專題07 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法（原卷版）-2025數學常考壓軸題上冊九年級湘教版

專題07相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“母子”模型(共邊角模型) 2類型二、“手拉手”模型(旋轉模型) 8類型三、“K”字模型（相似模型） 13壓軸能力測評（10題） 17解題知識必備模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結論：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋轉模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉相似變換，這個頂點稱為旋轉相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉相似三角形。手拉手相似模型條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解讀與圖示】K字型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形壓軸題型講練類型一、“母子”模型(共邊角模型)例題：（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在中，平分交于點D，．(1)求證：(2)若，，求的長．【變式訓練1】（23-24九年級上·上海·期中）如圖，在中，D是上的點，E是上一點，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【變式訓練2】（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，為等腰直角三角形，，點D、E在線段上，．(1)求證：；(2)若，求的值．【變式訓練3】（23-24八年級上·河南鄭州·階段練習）【閱讀】定義：如果一個三角形有兩個內角的差為，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．【理解】（1）①若，，則_______“準直角三角形”；（填“是”或“不是”）②已知是“準直角三角形”，且，，則的度數為________．【應用】（2）如圖1，在中，點D在上，連接．若，，，，試說明是“準直角三角形”．【提升】（3）如圖2，在中，，，，點P在AB的延長線上，連接．若是“準直角三角形”，且，直接寫出此時的長．類型二、“手拉手”模型(旋轉模型)例題：【發現問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數量關系是______．（2）將圖1中的繞點旋轉到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數量關系，并證明你的結論；②圖2中的度數是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數，線段、間的數量關系，并說明理由．【變式訓練1】（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

【變式訓練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）【問題呈現】（1）如圖1，和是兩個有公共頂點A的等邊三角形，連接，．求的值．【類比探究】（2）如圖2，和是兩個有公共頂點A的等腰直角三角形，，連接，．求證：．（3）如圖3，和是兩個有公共頂點A的直角三角形，，連接，．若能，請直接寫出此時與的數量關系．類型三、“K”字模型（相似模型）例題：（2024·內蒙古通遼·模擬預測）【感知】如圖1，在四邊形中，點P在邊上（不與A、B重合），，易證：（不要求證明）．【探究】如圖2，在四邊形中，點P在邊上（點P不與點A、B重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．【應用】如圖3，在中，，．點P在邊上（點P不與點A、B重合），連結，作，與邊交于點E．（3）當是等腰三角形時，直接寫出的長【變式訓練1】（23-24八年級下·山東東營·期末）（1）如圖①，在矩形中，E為AB邊上一點，連結過點E作交于點F．①求證：．②若，，E為AB的中點，求的長．（2）如圖②，在中，，，，為AB邊上一點（點不與點A、B重合），連結CE，過點E作交于點F，當為等腰三角形時，的長為多少？

壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24九年級下·湖南株洲·期末）如圖，在中，，，，，則的長為．2．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，是上一點．下列四個條件中：“①；②；③；④”，一定能滿足與相似的條件是．（只填序號）3．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，，，．將繞點逆時針旋轉，旋轉后的圖形是，點的對應點落在的中線AD的處，與相交于點，則．二、解答題4．（23-24八年級下·山東泰安·期末）如圖，是等邊三角形，D，B，C，E四點在同一條直線上，．(1)求證：；(2)若，，求的邊長．5．（23-24七年級下·山東·期末）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．(1)如圖1，在中，為角平分線，，，求證：為的完美分割線；(2)如圖2，中，，，是的完美分割線，且是以為底邊的等腰三角形，求和長；(3)在中，，是的完美分割線，且為等腰三角形，請直接寫出的度數為__________．6．（23-24九年級下·河北張家口·階段練習）在中，，，點為邊上一動點，且，交邊于點．探究：如圖1，若．

(1)當時，求的長；(2)當為等腰三角形時，求的長；(3)延伸：如圖2，若，為上一點，且．小東經過研究發現：“當點在邊上運動時，的長度不變，是個定值．”你認為小東的結論是否正確？如果正確，請求出這個定值；如果不正確，說明理由。7．（2024·湖北武漢·二模）如圖，在和中，，，．(1)如圖1，當時，連接，求證：；(2)如圖2，當時，交于點F，連接，求證：；(3)如圖3，當時，，D是的中點，將繞點A旋轉得到，，當B，，三點在同一條直線上時，直接寫出點C到直線的距離．8．（2024·四川廣元·中考真題）數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創造”的過程，更是培養動手能力，創新能力的一種手段．小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產生了如下問題，請同學們幫他解決．在中，點為邊上一點，連接．(1)初步探究如圖2，若，求證：；(2)嘗試應用如圖3，在（1）的條件下，若點為中點，，求的長；(3)創新提升如圖4，點為中點，連接，若，，，求的長．9．（2024·湖北恩施·二模）如圖，在中，，，點D、A、E都在直線l上，且，探究線段之間的數量關系．(1)特例發現先將問題特殊化．如圖1，當，時，求證：．(2)類比探究再探究一般情形，如圖2，當，時，探究線段之間的數量關系（用含有k的式子表示）．(3)拓展運用如圖3，當，時，做直線l，直線l，垂足分別為F、G．已知，，請直接寫出的長．10．（2024·遼寧沈陽·二模）如圖1，在中，∠B=90°，，，點，分別