第十三章 立體幾何初步（知識歸納題型突破）

第十三章立體幾何初步（知識歸納+題型突破）

示要求

1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結構特征，并能識別和作圖.

2.理解棱錐、棱臺的定義，知道棱錐、棱臺的結構特征，并能識別和作圖.

3.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義，知道這四種幾何體的結構特征，能夠識別和區分這些幾何體.

4.會根據旋轉體的幾何體特征進行相關運算.

5.會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.

6.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖.

7.會根據斜二測畫法規則進行相關運算.

8.了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面.

9.能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關系.

1。.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實和三個推論，理解三個基本事實和三個推論的作用.

H.了解空間兩條直線間的位置關系，理解異面直線的定義.

12.理解并掌握基本事實4和“等角”定理，并能解決有關問題.

13.會用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會在三角形中求簡單的異面直線所成

的角.

14.理解直線與平面平行的定義,會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述直線與平面平行的判定定理，

會用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關系.

15.理解并能證明直線與平面平行的性質定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質定理解決有

關的平行問題.

16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性.

17.掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關線面垂直的問題.

18.了解直線和平面所成的角的含義，并會求直線與平面所成的角.

19.理解點到平面的距離、直線到平面的距離的概念.

20.理解直線和平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，能應用線面垂直的性質定

理解決有關的垂直問題.

21.了解兩個平面的位置關系.

22.理解平面與平面平行的定義,會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述平面與平面平行的判定定理，

會用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關系.

23.理解并能證明平面與平面平行的性質定理，能利用平面與平面平行的性質定理解決有關的平行問題.

24.T解兩個平行平面間的距離.

25.理解二面角的有關概念，會求簡單的二面角的大小.

26.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理.

27.理解平面和平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，能應用面面垂直的性質定理

解決有關的垂直問題.

28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面展開圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積的求法，并理解它

們之間的關系.

29.了解圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖，掌握圓柱、圓錐、圓臺的側面積的求法，并理解它們之間的關系.

30.能利用柱體、錐體、臺體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺體的體積之間的關系.

31.掌握球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積.

32.會利用分割、補形求組合體的表面積和體積.

基礎知識歸納

1.棱柱、棱錐、棱臺的結構特征

結構特征及分類圖形及記法

結構特(1)兩個底面是全等的多邊形,且對應邊互相E'D'

征平彳工⑵側面都是平行四邊形

側面i::)底面

側棱/；一一口/

棱E

柱按底面多邊形的邊數分為三棱柱、四棱

分類A頂點

柱……記作棱柱

ABCDEF-

ABCDEF

結構特(1)底面是多邊形N頂點

征側面是有一個公共頂點的三角形

(2)側)棱/側面

棱

錐按底面多邊形的邊數分為三棱錐、四棱

分類

錐……4B

記作

棱錐S-ABCD

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截朵

結構特面和底面之間的部分稱之為棱臺4或普片上底面

征(1)上下底面互相平行，且是相似圖形側面/窈*側棱

棱臺(2)各側棱延長線相交于一點

入(\/今底面

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺頂點

分類

分別為三棱臺、四棱臺、五棱臺……記作棱臺

ABCD?A'B'C'D

2.棱柱、棱錐、棱臺的關系

在運動變化的觀點下，棱柱、整整棱臺之間的關系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例).

FvH上底面變小JR上底面縮小為一個點/k

［一一一」工底面擴高(一一一一)頂點拓展為與下底/\

7/與下底面全等7/面平行，相似但不

全等的面

三樓柱三棱臺三棱錐

3.多面體

由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體.

4.圓柱、圓錐、圓臺、球

分類定義圖形及表示表示

%軸

將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉一母一

圓柱/一側面圓柱00'

周，形成的空間圖形叫作圓柱線

4匕gL底面

將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直4

圓錐圓錐so

線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓錐

將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的

圓臺A圓臺00'

直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓臺

生圓繞著它的直徑所在直線旋轉一周所形

球成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形球。

叫作球體，簡稱球0k：

5.旋轉體

一般地，一條平面曲線繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面，封閉的旋轉面圍成的

空間圖形稱為旋轉體.圓柱、圓錐、圓臺和球都是特殊的旋轉體.

母線/

圓錐面

6.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于。點.畫直觀圖時把它們畫成對應的V軸與V

軸，兩軸交于點。'，并使/尤W=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.

