數的圖象上，則經過點的反比例函數解析式為___；14．點M（3，）與點N（）關于原點對稱，則________.15．如圖，在中，點D、E分別在AB、AC邊上，，，，則__________．16．若△ABC∽△DEF,，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF面積比_____________.17．將拋物線y=x2先沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸方向向下平移3個單位，所得拋物線的解析式是__．18．當________時，的值最小.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖①，在中，，，D是BC的中點．小明對圖①進行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB，將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉，點B的對應點是點E，連接BE，得到．小明發現，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側．請你幫助小明繼續探究，并解答下列問題：（1）當點E在直線AD上時，如圖②所示．①；②連接CE，直線CE與直線AB的位置關系是．（2）請在圖③中畫出，使點E在直線AD的右側，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并說明理由．（3）當點P在線段AD上運動時，求AE的最小值．20．（8分）已知等邊△ABC的邊長為2，（1）如圖1，在邊BC上有一個動點P，在邊AC上有一個動點D，滿足∠APD＝60°，求證：△ABP～△PCD（2）如圖2，若點P在射線BC上運動，點D在直線AC上，滿足∠APD＝120°，當PC＝1時，求AD的長（3）在（2）的條件下，將點D繞點C逆時針旋轉120°到點D'，如圖3，求△D′AP的面積．21．（8分）如圖所示，已知在平面直角坐標系中，拋物線（其中、為常數，且）與軸交于點，它的坐標是，與軸交于點，此拋物線頂點到軸的距離為4.（1）求拋物線的表達式；（2）求的正切值；（3）如果點是拋物線上的一點，且，試直接寫出點的坐標.22．（10分）如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為邊在第一象限內作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．（1）試找出圖1中的一個損矩形；（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發生變化？若沒有發生變化，求出點N的坐標；若發生變化，請說明理由；（4）在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．23．（10分）（1）計算：；（2）解方程：x2+3x—4=0.24．（10分）已知是⊙的直徑，⊙過的中點，且于（1）求證：是⊙的切線（2）若，求的長25．（12分）如圖，已知正方形ABCD，點E為AB上的一點，EF⊥AB，交BD于點F．（1）如圖1，直按寫出的值；（2）將△EBF繞點B順時針旋轉到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數量關系，并證明你的結論；（3）如圖3，當BE＝BA時，其他條件不變，△EBF繞點B順時針旋轉，設旋轉角為α（0°＜α＜360°），當α為何值時，EA＝ED？在圖3或備用圖中畫出圖形，并直接寫出此時α＝．26．如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m，EF=0.2m，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】試題解析：設正方形網格每個小正方形邊長為1，則BC邊上的高為2，則，.故本題應選C.2、C【分析】根據正方形的性質證明△ABE≌△BCF，可證得①AE⊥BF；

②AE＝BF正確；證明△BGE∽△ABE，可得＝＝，故③不正確；由S△ABE＝S△BFC可得S四邊形CEGF＝S△ABG，故④正確．【詳解】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90，

又∵BE＝CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∴∠FBC＋∠BEG＝∠BAE＋∠BEG＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故①，②正確；

