冪函數（含答案）-2025年新高一數學暑假專項提升 （人教A版）

【02-暑假預習】第14講塞函數(含答案版)-2025年新高

一數學暑假銜接講練(人教A版)第14講幕函數

期內容導航一預習三步曲

第一步：學

教材精講精析、全方位預習

練習題講例教材習題學解題、快速掌握解題方法

5大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握

第三步：測

過關測穩提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

》知識點1幕函數的定義

一般地，形如y=x°(aGR)的函數稱為幕函數，其中x是自變量，a為常數.

當知識點25個常見幕函數的圖象與性質

23_—1

函數y=xy=xy=xy二戶y=x

定義域RRR{x|x20}{xxWO}

值域R{yy三0}R{yy20}{y|yWO}

非奇非偶

奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數

函數

在(一8,0)

在(一8,0)

在R上單調遞上單調遞減，在R上單調遞在(0,+°0)

單調性和(0,+°°)

增在(0,+°°)增上單調遞增

上單調遞減

上單調遞增

圖象

vOi234J

-1

~2

%-3

過定點（0,0）,（1,1）(1,1)

⑤知識點3一般塞函數的性質

1、所有的幕函數在（0,+00）上都有定義，并且圖象都過點（1,1）;

2、如果a>0,那么幕函數的圖象過原點，并且在區間［0,+8）上單調遞增；

3、如果a<0,那么幕函數的圖象在區間（0,+8）上單調遞減，在第一象限內，當x從左邊趨向于原點

時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于+8時，圖象在x軸上方無限接近x軸；

4、在（1,+8）上，隨塞指數的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸。

8練習題講典例

解題方法

由題意可知，兩個幕函數y=x與的圖象如圖，

X

憶一

V\0方

教材習題01

函數y=可以看作兩個幕函數

V-p定義域為（T,0）U（。,”），

y=x與>=工的差，請通過函數圖對于函數丁二

象討論這個函數的函數值符號的變當%時，^=^--<0,當x=_］時，

化情況和單調性.當九￡（—1,0）時，y=%_工>0,

y=x~—=0,

X

%￡（-8,0）時,函數y='是增函數；

X

當％￡（0,1）時,y=x--<0當元=1時，

X9

y=x~—=0,當無￡（1,+8）時，y=x-->0,

XX

%￡（0,+OQ）時,函數y二冗-4是增函數；

【答案】見解析

解題方法

y=4x［尤_0

解：如圖所示，令X，解得「一門或

y=—［y=o

I4

(x—16

jy=4'

即兩個函數的圖象交點為(0,0),(16,4),

開始y=4一路領先，但越來越慢；y=?勻速前

進；在x=16處兩者相等.

教材習題02

當x>16時，可得X>4A/7,即一直有而且

_X

比較>=?和,-工在［°，內)上增長的快慢.

前者與后者之比正越來越大，

4

所以y=9增長得更快.

4

【答案】見解析

解題方法

設幕函數“司=》、

由已知條件得

教材習題0314

f（8）=8a=16=8x2=8x85=8〉

設/(X)是幕函數,已知〃8)=16*求”9),

44

故，

“64).a=§=3

4

于是〃9）=9”

4

/（64）=643=256-

4,、

【答案】"9）=93，"64）=256

考點一判斷函數是否是塞函數

1.下列函數中，屬于累函數的是（）

A.y=(2x)2B.y-y/xC.y=--D.y=2x

X

2.下列函數是幕函數且是奇函數的是(

A.y=2xB.)=尤2

i

jCy=x~3D.y=x0

（多選題）3.下列關于募函數＞=犬的性質，描述正確的有（）

A.當〃=-1時，函數在其定義域上為減函數B.當。=0時，函數y=/不是哥函數

C.當1=2時，函數是偶函數D.當，=3時，函數與龍軸有且只有一個交點

（多選題）4.已知函數/（x）=岳，命題P：3xeN,〃x）=x,則鎮牛的有（）

A.“X）為幕函數B./（2，）=2的

C.P是真命題D.。的否定是VxeN,=x

考點二求暴函數的定義域、值域和對應法則

（多選題）1.下列關于幕函數y=x"的性質，描述正確的有（）

A.當a=-l時，函數在其定義域上為減函數B.當a=0時，函數y=x"不是募函數

C.當。=2時，函數是偶函數D.當。=3時，函數與x軸有且只有一個交點

（多選題）2,已知函數〃x）=V^,命題P：HxeN,f[x）=x,則皆毛的有（）

A.“X）為幕函數B.f（Y）=r+'

C.P是真命題D."的否定是VxeN,/（x）=x

3.已知幕函數y=/（x）的圖像經過點

（1）求此幕函數的表達式和定義域；

（2）若〃a+l）Wf（4—2a）,求實數。的取值范圍.

