2025屆陜西省西安市長安區高三第三次模擬考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市長安區2025屆高三第三次模擬考試數學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則的子集的個數為（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】因為，，所以，所以的子集個數為．故選：D．2.在復平面內，復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以復數對應的點為，因為復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，所以復數對應的點為，所以，故選：D.3.如圖，向量，，若，，，為線段AB的5等分點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點為，則也是，的中點，故，因此.故選：C.4.某學生的QQ密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數字共九個符號組成．該生在登錄QQ時，忘記了密碼的最后一位數字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數，則不超過兩次就輸對密碼的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設為“第次按對密碼”（），則事件“不超過2次就按對”可表示為，記“密碼的最后一位數字是奇數”為事件，由條件概率的性質可得..故選：C.5.定義“等方差數列”：如果一個數列的各項都是實數，且從第二項起，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，那么這個數列就叫做等方差數列，這個常數叫做該數列的公方差．已知各項均為正數的數列是等方差數列，且公方差為，，則數列的前33項的和為（）A.3 B.6 C.2 D.4【答案】A【解析】因為數列是等方差數列，且公方差為3，所以，又，所以，又數列的各項均為正數，所以，所以，，所以，，故選：A．6.已知曲線，，其中．點，，是曲線與依次相鄰的三個交點．若是等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為點，，是曲線與依次相鄰的三個交點，不妨設點為曲線與在軸上的交點，如圖所示，為的中點，連接,易知，,與軸平行，所以又因為是等腰直角三角形，所以，所以又因為在曲線上，所以，又因為所以：即所以.故選：D7.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側面展開圖是圓心角為的扇形，則當的值最大時，（）A.1 B.2C. D.【答案】D【解析】設圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因為在上遞減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當時，，則在單調遞增，當時，，則在單調遞減，故是的極大值點，也是最大值點．此時．故選：D8.函數的定義域為，為奇函數，且的圖像關于對稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為為奇函數，即，所以，函數的圖像關于點對稱，即，因為的圖像關于對稱，所以的圖像關于對稱，即，所以，，所以，即函數是周期為的周期函數，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因為曲線在處的切線斜率為，圖像關于對稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因為，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，至少有兩項是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分．）9.若，則下列結論正確的有（）A.B.數據的30%分位數為5C.數據的標準差為3D.若，隨機變量，則【答案】ACD【解析】對于A，令，則，故A正確，對于B,將其從小到大排列為，且，故30%分位數為第2個數1，B錯誤，對于C，分別為，則平均數為，故方差為，故標準差為3，C正確，對于D，，故，故D正確，故選：ACD10.已知曲線，則（）A.不是封閉圖形B.有4條對稱軸C.與坐標軸有4個交點D.與直線有4個交點【答案】ACD【解析對于A，因為，所以或，所以E是由單位圓M和實軸長為2，焦點為的等軸雙曲線構成，故A正確；對于B，由A項分析知，曲線E只關于軸，軸對稱，所以E只有兩條對稱軸，故B錯誤；對于C，由A項分析可知，曲線E與坐標軸的交點為，故C正確；對于D，因為C的一條漸近線方程為且，根據雙曲線的性質可知，直線與雙曲線有2個交點，又直線與圓M有2個交點，故直線與有4個交點，故D正確.故選：ACD.11.隨著時代與科技的發展，信號處理以各種方式被廣泛應用于醫學、聲學、密碼學、計算機科學、量子力學等領域，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數.已知某種信號的波形可以利用函數的圖象近似模擬，則（）A.是非奇非偶函數B.的值域為C.當時，關于x的方程在區間上所有不等實根的和為D.的圖象與的圖象恰有個交點【答案】BD【解析】對于A，由于，所以是偶函數，故A錯誤；對于B，當時，，故當時，是一個周期函數，其中一個周期為，故只需考察這個函數在內的情況.當時，.此時，故，當時，，此時，故，綜上可得時，的值域為，故B正確；對于C，作出在上的圖象，故當，時，由圖可知直線與的圖象有個交點，設這個交點的橫坐標分別為，，，，由圖可知，，和，分別關于直線，對稱，故，故C錯誤；對于D，當時，，由圖可知的圖象與的圖象在區間內恰有個交點，又為偶函數，故的圖象與的圖象恰有個交點，故D正確.故選：BD.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分．）12.已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量的坐標為，則______．