∵CF＝2FD，BE＝CF，AB＝CD，

∴＝，

∵∠EBG＋∠ABG＝∠ABG＋∠BAG＝90°，

∴∠EBG＝∠BAE，

∵∠EGB＝∠ABE＝90°，

∴△BGE∽△ABE，

∴＝＝，即BG＝GE，故③不正確，

∵△ABE≌△BCF，

∴S△ABE＝S△BFC，

∴S△ABE?S△BEG＝S△BFC?S△BEG，

∴S四邊形CEGF＝S△ABG，故④正確．

故選：C．本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識點，解決問題的關鍵是熟練掌握正方形的性質．3、C【分析】根據圖象可直接判斷a、c的符號，再結合對稱軸的位置可判斷b的符號，進而可判斷①；拋物線的圖象過點（3，0），代入拋物線的解析式可判斷②；根據拋物線頂點的位置可知：頂點的縱坐標小于－2，整理后可判斷③；根據圖象可知頂點的橫坐標大于1，整理后再結合③的結論即可判斷④.【詳解】解：①由圖象可知：，，由于對稱軸，∴，∴，故①正確；②∵拋物線過，∴時，，故②正確；③頂點坐標為：.由圖象可知：，∵，∴，即，故③錯誤；④由圖象可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確；故選：C．本題考查了拋物線的圖象與性質和拋物線的圖象與其系數的關系，熟練掌握拋物線的圖象與性質、靈活運用數形結合的思想方法是解題的關鍵.4、C【解析】試題分析：如圖所示，由一次函數y=kx+b的圖象經過第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函數y=kx的圖象經過第一、三象限，反比例函數y=的圖象經過第二、四象限．綜上所述，符合條件的圖象是C選項．故選C．考點：1、反比例函數的圖象；2、一次函數的圖象；3、一次函數圖象與系數的關系5、C【分析】由△ABC與△DEF相似，相似比為2：3，根據相似三角形的性質，即可求得答案．【詳解】∵△ABC與△DEF相似，相似比為2：3，∴這兩個三角形的面積比為4：1．故選C．此題考查了相似三角形的性質．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方．6、B【分析】當和時，函數值相等，所以對稱軸為【詳解】解：根據題意得，當和時，函數值相等，所以二次函數圖象的對稱軸為直線故選B本題考查了二次函數的性質.7、B【分析】根據圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半可得∠AOB=100°，再根據三角形內角和定理可得答案．【詳解】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=100°，∵AO=BO，∴∠ABO=（180°-100°）÷2=40°，故選：B．此題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．8、C【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線y＝﹣3x1向左平移1個單位所得直線解析式為：y＝﹣3（x+1）1；再向下平移1個單位為：y＝﹣3（x+1）1﹣1，即y＝﹣3（x+1）1﹣1．故選C．此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．9、A【解析】根據垂徑定理得到直角三角形，求出的長，連接，得到直角三角形，然后在直角三角形中計算出半徑的長.【詳解】解：如圖所示：連接，則長為半徑.∵于點，∴，∵在中，，∴，∴，故答案為A.本題主要考查垂徑定理和勾股定理.根據垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧”得到一直角邊，利用勾股定理列出關于半徑的等量關系是解題關鍵.10、B【分析】直接利用關于原點對稱點的縱橫坐標均互為相反數分析得出答案．【詳解】點P（2a+1，a﹣1）關于原點對稱的點（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，則，解得：a＜﹣．故選：B．此題主要考查了關于原點對稱點的性質以及不等式組的解法，正確解不等式是解題關鍵．11、C【分析】根據隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數所有可能出現的結果數，據此用紅燈亮的時間除以以上三種燈亮的總時間，即可得出答案.【詳解】解：∵每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，∴紅燈的概率是：.故答案為：C.本題考查的知識點是簡單事件的概率問題，熟記概率公式是解題的關鍵.12、A【分析】根據相似三角形的判定定理對各項進行逐項判斷即可．【詳解】解：①剪下的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；②剪下的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；③剪下的三角形與原三角形對應邊成比例，故兩三角形相似；④剪下的三角形與原三角形對應邊不成比例，故兩三角形不相似；綜上所述，①②③剪下的三角形與原三角形相似．故選：A．本題考查的知識點是相似三角形的判定定理，熟記定理內容是解此題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【解析】構造K字型相似模型，直接利用相似三角形的判定與性質得出，而由反比例性質可知S△AOD==3，即可得出答案．【詳解】解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，