4.已知幕函數〃尤）=（3療—2帆產的定義域不為R.

⑴求〃尤）的解析式；

⑵若不等式/（。+1）+/（2。-3）＜0恒成立，求a的取值范圍.

5.已知函數/（尤）=廿一2,且了（4）—15/（2）=16.

⑴求的解析式;

⑵求函數g（x）=/（2x）-4爐+3在［-1,2］上的值域.

考點三寨函數圖象的判斷及應用

1.已知幕函數〃尤）=（/的圖象與坐標軸無公共點，則，”=（）

A.-2B.1C.—2或1D.—1或2

2.如圖所示的曲線是基函數＞=尤”在第一象限的圖象，已知w取±2,土;四個值，則相對應的曲線

3.函數了=|尤］；的圖象大致為（）

4.累函數y=一及直線y=l,x=l將平面直角坐標系的第一象限分成八個“卦限”：①，②,

⑤，⑥，⑦，⑧（如圖所示）.那么幕函數丫=%的圖象經過的“卦限”是（）

A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤

5.若直線>=《0<t<l)與幕函數〉=尤3,,=?,2=：的圖象依次交于不同的三點4,民(7,則下列說法正

確的是()

A.\AB\=--^/tB.忸C|=舫

C.\AC\=--t-D.以上說法都不正確

考點四基函數的單調性

1.下列函數中，既是奇函數又在(0,+8)單調遞增的是()

A.丁=尤3B.y=|x|+l

C.y=—元2+1D.>=2*

2.下列函數既是偶函數，又在(-j0)上單調遞減的函數是()

A89

A.y=x4B.y=—C.y=-2x2+1D.y=7x

x

3.已知/(尤)=(尤一4,g(x)=I,〃⑺=|北；弁

若/2(X)N1恒成立，則。的取值范圍是

()

A.[0,1]B.[-1,0]C.[L+8)D.,

4.已知函數=若對于任意轉1,/(|x-a|)>/f-l則實數a的取值范圍是()

III,>Vy5IXJ

A.(-00,1)B.(-l,+oo)C.D.

i

5.函數〃x)=(尤2_2x-3)5的單調遞減區間為()

A.(-°o,—1]B.(0,1]C.[l,+8)D.[3,+00)

6.6知函數=則()

A./(x)的最大值為挺B.f(x)的最大值為1

C./(x)的最小值為1D./(x)的最小值為0

考點五事函數的奇偶性

1.已知幕函數〃尤)=(療-3m+3)/是R上的偶函數，且函數8("=〃耳-2依在區間[1,3]上單調遞

減，則實數。的取值范圍是()

A.[3,+<x>)B.(-co,l]C.D.(-oo,l]u[3,+(?)

2.若幕函數〃x)=(療-機-5卜”的圖象關于原點對稱，則實數加的值為()

A.-2B.2C.-3D.3

3.已知函數/'（》）=（療-3利-3）/是幕函數，且“X）是奇函數，則機=.

4.已知募函數〃元）=（2療—9帆+5）/是偶函數.

⑴求”尤）的解析式；

⑵設g（x）是定義在R上的奇函數，當*20時，g（x）=-J麗+2無，求函數g（x）的解析式.

5.已知幕函數y=x329（〃zeN*）的圖象關于>軸對稱，且在（0,+8）上單調遞減，求滿足

（a+3p<（5-2ap的a的取值范圍.

ES知識導圖記憶

幕函數的定義形如）口.『的函數

幕函數的概念d系數為1

幕函數的特征產的底數X是自變量

\

的指數"是常數

五個具體幕函數的圖象J'?=.,y=.,y=%T,產一

幕函數的圖象與性質/五個具體幕函數的性質

一般幕函數的性質

鬲函數

當"<0時，代表函數尸L

作幕函數圖像的步驟

三個代表當0<°<1時，代表函數,.=v

當。>1時，代表函數「=.\2

利用幕函數解不等式的步驟

0知識目標復核

1.募函數的定義

2.五種常見募函數的圖象與性質

3.易函數恒過定點

1

1.函數/(x)=E7的單調遞減區間為（)

A.(-8,0)B.(10,-Fw)C.（5.10）D.(5,+oo)

|\b=j,c=23,

2.已知4=II則（)

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

已知函數〃元）=2尤+一二對稱中心在直線y=ar+Ma>0）上，則”的最小值為（）

3.

