2026年新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 80.雙曲線漸近線的十二個考點

80.雙曲線漸近線的十二大常考結(jié)論一．基本原理1.焦點到漸近線的距離:到直線的距離為.2.已知漸近線方程設(shè)雙曲線方程，.3.雙曲線中，右焦點為，作垂直于漸近線，垂足為，則點在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且的坐標(biāo)為，且5.雙曲線上的點到兩漸近線的距離之積為定值.6.已知雙曲線方程為的右焦點為，過點且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點.情形1.如下圖.若.設(shè)，則坐標(biāo)均滿足①，②.又.則由，可得：.給②式乘再相減得：故.由情形2.如下圖.若.設(shè)，則故得：由于由進(jìn)一步，過雙曲線的右焦點且與漸近線垂直的直線分別交的兩條漸近線于兩點，則.（1）當(dāng)時，設(shè)，則，，，，.（2）當(dāng)時，設(shè)是直線與軸的交點，，則，，，，，，，.7.焦點到漸近線的距離與頂點到漸近線的距離之比等于雙曲線的離心率.8.圓，漸近線，準(zhǔn)線及圓四者交于點.關(guān)于點，有如下的性質(zhì)：（1）直線垂直于漸近線且，又，故是雙曲線的特征三角形；（2）直線與圓切于點.9.過雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點，作圓x2+y2＝a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P．若線段PF的中點為M，M在線段PT上，O為坐標(biāo)原點，則|OM|﹣|MT|＝b﹣a10.圓，漸近線，準(zhǔn)線及圓四者交于點點.結(jié)論11：已知雙曲線，若直線與雙曲線交于兩點，直線與兩漸近線分別交于兩點，則與中點重合.證明：設(shè)的坐標(biāo)分別為，直線，聯(lián)立：，同理可得：，故，則與中點重合.結(jié)論12：已知雙曲線，若直線與雙曲線交于兩點，直線與兩漸近線分別交于兩點，則（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）（1）為線段的三等分點的充要條件是兩點的橫坐標(biāo)之積為；（2）為線段的三等分點的充要條件是兩點的橫坐標(biāo)之積為.證明（1）由結(jié)論1知線段與線段的中點重合，則為線段的三等分點等價于，又，，則等價于，即，又，所以等價于，故為線段的三等分點的充要條件是兩點的橫坐標(biāo)之積為；（2）同理（1）得為線段的三等分點等價于，即，即，即，所以為線段的三等分點的充要條件是兩點的橫坐標(biāo)之積為二．典例分析例1.已知雙曲線:，以的右焦點為圓心且與的漸近線相切的圓的半徑是()A.B.C.D.解析：以的右焦點為圓心且與的浙近線相切的圓的半徑等于右焦點到漸近線的距離，選D.例2.雙曲線的漸近線與圓相切，則=()A.B.2C.3D.6解析：因為圓心恰為雙曲線的右焦點，所以r=b=，選A.例3.以雙曲線的右焦點為圓心,且與其漸近線相切的圓的方程()A. B.C. D.解析：因為圓心恰為雙曲線的右焦點，所以r=b=，選A.例4.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓:相切，且雙曲線的右焦點為圓的圓心，則該雙曲線的方程為()A.B.C.D.例5.已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為.解析：由相似成比例可得：.例6．過雙曲線的右焦點做一條漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的另一條漸近線交于點，若，則此雙曲線的離心率為________解析：滿足結(jié)論6情形1，即，故，則例7．已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點且垂直于的直線分別交，于兩點，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解析：滿足結(jié)論6情形2，即，.練習(xí)1．已知F是雙曲線的右焦點，過點F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于B，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．練習(xí)2．已知雙曲線C:，過右焦點F作C的一條漸近線的垂線l，垂足為點A，與C的另一條漸近線交于點B，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．練習(xí)3．已知雙曲線：的右焦點，過點作一條漸近線的垂線，垂足為M，若與另一條漸近線交于點N，且滿足，則該雙曲線的離心率為______.練習(xí)4．已知是雙曲線的右焦點,點A,B分別在其兩條漸近線上,且滿足(為坐標(biāo)原點),則該雙曲線的離心率為_______．答案：1．A2．C3．4．例8.（2019全國1卷）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．解析：如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．例9.（2019全國3卷）．雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．解析：由．，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，，故選A．例10.（2018全國1卷）．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A． B．3 C． D．4解析：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B.例11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若A為線段的中點，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3解析：由題意可知，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，當(dāng)兩個交點分別在第二和第三象限時不符合，A為線段的中點，當(dāng)交點在軸上方或軸下方時，根據(jù)對稱性結(jié)果是一樣的，選擇一種即可，如圖.根據(jù)雙曲線可得，，，兩條漸近線方程，，為的中點，，又A為線段BF1的中點，垂直平分，可設(shè)直線為①，直線為②，直線為③，由②③得，交點坐標(biāo)，點還在直線上，，可得，，所以雙曲線C的離心率，故選：B例12．（2022年乙卷）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（