∵∠BOA=90°，

∴∠BOC+∠AOD=90°，

∵∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠BOC=∠OAD，

又∵∠BCO=∠ADO=90°，

∴△BCO∽△ODA，

∴，

∴，∴S△BCO=S△AOD

∵S△AOD===3，∴S△BCO=×3=1∵經過點B的反比例函數圖象在第二象限，

故反比例函數解析式為：y=．

故答案為．此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及反比例函數數的性質，正確得出S△BOC=1是解題關鍵．14、-6【分析】根據平面內兩點關于關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，列方程求解即可.【詳解】解：根據平面內兩點關于關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，∴b+3=0，a-1+4=0，即：a=﹣3且b=﹣3，∴a+b=﹣6本題考查關于原點對稱的點的坐標，掌握坐標變化規律是本題的解題關鍵.15、【分析】由，，即可求得的長，又由，根據平行線分線段成比例定理，可得，則可求得答案．【詳解】解：，，，，，．故答案為：．此題考查了相似三角形的判定和性質，此題比較簡單，注意掌握比例線段的對應關系是解此題的關鍵．16、1：1【分析】由題意直接根據相似三角形面積的比等于相似比的平方進行求值即可．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：1，故答案為：1：1．本題考查的是相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．17、y=（x+2）2-1【分析】根據左加右減，上加下減的變化規律運算即可．【詳解】解：按照“左加右減，上加下減”的規律，向左平移2個單位，將拋物線y＝x2先變為y＝（x＋2）2，再沿y軸方向向下平移1個單位拋物線y＝（x＋2）2即變為：y＝（x＋2）2?1，故答案為：y＝（x＋2）2?1．本題考查了拋物線的平移，掌握平移規律是解題關鍵．18、【分析】根據二次根式的意義和性質可得答案.【詳解】解：由二次根式的性質可知，當時，取得最小值0故答案為2本題考查二次根式的“雙重非負性”即“根式內的數或式大于等于零”和“根式的計算結果大于等于零”三、解答題（共78分）19、（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．【解析】（1）①利用等腰三角形的性質即可解決問題．②證明，，推出即可．（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．利用圓周角定理證明即可解決問題．（3）因為點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，所以當點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值．【詳解】（1）①如圖②中，∵，，∴，②結論：．理由：∵，，∴，∴，∴，∵AE垂直平分線段BC，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為50，．（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線段BC，∴，∴，∵，∴．（3）如圖④中，作于H，∵點E在射線CE上運動，點P在線段AD上運動，∴當點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值．本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質，平行線的判定，圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，靈活運用所學知識解決問題，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．20、（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）先利用三角形的內角和得出∠BAP+∠APB＝120°，再用平角得出∠APB+∠CPD＝120°，進而得出∠BAP＝∠CPD，即可得出結論；（2）先構造出含30°角的直角三角形，求出PE，再用勾股定理求出PE，進而求出AP，再判斷出△ACP∽∠APD，得出比例式即可得出結論；（3）先求出CD，進而得出CD'，再構造出直角三角形求出D'H，進而得出D'G，再求出AM，最后用面積差即可得出結論．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，在△ABP中，∠B+∠APB+∠BAP＝180°，∴∠BAP+∠APB＝120°，∵∠APB+∠CPD＝180°﹣∠APD＝120°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）如圖2，過點P作PE⊥AC于E，∴∠AEP＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝2，∠ACB＝60°，∴∠PCE＝60°，在Rt△CPE中，CP＝1，∠CPE＝90°﹣∠PCE＝30°，∴CE＝CP＝，根據勾股定理得，PE＝，在Rt△APE中，AE＝AC+CE＝2+＝，根據勾股定理得，AP2＝AE2+PE2＝7，∵∠ACB＝60°，∴∠ACP＝120°＝∠APD，∵∠CAP＝∠PAD，∴△ACP∽△APD，∴，∴AD＝＝；（3）如圖3，由（2）知，AD＝，∵AC＝2，∴CD＝AD﹣AC＝，由旋轉知，∠DCD'＝120°，CD'＝CD＝，∵∠DCP＝60°，∴∠ACD'＝∠DCP＝60°，過點D'作D'H⊥CP于H，在Rt△CHD'中，CH＝CD'＝，根據勾股定理得，D'H＝CH＝，過點D'作D'G⊥AC于G，∵∠ACD'＝∠PCD'，∴D'G＝D'H＝（角平分線定理），∴S四邊形ACPD'＝S△ACD'+S△PCD'＝AC?D'G+CP?DH'＝×2×+×1×＝，過點A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝1，在Rt△ABM中，根據勾股定理得，AM＝BM＝，∴S△ACP＝CP?AM＝×1×＝，∴S△D'AP＝S四邊形ACPD'﹣S△ACP＝﹣＝．此題主要考查四邊形綜合，解題的關鍵是熟知等邊三角形的性質、旋轉的特點及相似三角形的判定與性質、勾股定理的應用.21、（1）；（2）；（2）點的坐標是或【分析】（1）先求得拋物線的對稱軸方程，然后再求得點C的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點（-2，0）代入求得a的值即可；