(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于反軸或國的線段.

(3)長度規則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段，長度為原

來的一半.

7.空間幾何體直觀圖的畫法

(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應的是，軸.

(2)直觀圖中平面voy表示水平平面，平面歹0勿和V。勿表示豎直平面.

(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.

(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

8.平面

(1)平面的概念

平面是從現實世界中抽象出來的幾何概念.平面通常用平行四邊形來表示,當平面水平放置的時候，一般

用水平放置颯正方域的直觀圖作為平面的直觀圖.

(2)平面的表示法

平ffi通常用希臘字母a,p,y,…表示，也可以用平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示；如圖的平面可

表示為平面a、平面ABCD、平面AC或平面BD.

DC

9.幾何里的平面的特點

⑴平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量.

(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的.

10.點、線、面之間的關系

位置關系符號表示

點P在直線AB上P^AB

點C不在直線AB上C^AB

點M在平面AC內A/e平面AC

點4不在平面AC內40平面AC

直線AB與直線BC交于點BABHBC=B

直線AB在平面AC內A8u平面AC

直線AAi不在平面AC內44雙平面AC

◎微思考)

11.平面的基本事實

基本事實文字語言圖形語言符號語言作用

過不在一條直線①確定平面的依

基本

上的三個點，直平面ABC據

事實1

且只有一個平面Z./②判定點線共面

如果一條直線上

①確定直線在平

的兩個點在一個

基本面內的依據

平面內，那么這

事實2②判定點在平面

條直線在這個壬/

內

面由

如果兩個不重合

①判定兩平面相

的平面有一個公

基本pea且pep今a交的依據

共點，那么它們

事實3np=/,且pe/②判定點在直線

有且只有一條過

上

該點的公共直線

基本事實1：確定平面的依據；

基本事實2：判定直線在平面內的依據；

基本事實3：判定兩個平面相交的依據.

12.基本事實的推論

推論1：經過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面.

圖形語言表述：如圖所示.

推論2：經過兩條相交直線,有且只有一個平面.

圖形語言表述：如圖所示.

推論3：經過兩條平行直線,有且只有一個平面.

圖形語言表述：如圖所示.

13.空間直線的位置關系

(1)異面直線

定義：把不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線.

(2)空間兩條直線的位置關系

位置關系共面情況公共點個數

相交直線在同一平面內有且只有一個

平行直線在同一平面也沒有

異面直線不同在任何一個平面內沒有

14.平行直線

(1)基本事實4

文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質叫作空間平行線的傳遞性.

a//b]

符號表示：r0aHc.

b//c\------

(2)"等角"定理

如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.

15.異面直線所成的角

(1)定理：過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是異面直線.

(2)異面直線所成的角

定義：。與6是異面直線，經過空間任意一點O,作直線"〃a,b'//b,我們把直線〃和，所成的銳角(或

直角)叫作異面直線6所成的角(或夾角).

范圍：設。為異面直線a與方所成的角，則0。＜。?90。.特別地，當。=鱉時，。與。互相垂直，記作

b.

異面直線所成角的范圍是0。＜6?忘90。，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直.

16.直線與平面平行的判定定理

文字語言如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平

面平行

符號語言bua,且「〃/?=〃〃a

-------a

圖形語言/a--b/

17.直線與平面平行的性質定理

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直

文字語言

線與交線乎彳工

符號語言a//a,qu￡,aCB=b0a//b

t---X

圖形語言

/b/

(1)線面平行的性質定理成立的條件有三個

①直線a與平面a平行，即a〃a；

②平面a,尸相交于一條直線，即aC4=6；

③直線a在平面「內，即。點.

以上三個條件缺一不可.

⑵定理的作用

①線面平行今線線平行；

②畫一條直線與已知直線平行.

(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行,

這給出了一種作平行線的方法，體現了數學中的轉化與化歸的思想.

18.直線與平面垂直

定義如果直線a與平面a內的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面a垂直

記法

有關直線a叫作平面a的垂線,平面a叫作直線a的垂面,垂線和平面的交點稱

概念為垂足

A

a

圖示及

畫法/B/

畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.

(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數條直線

19.直線與平面垂直的判定定理

如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平

文字語言

面垂直

圖形語言Z

符號語言

a_Lmf〃_L〃,mua,nua,mC\n=A=>a-La

20.直線與平面垂直的性質定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線里在

q_La|

符號語言f=>a//b

b-La\

ab

圖形語言

①線面垂直今線線平行

作用

②作平行線

21.從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離.一條直線和一

個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離.

