2025年中考數學總復習《四邊形解答題》專項測試卷（帶答案）

2025年中考數學總復習《四邊形解答題》專項測試卷（帶答案）

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1.數學實驗：折疊正方形紙片.

通過紙片的折疊，可以發現許多有趣的現象，這些現象可以用有關的數學原理進行分析、解釋，所以紙片的折疊是

一種有效的數學學習方式.如圖，尸。是將正方形紙片ABC。折疊后得到的一條折痕，其中點P,。分別在邊AD,

CD±.

Q

N

（D折疊正方形紙片ABC。，使得上4,C。依次落在直線PQ上.請你利用無刻度直尺和圓規，在圖①中分別作出折

痕PE,QF（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點E,尸分別在邊BC,A3上.設PE,。尸的交點為。，貝lJNPOQ=

（2）在（1）的條件下，折疊正方形紙片ABCZ）,使得2C落在直線尸。上.請你利用無刻度直尺和圓規，在圖②中作

出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點M,N分別在邊AB,CD上.設MN,PE的交點為G,則點G

落在正方形紙片A2CD的哪一條對稱軸上？請說明理由；

（3）如圖③，已知正方形紙片A3CD的邊長為16cm.在（2）的條件下，當點P為邊AD的中點時，則隨著點。位置

的改變，的周長是否會發生改變？如果不變，求出4M的周長；如果改變，求出的周長的最小

值，并求出此時折痕"N的長.

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，E,尸分別是邊BC,C。上的點，AE與8尸交于點尸.

(a)(b)(c)

(1)【特例感知】如圖(a),若四邊形ABC。是正方形，當=時，則線段AE與所的數量關系是一

⑵【深入探究】如圖(b),若四邊形AB。是菱形，且N4PB=",則線段AE與3F滿足怎樣的數量關系？請證

明你的猜想；

(3)【類比遷移】如圖(c),若四邊形ABC。是菱形，E為3C的中點，ZAPB=ZC=60°,請求出f的值;

3.在菱形ABC。中，々=。(90。<c<180。)，點E是邊BC上一點，連接將線段AE繞點E順時針旋轉a得

到線段EF,連接CF.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,?=90°,求NDCF的度數；

⑵如圖2,90°<?<180°,用〃CF的度數(含。的代數式表示)；

(3)如圖3,?=120°,4?=2,點M是。C邊上一動點，連接被，若=N是CM延長線上一點，且MN=CF,

連接/N,請直接寫出引V的最大值.

4.【初步探索】

(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZB=/ADC=90。，E,尸分別是8C,CD上的點，且EF=BE+FD,

探究圖中的E,NFAD,NELF之間的數量關系.

小明同學探究此問題的方法是：延長ED到點G,使DG=BE.連接AG,先證明aABE絲△45G,再證明

AAEF學屈GF,可得出結論，則他的結論應是.

【靈活運用】

(2)如圖2,若在四邊形ABCD中，AB^AD,/B+/O=180。，E,F分別是BC,CD上的點，且EF=BE+FD,

上述結論是否仍然成立，并說明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖3,已知在四邊形ABCZ)中，ZABC+ZADC=180°,AB=AD,若點￡在CB的延長線上，點尸在CD的

延長線上，且仍然滿足EF=BE+fD,請直接寫出與/MB的數量關系.

G

C

BEcBEc

圖1圖2圖3

5.如圖1,在正方形ABCD中，E為BC上一點,1連接AE:,過點3作BGLAE于點8,交CD于點G.

C

圖1圖2圖3

⑴求證：AE=BG；

(2)如圖2,連接4G、GE,點、M、N、P、Q分別是AB、AG、GE、EB的中點，試判斷四邊形間口。的形狀，并說

明理由；

(3)如圖3,點RR分別在正方形ABCD的邊AB、C。上，把正方形沿直線用翻折，使得BC的對應邊恰好經過點

A,過點A作49,于點。，若=正方形的邊長為3,求線段0P的長.