X—1

A.4^-4B.473+4C.2A/6-4D.2#+4

4.a>0”是，函數=在區間（0,+力上單調遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4

5.函數>=/的圖象是（）

6.)

B.

7.設幕函數的圖象經過點（4,2）.若。則下列關系正確的是（）

A.｛）＜"＞）B.。力0儂）＜小）

C.｛）＜"6）＜（）＜（]口.|卜山）＜毛卜〃6）

8.若函數〃x）=（蘇-是基函數，則實數加的值是（）

A.1或一2B.-1C.2D.—1或2

9.已知函數/（》）=1盧""2則不等式/（〃）2f（2a-l）的解集為（

)

lx—x,x＜0,

A.B.卜〃C.7,D.

a

8

_丫2IO"Y-[A/"/Y__1

"3,'一’在R上單調遞增，則實數。的取值范圍是（）

元’+1,尤2-1

A.B.[-1,0]C.[O,1JD.[-1,1]

11.已知函數/（*）=（疝-3加-3）/時1是幕函數，對任意的％,%?F,0）且x產%,滿足

^a,bER,a+b＜0,貝|/（a）+/（6）的值（）

再-x2

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷

二、多選題

12.已知〃尤）是定義在R上且不恒為0的圖象連續的函數，若/（x+y）+/（x-y）=2〃x）/（y）,

"1）=0,則（）

A./（0）=0B.〃尤）為偶函數

C.4是“X）的一個周期D.TW〃x）Wl

13.已知定義在R上的函數〃x）,g（x）滿足"3—x）=〃l+x）,g（2—x）+g（x）=2,

g[x+￡|="2x）+1,則下列結論正確的是（）

A./(6-x)=f(6+x)B.g(x+2)=g(x)

24

C./（6-x）+/（x）=0D.Z"⑴+g（祝=48

i=l

三、填空題

14.“點P(a⑼在幕函數/(X)=(7〃+2)/圖象上”的充要條件是.

15.若幕函數”x)=f,4e{-，-2,3}在(—e,—1)上是嚴格減函數，則后=.

16.已知幕函數/'(》)=(加-5加+5卜'I是R上的偶函數，且函數g(x)=〃x)-(24-6卜在區間[1,3]上單

調遞減，則實數。的取值范圍是.

17.已知ae{-若幕函數/(尤)=/是偶函數且在區間(0,+")上單調遞增，則￡=—.

18.已知幕函數/(X)=(2〃L3)/T,則〃-2)=—.

19.已知幕函數y=xM+2w+3(〃zeN*)的圖象關于y軸對稱，且在[0,+8)上單調遞增，則滿足

(2a+l)-m<的a的取值范圍是.

四、解答題

20.已知累函數/(x)=(加-3卜加(根eR)滿足/(2)</(3).

⑴求函數〃%)的解析式；

(2)若函數gM=[/(x)]2+kf(x),xe[1,9],且g(x)的最小值為0,求實數左

的值.第14講幕函數

州內容導航一預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

”「"洪教材習題學解題、快速掌握解題方法

5大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框W思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握

第三步：測

小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

知識點1幕函數的定義

一般地，形如y=x0（aGR）的函數稱為幕函數，其中x是自變量，a為常數.

⑤知識點25個常見幕函數的圖象與性質

j_

23_—1

函數y=xy=xy=xy=x2y=x

定義域RRR{x|x^0}{xxWO}

值域R{yy三0}R{yy10}{y|yWO}

非奇非偶

奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數

函數

在（一8,0）

在（一8,0）

在R上單調遞上單調遞減，在R上單調遞在（0,+°0）

單調性和（0,+8）

增在（0,+°°）增上單調遞增

上單調遞減

上單調遞增

%

圖象V

Oi234X

-1

-2

-3

過定點(0,0),(1,1)(1,1)

⑤知識點3一般幕函數的性質

5、所有的募函數在（0,+oo）上都有定義，并且圖象都過點（1,1）；

6、如果a>0,那么幕函數的圖象過原點，并且在區間［0,+8）上單調遞增；

7、如果a<0,那么幕函數的圖象在區間（0,+8）上單調遞減，在第一象限內，當x從左邊趨向于原點

時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于+8時，圖象在x軸上方無限接近x軸；

8、在（1,+8）上，隨幕指數的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸。

練習題講典

解題方法

由題意可知，兩個幕函數丁=》與>=’的圖象如圖，

y)