22.直線與平面所成的角

(1)定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線，斜線與平面的

交點叫作斜足,斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段.

如圖所示，過平面外一點P向平面a引斜線和垂線，那么過斜足。和垂足尸1的直線就是斜線在平面內的

射影.平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的銳魚，叫作這條直線與這個平面所成的角.

(2)規定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內，

那么稱它們所成的角是0°角.

(3)范圍：直線與平面所成角。的范圍是0。忘。忘90。.

23.兩個平面的位置關系

位置關系兩平面平行兩平面相交

公共點沒有公共點有一條公共直線

符號表示a//13aC\/3=l

圖形表示口

A__/4y”

24.兩個平面平行的判定定理

文字語言如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行

符號語言qua,b^a?_aAb=Ab//_^=>a//P

Zasy

圖形語言

A/

(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內的“兩條相交直線”是必不可少的.

(2)面面平行的判定定理充分體現了等價轉化思想，即把面面平行轉化為線面平行.

25.兩個平面平行的性質定理

文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線乎衽

符號語言a//P，aC\y=a,.=?=>〃〃b

圖形語言

26.公垂線、公垂線段

與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線,它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這

兩個平行平面的公垂線段;我們把公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的至離.

27.二面角

(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發的西仝生生面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面

角的棱，每個半平面叫作二面角的面.

⑵圖形和記法

圖形：

記作：二面角a-AB-13.

28.二面角的平面角

(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成

的角叫作二面角的平面角.

⑵圖形、符號及范圍

圖形：

I

符號：OA±l,08_L/n/A0B是二面角a-//的平面角.

范圍：0OWNAOBW180。.平面角是直色的二面角叫作直二面角.

29.平面與平面垂直

(1)定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角,那么就說這兩個平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一個平面過另一個平面的垂1邛

線，那么這兩個平面垂直7

Zlua

30.平面與平面垂直的性質定理

兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線,

文字語言

那么這條直線與另一個平面垂直

aC0=l

符號語言

aua

a.Ll>

圖形語言□

①面面垂直n線面垂直

作用

②作面的垂線

31.直棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積

(1)有關概念：

側棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱.特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的側棱長就是

直棱柱的高.

如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面中心,那么稱這樣的棱錐為正棱錐.正棱

錐的側棱長都相等，側面均為全等的等腰三角形.

正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺.正棱臺的側棱長都相等,側面均為

全等的等腰梯形.

(2)公式：S直棱柱惻=改(。為直棱柱的底面周長，川為直棱柱的高)

S正棱鏈惻=3c〃(c為正棱錐的底面周長，〃為斜高)

S正棱臺惻=；(c+c')h'(c,d分別為正棱臺的上下底面周長，〃為斜高)

32.直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積之間的關系

S正檢m?（=5（c+c'）/i'

1(:，=0>[5正/卷傅=三-<：/?，

z

圓柱側=c/=2TTr4<^c=c|s圓臺側=/(c+c')，'=ir(r+r')1

1。'=0)15圓錐側=/以="〃)

35.體積公式

(1)柱體：柱體的底面面積為S,高為h,則丫=題.

(2)錐體：錐體的底面面積為S,高為h,則V=^_Sh.

(3)臺體：臺體的上、下底面面積分別為s、s,高為h,則(S'+、度+s)〃.

36.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系

1,__S'=01

V^#=Sh——?V行休=1(S'+小取+S)h——?Sh.

37.球的表面積和體積公式

4

設球的半徑為R,則球的表面積S=4TTR2；球的體積17=壬這.

對球的體積和表面律的幾點認識

⑴從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關，給定R都有唯一確定的S和V與之對應，故

表面積和體積是關于R的函數.

(2)由于球的表面不能展開成平面，所以球的表面積公式的推導與前面所學的多面體與旋轉體的表面積公式

的推導方法是不一樣的.

(3)球的表面積恰好是球的大圓(過球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍.

重要題型

題型一棱柱的結構特征

【例1】(1)下列命題中正確的是()

A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面

C.棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形

(2)下列關于棱柱的說法：

①所有的面都是平行四邊形；

②每一個面都不會是三角形；

③兩底面平行，并且各側棱也平行；

④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確的序號是.