6.我們規定：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做“完美四邊形”.

圖1圖2

(1)在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是(請填序號);

⑵在“完美"四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+Zr>=180°,連接AC.

①如圖1,求證：AC平分/BCD；

小明通過觀察、實驗，提出以下兩種想法，證明AC平分N5CD:

想法一：通過/B+/D=180°，可延長CB到E,使BE=CD,通過證明△AEB四△ACD,從而可證AC平分ZBCD；

想法二：通過=可將AACD繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到AAEB,可證C,B,E三點在一

條直線上，從而可證AC平分/BCD.

請你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分/BCD；

②如圖2,當Za4D=90。，用等式表示線段AC,BC,CO之間的數量關系，并證明.

7.綜合與實踐

數學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1,在正方形ABCD中，已知AE_LBF,求

證：AE=BF.

甲小組同學的證明思路如下:

由同角的余角相等可得N/W=4ME.再由=NBAF=ND=90°,證得

AABF^ADAE(依據：),從而得=

乙小組的同學猜想，其他條件不變，若已知AE=3/，同樣可證得AELBR,證明思路

如下:

由=即可證得R/AB尸絲RtMME(HL),可得NA5F=NZME,再根據角

的等量代換即可證得防.

完成任務：

(1)填空：上述材料中的依據是(填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”)

【發現問題】

同學們通過交流后發現，已知可證得=已知AE=3尸同樣可證得班為了驗證這個結論

是否具有一般性，又進行了如下探究.

【遷移探究】

(2)在正方形ABC。中，點E在CD上，點分別在A￡>,3c上，連接腑交于點P.甲小組同學根據肱VAE

畫出圖形如圖2所示，乙小組同學根據=畫出圖形如圖3所示.甲小組同學發現已知仍能證明

MN=AE,乙小組同學發現已知A/N=AE無法證明MN_LAE一定成立.

/MDAMD

尸m

BNCBNC

圖2圖3

①在圖2中，已知MN_LAE,求證：MN=AE；

②在圖3中，若NDAE=a,則NAPM的度數為多少？

【拓展應用】

(3)如圖4,在正方形ABC。中，AB=3,點E在邊上，點M■在邊AD上，且AE=A〃=1,點RN分別在直

線sCD,BC±,若EFf=MN,當直線所i與直線MN所夾較小角的度數為30。時,請直接寫出CP的長.

BNCNB\C

圖4

8.通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整.原題：

如圖1,點E、尸分別在正方形ABCD的邊BC、CD±,ZE4F=45°,連接E尸，試猜想跖、BE、之間的數量

關系.

⑴把△ABE繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,可使A3與AD重合,由NADG=/8=90。，得，ZFDG=180°,即

點、F、D、G共線，易證AAEGg,故班'、BE、D尸之間的數量關系為

(2)如圖2,點E、尸分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上，ZEAF=45°.連接E尸，試猜想防、BE、DF

之間的數量關系為，并給出證明.

(3)如圖3,在VABC中，NR4c=90。，48=4。，點。、石均在邊2(7上,且/及豆)+/應1。=45°.若8￡>=2,EC=2石,

直接寫出MP的值和AE的長.

9.平面直角坐標系中，四邊形Q4BC是正方形，點A,C在坐標軸上，點3(6,6),尸是射線08上一點，將AAOP

繞點A順時針旋轉90。，得AABQ,。是點尸旋轉后的對應點.

圖⑴圖⑵

(1)如圖(1)當OP=2應時，求點。的坐標；

(2)如圖(2),設點P(x,y)(0<x<6),的面積為S.求S與x的函數關系式，并寫出當S取最小值時，點尸的坐

標；

(3)當BP+BQ^72時，求點。的坐標(直接寫出結果即可).

10.在正方形ABC。中，點E,尸分別在邊BC,C。上，且NEAF=45。.EA交BD于M,AF交BD于N.