（2）先求得A、B、C的坐標，然后依據兩點間的距離公式可得到BC、AB、AC的長，然后依據勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°，最后，依據銳角三角函數的定義求解即可；

（2）記拋物線與x軸的另一個交點為D．先求得D（1，0），然后再證明∠DBO=∠CAB，從而可證明∠CAO=ABD，故此當點P與點D重合時，∠ABP=∠CAO；當點P在AB的上時．過點P作PE∥AO，過點B作BF∥AO，則PE∥BF．先證明∠EPB=∠CAB，則tan∠EPB=，設BE=t，則PE=2t，P（-2t，2+t），將P（-2t，2+t）代入拋物線的解析式可求得t的值，從而可得到點P的坐標．【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸為x=-=-1．

∵a＜0，

∴拋物線開口向下．

又∵拋物線與x軸有交點，

∴C在x軸的上方，

∴拋物線的頂點坐標為（-1，4）．

設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點（-2，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+2．

（2）將x=0代入拋物線的解析式得：y=2，

∴B（0，2）．

∵C（-1，4）、B（0，2）、A（-2，0），

∴BC=，AB=2，AC=2，

∴BC2+AB2=AC2，

∴∠ABC=90°．

∴．即的正切值等于.

（2）如圖1所示：記拋物線與x軸的另一個交點為D．

∵點D與點A關于x=-1對稱，

∴D（1，0）．

∴tan∠DBO=．

又∵由（2）可知：tan∠CAB=．

∴∠DBO=∠CAB．

又∵OB=OA=2，

∴∠BAO=∠ABO．

∴∠CAO=∠ABD．

∴當點P與點D重合時，∠ABP=∠CAO，

∴P（1，0）．

如圖2所示：當點P在AB的上時．過點P作PE∥AO，過點B作BF∥AO，則PE∥BF．

∵BF∥AO，

∴∠BAO=∠FBA．

又∵∠CAO=∠ABP，

∴∠PBF=∠CAB．

又∵PE∥BF，

∴∠EPB=∠PBF，

∴∠EPB=∠CAB．

∴tan∠EPB=.

設BE=t，則PE=2t，P（-2t，2+t）．

將P（-2t，2+t）代入拋物線的解析式得：y=-x2-2x+2得：-9t2+6t+2=2+t，解得t=0（舍去）或t=．

∴P（-，）．

綜上所述，點P的坐標為P（1，0）或P（-，）．本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質、銳角三角函數的定義，用含t的式子表示點P的坐標是解題的關鍵．22、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）N點的坐標為（0，﹣1）；（4）D點坐標為（3，0）．【解析】試題分析：（1）根據題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；（2）證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可；（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進而得到OA=ON，即可求得點N的坐標；（4）根據正方形的性質及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．(1)四邊形ABMD為損矩形；(2)取BD中點H，連結MH，AH∵四邊形OABC，BDEF是正方形∴△ABD，△BDM都是直角三角形∴HA=BDHM=BD∴HA=HB=HM=HD=BD∴損矩形ABMD一定有外接圓(3)∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H∴MAD=MBD∵四邊形BDEF是正方形∴MBD=45°∴MAD=45°∴OAN=45°∵OA=1∴ON=1∴N點的坐標為（0，-1）(4)延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥軸于點Q設MG=，則四邊形APMQ為正方形∴PM=AQ=-1∴OG=MQ=-1∵△MBP≌△MDQ∴DQ=BP=CG=-2∴MN2ND2MD2∵四邊形DMGN為損矩形∴∴∴=2.5或=1(舍去)∴OD=3∴D點坐標為(3，0).考點：本題考查的是確定圓的條件，正方形的性質點評：解答本題的關鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質，23、（1）；（2）或.【分析】（1）利用零負指數冪法則計算以及利用特殊角的三角函數值計算即可；（2）利用因式分解法求出解即可．【詳解】（1）=；2）解：x2+3x—4=0解得或.本題考查實數的運算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．24、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）連結OD，如圖，欲證明DE是⊙O的切線，只需推知OD⊥DE即可；

（2）利用等面