【答案】【解析】由得，，因為向量在向量方向上的投影向量的坐標為，所以，即，所以，所以，故答案為：．13.已知拋物線，其中AC，BD是過拋物線焦點F的兩條互相垂直的弦，直線AC的傾斜角為，當時，如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”的面積為________．【答案】8【解析】由題意知，直線的傾斜角，則直線的方程為，聯立，消去可得：，解得，，，由拋物線的定義可得，，根據拋物線的對稱性結合是過拋物線焦點的兩條互相垂直的弦，可知，故，故“蝴蝶形圖案（陰影區域）”的面積為．故答案為：814.小明參加一項籃球投籃測試，測試規則如下：若出現連續兩次投籃命中，則通過測式；若出現連續兩次投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測試的概率為__________.【答案】【解析】設第一次投籃成功為事件B，通過測試為事件A，則，所以，所以，故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知分別為三個內角的對邊，向量，.（1）求；（2）若.求的面積.解：（1）因為，所以，所以，所以，所以，，即，又，故，即.（2），所以，，,又,即,,或（舍）,故.16.用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率.（1）若曲線與在處的曲率分別為，，比較，大小；（2）求正弦曲線（）曲率的平方的最大值.解：（1）由，，則，由，，則，所以；（2）由，，則，，令，則，故，設，則，在時，遞減，所以，最大值為1.17.如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成角的正切值為2，點滿足，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：連接交于點，連接，因為是菱形，所以，又因為為的中點，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：過作交于點，面面，面面面，所以面，因為面，所以面，又面，所以，所以為交點，為等邊三角形，所以H為的重心，設DH與AB交點為M，連接，則為二面角的平面角，因為，在中，解得，因為，所以，所以平面，以為原點，所在直線為軸建立如圖坐標系，則，，設平面的法向量為，則，即，令，可得：即，又，設平面和直線所成的角為，則，所以.18.對于二次曲線，我們有：若是曲線上的一點，則過點與曲線相切的直線方程為．已知橢圓，，動圓，點是與在第一象限的交點．（1）求橢圓的離心率；（2）過點作動圓的切線，經過橢圓的右焦點，求與滿足的關系式；（3）若，直線與，均相切，切點在上，切點在上，求的最大值．解：（1）在橢圓中，由，得，所以橢圓的離心率.（2）橢圓，由，解得，而，則，圓在處切線方程為，又過焦點，則，所以.（3）當時，橢圓，，設，橢圓在處切線為，圓在處切線為，由直線與均相切，得，即，由，得，解得，，當且僅當，即時取等號，即的最大值為，所以的最大值為.19.定義1：若數列滿足①，②，則稱為“兩點數列”；定義2：對于給定的數列，若數列滿足①，②，則稱為的“生成數列”.已知為“兩點數列”，為的“生成數列”.（1）若，求的前項和；（2）設為常數列，為等比數列，從充分性和必要性上判斷是的什么條件；（3）求的最大值，并寫出使得取到最大值的的一個通項公式.解：（1）依題意故因為，所以，當為奇數時，，當為偶數時，，即的奇數項，偶數項分別成等比數列.故當偶數時，當為奇數時，.綜上所述，（2）充分性：因為，所以，所以，又因為，所以是以1為首項，1為公比的等比數列，故是的充分條件.必要性：假設為等比數列，而不為常數列，則中存在等于0的項，設項數最小的等于0的項為，其中，所以，則等比數列的公比為.又，得等比數列的公比為，與式矛盾，所以假設不成立，所以當為等比數列時，為常數列，故是的必要條件.綜上，可知是的充要條件.（3）當時，，當時，，當時，，當時，.綜上所述，或或（上述四種情形每種中或1）.又由題意可知，所以，所以，故的最大值為，此時的通項公式可以是陜西省西安市長安區2025屆高三第三次模擬考試數學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則的子集的個數為（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】因為，，所以，所以的子集個數為．故選：D．2.在復平面內，復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以復數對應的點為，因為復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，所以復數對應的點為，所以，故選：D.3.如圖，向量，，若，，，為線段AB的5等分點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點為，則也是，的中點，故，因此.故選：C.4.某學生的QQ密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數字共九個符號組成．該生在登錄QQ時，忘記了密碼的最后一位數字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數，則不超過兩次就輸對密碼的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設為“第次按對密碼”（），則事件“不超過2次就按對”可表示為，記“密碼的最后一位數字是奇數”為事件，由條件概率的性質可得..故選：C.5.定義“等方差數列”：如果一個數列的各項都是實數，且從第二項起，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，那么這個數列就叫做等方差數列，這個常數叫做該數列的公方差．已知各項均為正數的數列是等方差數列，且公方差為，，則數列的前33項的和為（）A.3 B.6 C.2 D.4【答案】A【解析】因為數列是等方差數列，且公方差為3，所以，又，所以，又數列的各項均為正數，所以，所以，，所以，，故選：A．6.已知曲線，，其中．點，，是曲線與依次相鄰的三個交點．