圖①圖②

APB^AAND（如圖①），求證：AAPM^AANM；

⑵求證：MN2=BM2+DN2;

（3）矩形ABC。中，M、N分別在BC、CD±,/MAN=/CMN=45°,（如圖②），請你直接寫出線段MN,BM,DN

之間的數量關系.

11.將正方形ABC。放置在平面直角坐標系中，2與原點重合，點A的坐標為(0,“)，點￡的坐標為3,0),并且實

數a,b使式子Ja-6+(6-3)2=0成立.

(1)直接寫出點。、E的坐標：D，E-

(2)ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點孔

①如圖①，求證AE=EF；

②如圖②，連接AF交。C于點G,作加〃4)交AE于點作EN〃AB交AF于點N,連接MN,求四邊形MNGE

的面積.

(3)如圖③，連接正方形48C。的對角線AC,若點P在AC上，點。在。上，且AP=CQ,求仍尸+時丫的最小

值.

12.將正方形ABCD放置在平面直角坐標系中，B與原點重合，點A的坐標為(0,4),點￡的坐標為(瓦0),并且實

數a,b使式子b=J12-2a+Ja—6+3成立

(1)直接寫出點。、E的坐標：D,E.

(2)ZA￡F=90°,且EF交正方形外角的平分線B于點F

①如圖①，求證

②如圖②，連接AP交。C于點G,作GAf||4O交AE于點作EN||交AF于點N,連接MN,求四邊形MNGE

的面積;

(3)如圖③，連接正方形ABC。的對角線AC,若點P在AC上，點。在CO上，且AP=C。，求(BP+BQ?的最小

值.

13.(1)如圖①，在正方形ABCZ)中，E、/分別是BC、DC上的點，且ZE4F=45。，連接EF,探究班、DF、

跖之間的數量關系，并說明理由；

(2)如圖②，在四邊形ABC。中，AB=AD,N8+"=180。，E、尸分別是BC、0c上的點，S.ZEAF=^ZBAD,

此時(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由.

14.己知四邊形ABC。是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點與A點重合，將此三角板繞A點旋轉時，兩

邊分別交直線BC,CD于M,N.

(1)如圖1,當M,N分別在邊8C,C。上時，求證：BM+DN=MN

(2)如圖2,當M,N分別在邊2C,C。的延長線上時，請直接寫出線段BM,DN,MN之間的數量關系_

(3)如圖3,直線AN與BC交于P點，MN=1Q,CN=6,MC=8,求CP的長.

15.綜合與實踐：如圖1,在正方形A3C￡＞中，連接對角線AC,點。是AC的中點，點E是線段Q4上任意一點（不

與點A,。重合），連接DE,BE.過點E作砂_LDE交直線BC于點?

（1）試猜想線段OE與所的數量關系，并說明理由；

（2）試猜想線段CE,CD,CF之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖2,當E在線段CO上時（不與點C,。重合），取交BC延長線于點尸，保持其余條件不變，直接寫出

線段CE,CD,CF之間的數量關系.

16.正方形ABC。中，點E、F在8C、CD上，且BE=CF,AE與BF交于點G.

(1)如圖1,求證AELBK

(2)如圖2,在GF上截取GM=GB,ZMAD的平分線交。于點H,交BF于點N,連接CN,求證：AN+CN=&

BN；

圖1圖2備用圖

17.四邊形ABCD是由等邊AABC和頂角為120。的等腰A4BD排成，將一個60。角頂點放在。處，將60。角繞。點旋

轉，該60。交兩邊分別交直線BC、AC于M、N,交直線A8于E、尸兩點.

(1)當E、尸都在線段上時(如圖1),請證明：BM+AN=MN；

M

(2)當點E在邊54的延長線上時(如圖2),請你寫出線段MB,AN和之間的數量關系，并證明你的結論;

(3)在(1)的條件下，若AC=7,AE=2.1,請直接寫出MB的長為

18.如圖，正方形ABC。邊長為4,點G在邊AD上(不與點A、。重合)，BG的垂直平分線分別交48、CD于E、

/兩點，連接EG.