【解析】(1)由棱柱的定義可知，選D.

(2)①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；

②錯誤，棱柱的底面可以是三角形；

③正確，由棱柱的定義易知正確；

④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以正確說法的序號是③④.

【答案】(1)D⑵③④

思維升華

棱柱結構特征的辨析技巧

(1)扣定義：判定一個幾何體是否是棱柱的關鍵是棱柱的定義.①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個

互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.

(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除.

鞏固訓練

1.如圖所示的三棱柱ABC-AiSG，其中E,F,G,X是三棱柱對應邊上的中點，過此四點作截面跖GH

把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請

說明理由.

【解析】截面以上的幾何體是三棱柱AEFAiHG,截面以下的幾何體是四棱柱BEFC-BiHGCi.

題型二棱錐、棱臺的結構特征

【例2】下列關于棱錐、棱臺的說法：

①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；

②棱臺的側面一定不會是平行四邊形；

③棱錐的側面只能是三角形；

④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確的序號是.

【解析】①錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱

臺.

②正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形.

③正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形.

④正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.

⑤錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

所以正確說法的序號為②③④.

【答案】②③④

思維升華

判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法

(1)舉反例法

結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.

(2)直接法

棱錐棱臺

定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面

看側棱相交于一點延長后相交于一點

鞏固訓練

1.如圖，在三棱臺4BC-A8C中，截去三棱錐4-ABC,則剩余部分是()

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺

【解析】選B.由題意知，在三棱臺4BC-A8C中，截去三棱錐4-ABC,剩下的部分如圖所示，故剩余

部分是四棱錐4-88'C'C.故選B.

2.（多選）下列說法中，正確的是（）

A.棱錐的各個側面都是三角形

B.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐

C.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面

D.棱錐的各側棱長相等

【解析】選AC.由棱錐的定義知，棱錐的各側面都是三角形，故A正確；有一個面是多邊形，其余各面

都是三角形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故B錯；四面體就是由4

個三角形所圍成的封閉幾何體，因此以四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故C正確；棱錐

的側棱長可以相等，也可以不相等，故D錯.

題型三旋轉體的結構特征

【例3】（多選）下列說法正確的是（）

A.圓柱的底面是圓面

B.經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面

C.圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交

D.夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體

【解析】A正確，圓柱的底面是圓面；B正確，如圖所示，經過圓柱任意兩條母線的截面是一■個矩形面；

C不正確，圓臺的母線延長相交于一點；D不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉

體.

【答案】AB

思維升華

（1）判斷簡單旋轉體結構特征的方法

①明確由哪個平面圖形旋轉而成；

②明確旋轉軸是哪條直線.

（2）簡單旋轉體的軸截面及其應用

①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量；

②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想.

鞏固訓練

1.給出以下說法：

①球的半徑是球面上任意一點與球心所連線段的長；

②球的直徑是球面上任意兩點間所連線段的長；

③用一個平面截一個球，得到的截面可以是一個正方形；

④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形.

其中正確的序號是.

【解析】根據球的定義知，①正確；②不正確，因為球的直徑必過球心；③不正確，因為球的任何截面都

是圓面；④正確.

【答案】①④

題型四簡單組合體的結構特征

【例4】如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉而形成的（）

ABCD

【解析】該幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成，故應選A.

【答案】A

思維升華

不規則平面圖形旋轉形成幾何體的結構特征的分析策略

⑴分割：首先要對原平面圖形適當分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本

圖形.

(2)定形：然后結合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析.

鞏固訓練

1.若將如圖所示的平面圖形旋轉一周，試說出它形成的幾何體的結構特征.

【解析】①是直角三角形，旋轉后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉后形成圓臺；③是矩形，旋轉后形成圓

柱，所以旋轉后形成的幾何體如圖所示.通過觀察可知，該幾何體是由一■個圓錐、一■個圓臺和一■個圓柱自

上而下拼接而成的.

2.已知AB是直角梯形A3C。中與底邊垂直的腰，如圖所示，分別以AB,BC,CD,所在的直線為軸旋

轉，試說明所得幾何體的結構特征.

【解析】(1)以42邊所在的直線為軸旋轉所得旋轉體是圓臺，如圖①所示.

(2)以8C邊所在的直線為軸旋轉所得旋轉體是一個組合體：下部為圓柱，上部為圓錐，如圖②所示.

