《利用函數性質判定方程解的存在性》教學設計一

2/2《利用函數性質判定方程解的存在性》教學設計一教學設計一、問題導入判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？（1）；（2）.問題：對于第（1）個方程，大家都習慣性地用代數的方法去解決，對于第（2）個方程，我們不會解怎么辦？你是如何思考的？有什么想法？設計意圖：復習方程的根，為引出函數零點的概念做準備.二、新知探究教師出示函數的圖象（如下圖），讓學生觀察圖象，用屏幕顯示表格（如下表），讓學生求出的實數根，并觀察函數圖象與x軸的交點坐標，得到方程的實數根與對應的函數圖象與x軸交點的橫坐標的對應關系，函數的零點：使得的數稱為方程的解，也稱為函數的零點.函數的零點就是函數的圖象與x軸交點的橫坐標.結合函數零點的定義和剛才的探究過程，你認為方程的根與函數的零點究竟是什么關系？對于函數有零點，從“數”的角度理解，就是方程有實根；從“形”的角度理解，就是圖象與x軸有交點從剛才的探究過程中我們知道，方程有實根和對應的函數圖象與x軸有交點也是等價的關系所以函數零點實際上是方程有實根和對應的函數圖象與x軸有交點的一個統一體，如下圖所示.觀察二次函數的圖象，我們發現函數在區間上有零點.計算與的乘積，發現這個乘積的特點是小于零.在區間（0，4）上同樣如此，可以發現，因此可得以下結論：零點存在定理：若函數在閉區間上的圖象是一條連續的曲線，并且在區間端點的函數值一正一負，即，則在開區間內，函數至少有一個零點，即在區間內相應的方程至少有一個解.思考與交流：（1）定理中，函數在閉區間上的圖象是連續曲線，這里為什么是閉區間，能否改成開區間？（2）定理中，，則在區間內，函數至少有一個零點；如果，是不是函數在開區間內一定沒有零點？（3）定理中，滿足給出的條件，則在開區間內，函數至少有一個零點，你能否再給定理加上一個條件，讓函數在區間內有且只有一個零點學生深入思考與交流，得出結論.教師引導學生通過畫圖思考.（1）如圖.（2）如圖.（3）加上條件“在內單調”.學以致用：觀察下面的四個函數圖象，指出在區間-∞,0內，方程哪個有解，并說明理由.設計意圖：由特殊函數歸納抽象出一般的定理，體現了由特殊到一般的數學思想方法通過思考與交流，讓學生加深對定理的理解和認識，避免在應用中出現錯誤.三、例題講解例1方程在區間內有沒有解？為什么？活動：學生回想判斷函數零點的方法：解方程法和定理法由于本題中方程無法解，故用定理法，判斷是否成立.解：設函數，在區間上有.又因為函數的圖象是一條連續曲線，所以由零點存在定理可知方程在區間內有解，即在區間內有解，故方程在區間內有解.點評：本題主要考查函數零點的概念及其判斷方法.當無法解方程時，通常用定理法判斷函數零點的存在性.設計意圖：讓學生學會解決這類問題的方法，判斷一個方程在一個給定的區間上是否有解，先看這個方程能不能解，如果可以解，解出方程便可知道方程解的個數；如果不能解，考慮用零點存在定理判定.例2判定方程有兩個不相等的實數根，且一個根大于5，另一個根小于2.分析：轉化為判斷函數在和內各有一個零點.解：設函數，顯然有，.畫出函數的圖象（如圖），觀察得，.在區間[1，2]和[5，6]內分別應用零點存在定理，可知在區間（1，2）和（5，6）內，這個一元二次方程各有一個實數根（如圖）.所以方程有兩個不相等的實數根，且一個根大于5，另一個根小于2.設計意圖：討論方程的解的個數問題是函數零點的重要應用.由于函數與方程的特殊關系，所以這個問題常用的方法是：（1）解方程；（2）畫與方程對應的函數的圖象；（3）利用及函數的單調性同時，這些方法之間是相互聯系的.四、課堂小結引導學生從以下幾個方面進行歸納總結：（1）零點的概念.（2）零點存在的判斷方法.（3）利用函數的單調性證明零點的個數.（4）函數零點的應用.（5）數學思想：轉化思想數形結合思想.五、布置作業教材第130頁練習第2，3題.板書設計1.1利用函數性質判定方程解的存在性問題導入二、新知探究1.函數的零點的定義使得的數稱為方程的解，也稱為函數的零點2.零點存在定理若函數在閉區間上的圖象是一條連續的曲線，并且在區間端點的函數值一正一負，即，則在開區間內，函數至少有一個零點，即在區間內相應的方程至少有一個解例題講解例1例2四、課堂小結五、布置作業教學研討本案例從初中學生學習的方程出發，讓學生意識到數學知識的發展過程.在課堂上采用問題式教學，引導學