(1)當AG=1時，求EG的長；

(2)當AG的值等于_時，BE=8~2DF；

(3)過G點作GMLEG交CD于M

①求證：GB平分NAGM；

1644

②設AG=尤，CM=y,試說明----------1的值為定值.

孫xy

BC

19.已知正方形ABC。，NM4N=45。，/M4N繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC千點、M、N,AHLMN

于點H.

BM

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當3M=￡>N時，可以通過證明NWN名AABM,得到A"與48的數量關系，這個數量關系是

(2)如圖②，當3MHDN時，(1)中發現的AH與A3的數量關系還成立嗎？說明理由；

(3)如圖③，已知AAWN中，ZMAN=45°,AH_LMN于點H,MH=3,NH=1,求A”的長.

20.如圖，正方形A3C0的邊長為4cm,點尸從點A出發，以每秒1cm的速度沿從點A向終點。運動，點Q從點。

同時出發，以相同的速度沿射線AO方向運動，規定點P到達點。時，點。也停止運動，連接過點P作的

垂線，與過點Q平行于OC的直線/相交于點。，與y軸交于點E,連接尸E,設點尸運動的時間為r(秒)

(2)點D的運動總路徑長為cm：

(3)探索線段PE、AP,CE的數量關系，并說明理由;

(4)當△P3E為等腰三角形時，求/的值.

參考答案

1.(1)解：如圖，作NAPQ,NCQ尸的角平分線即可.

ZAPQ=ZD+NDQP,NCQP=ND+ZDPQ

：.ZAPQ+ZCQP=ZD+ZDQP+ZD+ZDPQ=ZD+180°=270°.

?：PE,。尸分別是ZAPQ,"QP的角平分線

ZOPQ+ZOQP=^(ZAPQ+ZCQP)=135°

：.ZPOQ=180O-ZOPQ-ZOQP=180°-135°=45°

故答案為：45；

(2)解：如圖，延長PQ,BC交于T,作NB7P的角平分線即可.

/.ZAPE=ZPEC

:PE平分NAPQ

ZAPE=ZTPE

：.NPEC=/TPE

:TG平濟ZBTP

：.NPTG=/ETG

'：TG=TG

：.APTG%ETG(AAS)

，點G是尸E的中點

.,.點G在邊AB、CD的垂直平分線上；

(3)解：如圖，作NNPQ的角平分線交BC于E,連接ME

是折痕

，MP=Affi；且MN垂直平分BP

C"=AP+AM+MP=AP+AM+ME

AP為定值即gAD=8cm

...當A、M、E三點共線時，AM+ME最小，最小值即為A3的長

故C-PAM的最小值為24cm

此時E和8重合，將向上平移使得〃與A重合，如下圖:

?；NPMN+/BMN=9Q。,ZM'BP+NBMN=90°

ZPMN=ZM'BP

?/MB=MD,/BMP=ZM'DN'=90°

ABMP^AMW(ASA)

，BP=MN

^)BP=MN

BP=VAF+AF=V162+82=?^20=8A/5

MN=875

/")PD

2.(1)解：當四邊形A2CD是正方形，ZAPB=ZD=90°

：.ZBAP+ZABP=ZABP+/EBP=90°

ZBAP=ZEBP

又；AB=BC,ZABC=ZC

：.AABE^ABCF(ASA)

/.AE=BF-,

故答案為：AE=BF；

(2)解：猜想AE=3尸.

證明：思路一：如圖，在8C上取一點M,使AB=AAf,則=

AD

???四邊形ABC。是菱形

：.AB//CD,AB=BC=AM,2ABM?C180?,ZD=ZABE

FAMEIAMB180?,1ABM?C180?