(3)以CD邊所在的直線為軸旋轉所得旋轉體為一個組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐,

如圖③所示.

(4)以AD邊所在的直線為軸旋轉所得旋轉體是一個組合體：一個圓柱上部挖去一個圓錐，如圖④所示.

①②

題型五旋轉體中的計算問題

【例5】如圖所示，用一個平行于圓錐S。底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1：16,

截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺。。的母線長.

【解析】設圓臺的母線長為/cm,由截得的圓臺上、下底面面積之比為1：16,可設

S

截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為rem,4rcm.過軸SO作截面，如圖所示,

則△SO'A's/\sOA,SA'=3cm.

解得/=9,即圓臺的母線長為9cm.

思維升華

解決旋轉體中計算問題的解法

用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質（與底面全等或相似），同時結合旋轉

體中的軸截面（經過旋轉軸的截面）的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，列出相關幾何變量的方程（組）

而解得.

［注意］在研究與截面有關的問題時，要注意截面與物體的相對位置的變化.由于相對位置的改變，截面

的形狀也會隨之發生變化.

鞏固訓練

1.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別是1cm,2cm,截得圓臺的圓錐的母線長為12cm,則圓臺的母

線長為.

【解析】如圖是圓臺的軸截面，由題意知AO=2cm,40=1cm,SA=12cm.

A'Q'VA'A'Q'|

由7萬，得SA'=777X12=6（cm）.所以SA'=12—6=6（cm）.所以圓臺的母線長為

/iCzo/l/iCzZ

【答案】6cm

2.某地球儀上北緯30。緯線圈的長度為12兀cm,如圖所示，則該地球儀的半徑是一

【解析】如圖所示，由題意知，北緯30。所在小圓的周長為12兀cm,則該小圓的半徑r=6cm,其中/AB。

=30°,所以該地球儀的半徑R=/忘心=4、/5(cm).

【答案】4小

題型六畫水平放置的平面圖形的直觀圖

【例6】畫水平放置的直角梯形(如圖所示)的直觀圖.

0B

【解析】(1)在已知的直角梯形中，以底邊02所在直線為尤軸，垂直于的腰所在直線為y

軸建立平面直角坐標系.如圖①所示.

⑵畫相應的x'軸和y'軸，使/x'O'y=45°,在x'軸上截取0'8'=03,在y'軸上截取OZ>'=30。過點。'

作7軸的平行線I,在/上沿V軸正方向取點。使得OC=OC.連接B'C,如圖②.

(3)所得四邊形03Y7。就是直角梯形0BCD的直觀圖.如圖③.

思維升華

畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關鍵及注意事項

(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐標系是關鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的

頂點在坐標軸上或邊與坐標軸平行，以便于畫圖.

(2)畫圖時要注意原圖和直觀圖中線段的長度關系是否發生變化.

鞏固訓練

1.如圖所示，在△A8C中，BC=8cm,8c邊上的高AO=6cm,試用斜二測畫法畫出其直觀圖.

A

RDC

【解析】(1)在三角形ABC中建立如圖①所示的平面直角坐標系xOy,再建立如圖②所示的坐標系x'0'y',

使Nx'Oy=45°.

(2)在坐標系VOy中，在7軸上截取05=。8,O'C^OC;在y軸上截取04,使

(3)連接AE,CA',擦去輔助線，得到9C,即為△ABC的直觀圖(如圖③所示).

圖③

題型七畫簡單幾何體的直觀圖

【例7】已知一個正四棱臺的上底面邊長為2,下底面邊長為6,高為4,用斜二測畫法畫出此正四棱臺的

直觀圖.

【解析】(1)畫軸.如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點。使/xOy=45°,NxOz=90°.

(2)畫下底面.以。為中點，在x軸上取線段EF,使得￡尸=6,在y軸上取線段GH,使得GH=3,再過

////

G,H分別作A8=ERCD=EF,且使得A8的中點為G,C￡)的中點為H,連接A。，BC,這樣就得到了

正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖.

(3)畫上底面.在z軸上截取線段0。1=4,過01作//Ox,Oiy'〃。丫，使Nx'Qy'=45°,建立坐標系尤'Qy',

在x'Oiy'中仿照(2)的步驟畫出上底面AiBiCiDi的直觀圖.

(4)連接AAi，BBi，CG，DDi，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖(如圖②).