\Zi

/\0x

教材習題01

函數y=可以看作兩個募函數/I

X

1對于函數〉=*」，定義域為(YO,0)U(0，+°°)，

丁二%與丁=-的差，請通過函數圖X

X

當XW(-8,-1)時，y=x--<0,當X=_］時，

象討論這個函數的函數值符號的變X

化情況和單調性.11

y=x——=0,當xw(—1,0)時，y=%——>0,

X

%￡(-8,0)時函數y=X-'是增函數；

X

當xe(0,l)時,y=x--<0,當x=l時，

X

y=x--=Q,當％￡(l,+oo)時，y=%-—>0,

X%

%w(0,+oo)時,函數y=是增函數；

X

【答案】見解析

解題方法

b=&fx=0

解：如圖所示，令X，解得八或

y=-b=°

I4

卜=16

jy=4'

教材習題02

X

比較>=?和,-W在1°，”)上增長的快慢.即兩個函數的圖象交點為(0,0),(16,4),

開始y=4一路領先，但越來越慢；y=:勻速前

進；在x=16處兩者相等.

當x>16時，可得x>4?,即一直有而且

前者與后者之比正越來越大，

4

所以y=?增長得更快.

y

>X

4

X

1

O16"X

【答案】見解析

解題方法

設募函數〃x)=/.

由已知條件得

教材習題0314

/(8)=8a=16=8x2=8x85=8§.

設〃龍)是幕函數，已知"8)=16,求”9),

44

“64).故口=§，〃x)=J，

4

于是〃9)=9§，

4

/(64)=64i=256-

4,、

【答案】49)=93，"64)=256

考點一判斷函數是否是塞函數

1.下列函數中，屬于幕函數的是()

A.y=(2x)2B.y=\[xC.y=-■-D.y=2"

x

【答案】B

【詳解】形如y=x"(a為常數且aeR)為幕函數，要求底數為變量且系數為1,

對比選項僅有B：>=?=/符合要求.

故選：B.

2.下列函數是幕函數且是奇函數的是（）

A.y=2xB.y=x2

C.y=x^D.y=x°

【答案】C

【詳解】對于A,易知不是暴函數，錯誤；

對于B,易知其為偶函數，錯誤；

,1I

對于C,由解析式可知為幕函數；〃x）=x3=艱，定義域為（f,O）U（O,y）,

又==-：=-/（X）,奇函數，正確；

對于D,易知其為偶函數，錯誤；

故選：C

（多選題）3.下列關于幕函數丫=/的性質，描述正確的有（）

A.當a=-1時，函數在其定義域上為減函數B.當a=0時，函數y=x"不是塞函數

C.當。=2時，函數是偶函數D.當。=3時，函數與x軸有且只有一個交點

【答案】CD

【詳解】暴函數產工在（-叫。）和（0,+功上是減函數，但是在定義域上不單調，故A錯誤；當。=0時，函

X

數y=x"是幕函數，故3錯誤；y=V是偶函數，故C正確；當。=3時，函數為>當y=0時，只有

唯一解尤=0,故。正確.

（多選題）4.已知函數〃%）=岳，命題P：3XGN,/（X）=X,則第送的有（）

A.“X）為幕函數B.〃2，）=2，"

C.。是真命題D.。的否定是VxeN,〃x）=x

【答案】ABD

【詳解】對選項A：若為幕函數，則〃x）=x"（a為有理數），且系數為1,而〃*）=岳=0%，

??.〃尤）不是累函數，故A選項不正確；

對選項B：?."（x）=岳，f（2）=d2x2x=FW,故B選項不正確；

對選項C:1.-/（%）=42x,/./（2）=72x2=2,GN,/（x）=x,二。是真命題，故C選項正確；

對選項D:,命題P：3xeN,=的否定是:VxeN,了（尤）中，故口選項不正確；

故選：ABD

考點二求塞函數的定義域、值域和對應法則

（多選題）1.下列關于幕函數y=x"的性質，描述正確的有（）

A.當。=-1時，函數在其定義域上為減函數B.當。=0時，函數y=x"不是累函數

C.當。=2時，函數是偶函數D.當。=3時，函數與x軸有且只有一個交點

【答案】CD

【詳解】幕函數產工在（-叫。）和（。,+功上是減函數，但是在定義域上不單調，故A錯誤；當。=0時，函

X

數,=/是幕函數，故3錯誤；是偶函數，故C正確；當，=3時，函數為y=V,當y=o時，只有

唯一解X=0,故。正確.