若是等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為點，，是曲線與依次相鄰的三個交點，不妨設點為曲線與在軸上的交點，如圖所示，為的中點，連接,易知，,與軸平行，所以又因為是等腰直角三角形，所以，所以又因為在曲線上，所以，又因為所以：即所以.故選：D7.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側面展開圖是圓心角為的扇形，則當的值最大時，（）A.1 B.2C. D.【答案】D【解析】設圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因為在上遞減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當時，，則在單調遞增，當時，，則在單調遞減，故是的極大值點，也是最大值點．此時．故選：D8.函數的定義域為，為奇函數，且的圖像關于對稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為為奇函數，即，所以，函數的圖像關于點對稱，即，因為的圖像關于對稱，所以的圖像關于對稱，即，所以，，所以，即函數是周期為的周期函數，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因為曲線在處的切線斜率為，圖像關于對稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因為，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，至少有兩項是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分．）9.若，則下列結論正確的有（）A.B.數據的30%分位數為5C.數據的標準差為3D.若，隨機變量，則【答案】ACD【解析】對于A，令，則，故A正確，對于B,將其從小到大排列為，且，故30%分位數為第2個數1，B錯誤，對于C，分別為，則平均數為，故方差為，故標準差為3，C正確，對于D，，故，故D正確，故選：ACD10.已知曲線，則（）A.不是封閉圖形B.有4條對稱軸C.與坐標軸有4個交點D.與直線有4個交點【答案】ACD【解析對于A，因為，所以或，所以E是由單位圓M和實軸長為2，焦點為的等軸雙曲線構成，故A正確；對于B，由A項分析知，曲線E只關于軸，軸對稱，所以E只有兩條對稱軸，故B錯誤；對于C，由A項分析可知，曲線E與坐標軸的交點為，故C正確；對于D，因為C的一條漸近線方程為且，根據雙曲線的性質可知，直線與雙曲線有2個交點，又直線與圓M有2個交點，故直線與有4個交點，故D正確.故選：ACD.11.隨著時代與科技的發展，信號處理以各種方式被廣泛應用于醫學、聲學、密碼學、計算機科學、量子力學等領域，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數.已知某種信號的波形可以利用函數的圖象近似模擬，則（）A.是非奇非偶函數B.的值域為C.當時，關于x的方程在區間上所有不等實根的和為D.的圖象與的圖象恰有個交點【答案】BD【解析】對于A，由于，所以是偶函數，故A錯誤；對于B，當時，，故當時，是一個周期函數，其中一個周期為，故只需考察這個函數在內的情況.當時，.此時，故，當時，，此時，故，綜上可得時，的值域為，故B正確；對于C，作出在上的圖象，故當，時，由圖可知直線與的圖象有個交點，設這個交點的橫坐標分別為，，，，由圖可知，，和，分別關于直線，對稱，故，故C錯誤；對于D，當時，，由圖可知的圖象與的圖象在區間內恰有個交點，又為偶函數，故的圖象與的圖象恰有個交點，故D正確.故選：BD.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分．）12.已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量的坐標為，則______．【答案】【解析】由得，，因為向量在向量方向上的投影向量的坐標為，所以，即，所以，所以，故答案為：．13.已知拋物線，其中AC，BD是過拋物線焦點F的兩條互相垂直的弦，直線AC的傾斜角為，當時，如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”的面積為________．【答案】8【解析】由題意知，直線的傾斜角，則直線的方程為，聯立，消去可得：，解得，，，由拋物線的定義可得，，根據拋物線的對稱性結合是過拋物線焦點的兩條互相垂直的弦，可知，故，故“蝴蝶形圖案（陰影區域）”的面積為．故答案為：814.小明參加一項籃球投籃測試，測試規則如下：若出現連續兩次投籃命中，則通過測式；若出現連續兩次投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測試的概率為__________.【答案】【解析】設第一次投籃成功為事件B，通過測試為事件A，則，所以，所以，故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知分別為三個內角的對邊，向量，.（1）求；（2）若.求的面積.解：（1）因為，所以，所以，所以，所以，，即，又，故，即.（2），所以，，,又,即,,或（舍）,故.16.用數學的眼光看世界就能發現很多數學之“美”.現代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率.（1）若曲線與在處的曲率分別為，，比較，大小；（2）求正弦曲線（）曲率的平方的最大值.解：（1）由，，則，由，，則，所以；（2）由，，則，，令，則，故，設，則，在時，遞減，所以，最大值為1.17.如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成角的正切值為2，點滿足，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：連接交于點，連接，因為是菱形，所以，又因為為的中點，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：過作交于點，面面，面面面，所以面，因為面，所以面，又面，所以，所以為交點，為等邊三角形，所以H為的重心，設DH與AB交點為M，連接