思維升華

畫空間圖形的直觀圖的原則

⑴用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平行于尤軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應分別畫成平

行于V軸、y軸、z，軸的線段.

⑵平行于x軸、Z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變為原來的g.

鞏固訓練

1.已知一棱柱的底面是邊長為3cm的正方形，各側面都是矩形，且側棱長為4cm,試用斜二測畫法畫出

此棱柱的直觀圖.

【解析】⑴畫軸.畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點0,使NxOy=45。，^xOz=90°.

、3

(2)畫底面.以點0為中點，在x軸上畫A/N=3cm,在y軸上畫尸。=1cm,分別過點N作y軸的平

行線，過點尸，。作1軸的平行線，設它們的交點分別為A,B,C,D,則四邊形ABC。就是該棱柱的底

面.

(3)畫側棱.過點A,B,C,。分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取4cm長的線段AV,BB:

CC,DD',如圖①所示.

D'7C'

AfIIB'I

y

DQ

M,c

AXP\B

①

(4)成圖.連接A0,B'C,CD',D'A',并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到該棱

柱的直觀圖，如圖②所示.

DfC'

Ag

題型八直觀圖的還原與計算

2

【例8】如圖所示，梯形A/iGDi是一平面圖形A8CD的直觀圖.若4。1〃。了，4S〃GDi，4場=§

GZ)i=2,AiDi=OZ)i=l.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.

'y

4Bi

D、/O'G%'

OC=OfCi=2.

在過點。與y軸平行的直線上截取0A=2。14=2.在過點A與x軸平行的直線上截取A8=AiBi=2.連接

BC,便得到了原圖形(如圖).

由圖可知，原四邊形ABC。是直角梯形，上、下底邊長度分別為A5=2,0)=3,直角腰長度為AZ)=2.

2+3

所以原圖形面積為S=三一X2=5.

思維升華

(1)直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與v軸、y軸平行的直線或線段，且平行于v軸的線段還原時長度不變，

平行于y軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可.

(2)直觀圖與原圖形面積之間的關系

若一個平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S,則有￡=*S或S=2陋S.利用這一公式可由原圖

形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.

鞏固訓練

1.已知正三角形4BC的邊長為由那么△ABC的直觀圖的面積為()

近

A2

a8a2

B.逅

c2D.

。2

16a

【解析】選D.如圖①②所示，分別為正三角形A3C的實際圖形和直觀圖.

由②可知，B'C'=BC=a,O'A'=j0A=^~a,在圖②中作于點D',則AZT=3/0,4=a.

Zo

ZZo1O

題型九圖形、文字、符號語言的相互轉化

【例9】(1)用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形.

平面ABD與平面BDC交于BD,平面ABC與平面ADC交于AC.

(2)將下面用符號語言表示的關系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示.

aC/3=l,AG/,ABcot,ACu0.

【解析】(1)符號語言表示：平面ABDA平面平面ABCCl平面AOC=AC.用圖形表示如圖①所

(2)文字語言敘述為：點A在平面a與平面力的交線/上，直線AB,AC分別在平面a,￡內，圖形語言表

示如圖②所示.

-----3

圖①

思維升華

三種語言的轉換方法

(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關

系如何，試著用文字語言敘述，再用符號語言表示.

(2)根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區別.

鞏固訓練

1.根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系.

⑴點P與直線A&

⑵點C與直線AB；

⑶點M與平面AC;

(4)點Ai與平面AC；

(5)直線AB與直線BC；

(6)直線AB與平面AC；

⑺平面AiB與平面AC.

【解析】(1)點PG直線48.

(2)點C0直線AA

⑶點平面AC.

(4)點40平面AC.

(5)直線45C直線BC=點、B.

(6)直線ABu平面AC.

(7)平面4由CI平面AC=直線AB.

題型十點、線共面問題

【例10］證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內.

【解析】已知：如圖所示，/inI2—A,12ch=B,hnh—c.

求證：直線/i,I?,在同'一?平面內.

證明：方法一：(納入平面法)

因為/iAL=A,所以/1和L確定一個平面a.

因為/2C/3=B，所以BW%.

又因為/zua,所以同理可證Cda.

又因為86/3，Ce/3，所以bua.

所以直線乙，辦，，3在同一平面內.

方法二：(輔助平面法)

因為/1口/2=4,所以/i,A確定一個平面a.

因為