（多選題）2.已知函數〃力=后，命題P：3xeN,f（x）=x,則鎮考的有（）

A.〃x）為尋函數B.〃2，）=2，"

C.P是真命題D."的否定是VxeN,f[x）=x

【答案】ABD

【詳解】對選項A：若“X）為幕函數，則〃x）=x"（a為有理數），且系數為1,而〃。=岳=缶5,

..?/（X）不是幕函數，故A選項不正確；

對選項B：?."（%）=岳，f（2A）=72x2'=72^2X+1,故B選項不正確；

對選項C:1.1/（%）=>/2x,/（2）=^2x2=2,GN,/（x）=x,二P是真命題，故C選項正確；

對選項D:?.?命題P：EXGN,=的否定是:VxeN,/⑺?,故D選項不正確；

故選：ABD

3.已知幕函數y=的圖像經過點

（1）求此幕函數的表達式和定義域；

⑵若/（a+l）W/（4-2a）,求實數。的取值范圍.

1,、

【答案】（1）〃X）=”，（0，+8）

（2）l<a<2

【詳解】（1）設〃力=二,則有16jg,解得=

故/（X）=fl,其定義域為（0,+8）；

（2）由/（%）=/,則“X）在（0,+向上單調遞減，

〃+1>0a>

故有<4一2〃〉0,即<。<2,即l<av2.

4+124-2。a>\

4.已知幕函數〃x）=（3療-2m*的定義域不為R.

⑴求〃尤)的解析式；

⑵若不等式/(。+1)+/(2。-3)<0恒成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴f(x)=或

【詳解】(1)由幕函數的定義可得3療-2m=1,解得機=1或加=-，

若加=1,則/(x)=x的定義域為R,不符合題意,

1_1京的定義域為(-8,。)口(0,+8),符合題意,

若加=一］,貝1］/(犬)=尤3

1

所以〃尤)的解析式為〃X)

y/x

(2)由⑴得，“X)的定義域(-8,0)5。,+力)關于原點對稱，且“-司=亡=-2=-〃司,

所以“X)為奇函數，

由〃。+1)+/(2。-3)<0可得〃。+1)<-〃2。-3)=〃3-2。),

因為/(x)在(-8,0)上遞減且恒負，在(0,+力)上遞減且恒正，

6Z+1>04+1<0

〃+1<0

所以3-2〃>0或<3-2〃<0或

3—2。>0'

。+1>3—2cl。+1〉3—2。

23

解得QV—1或

23)

所以a的取值范圍為(-。,-1)口352J-

5.已知函數/(x)=x*2,且〃4)—15〃2)=16.

⑴求/'(x)的解析式；

⑵求函數g(x)=〃2x)-4x2+3在［-1,2］上的值域.

【答案】⑴

11…

⑵了，243

【詳解】(1)因為〃4)一15〃2)=16,所以4”-2T5x2*2-16=0,

整理得(2吁2-16)3"-2+1)=0,即產2=16或2時2=-1(舍去)，

則加一2=4,故/(x)=、.

(2)由(1)可知，g(%)=16x4-4x2+3=16(x2)2-4x2+3=161j+2.

因為xe[-l,2],所以，￡e[0,4],所以I61x2-gj+?e?,243.

故g(x)在[-1,2]上的值域為243.

考點三幕函數圖象的判斷及應用

1.已知幕函數〃尤)=(/+〃2-1)/的圖象與坐標軸無公共點，則，”=()

A.-2B.1C.-2或1D.-1或2

【答案】A

【詳解】因為〃x)為募函數，所以蘇+利_1=1,

即加2+%_2=0,解得m=—2或機=1.

當機=-2時，〃x)=x-2=《，其定義域為{TXHO},圖象與坐標軸無公共點，符合題意；

當機=1時，/(x)=x,其圖象與坐標軸有公共點，不合題意.

綜上，m=-2.

故選：A.

2.如圖所示的曲線是幕函數＞=尤"在第一象限的圖象，已知a取±2,±3四個值，則相對應的曲線

￡,。2，。3，°4的"值依次為()

【答案】A

【詳解】