：.ZAME=ZC

?:?APBID1ABMIAMB

：.ZFBC=ZAPB-ZAEM=ZAMB-ZAEM=/EAM

在△ASM和中

ZEAM=ZFBC

<AM=BC

NAME=ZC

△A￡M^ABFC（ASA）

:.AE=BF；

思路二：如圖，在CB延長線上取點N,使4V=AE,則NA7VB=NA￡B

根據菱形的性質NABC+NC=180。，AB\\CD

：.ZABN=ZC

又Y2BAN1ABC?AA?,?APB?AEB?CBF,5.ZAPB=ZD=ZABC

：./BAN=/CBF

在△ABN和VBC廠中

/BAN=ZCBF

AB=BC

/ABN=ZC

AABN包3b(ASA)

/.AN=BF

/.AE=BF-,

(3)解：如圖，延長AB,使BG=BE

'：AB//CD

：.ZGBC=ZC=60°

△3GE是等邊三角形

AZG=60°,BG=BE=-BC=-AB

22

；/BAE+NBEA=/GBC,?PBE?BEP?APB,ZAPB=ZC=60°

：.ZBAE=NPBE

在4G和AEBC中，?GAE?CBF,NG=NC

：.AEAGSAFBC

/.AEAGAB+BG_4■+V_3.

BF~BC~BC~AB-2

3.(1)解:如圖1,過點/作FGJ_3C,交BC延長線于點G

AD

??'在菱形AB。中，ZB=a=90°

???四邊形ABC。是正方形，ZBAE-^-ZAEB=90°

：.AB=BC,CD1BC

由旋轉的性質得：AE=EF,ZAEF=a=90°

：./GEF+ZAEB=90。

：.Z.GEF=Z.BAE

在AGEF和△氏1石中

ZG=ZB=90°

<ZGEF=ZBAE

EF=AE

：.AGEF^ABAE（AAS）

：.EG=AB,GF=BE

：.EG=BC

：.EG-EC=BC-EC,^CG=BE

：.CG=GF

：.ZFCG=ZCFG=45°

又CD_LBC

???ZDCF=90°-ZFCG=45°；

（2）解：如圖2,延長5C到點G,使CG=BE,連接尸G

AD

???四邊形ABC。是菱形，4=°（90。<1<180。）

:?AB=BC,AB〃CD,NBAE+NA￡B=180。—a

：.ADCG=ZB=a

,:CG=BE

:?CG+CE=BE+CE,即EG=5C

???EG=AB

由旋轉的性質得：AE=EF,ZAEF=a

???ZGEF+ZA￡B=180°-<z

:.ZGEF=ZBAE

在△GEF和△以石中

EG=AB

<ZGEF=ZBAE

EF=AE

：.△GEF^ABA￡(SAS)

:?FG=BE,/G=/B=a

：.CG=FG

.180。一NG180。一】

??ZFCG=/CFG=----------=-----------

22

iQQO3

???ZDCF=ZDCG-ZFCG=a-----------=-a-90°；

22

3

(3)解：由(2)知當&=120。時，ZDCF=-a-90°=90°

2

如圖3,過點N作NPLOV于點N,且使NP=C0,連接尸M

:./PNM=ZMCF=90。

又?：NP=CM,MN=CF

：.APMN^AMFC

：.APMN=ZMFC,PM=MF

?；MF=AB,AB=2

；?PM=MF=AB=2

'：ZMCF=90°

：.ZMFC+ZCMF=90°

：.ZPMN^ZCMF=90°

：.ZPMF=180°-(ZPMN+ZC/WF)=90°

如圖3,取PM中點“，連接NH,FH

圖3

VZPNM=90°,PM=MF=2

：.NH=MH=-PM=\,

2

HF=^lMH2+MF2=A/12+22=75

由兩點之間線段最短得N/4NH+HF=l+?,且當N、H、尸依次共線時，NF取得最大值NH+HF=1+如.

4.解：(1)結論：ZBAE+ZFAD=ZEAF.

理由：如圖1,延長ED到點G,使0G=跖，連接AG

圖1

在1和AAOG中

AB=AD

<NB=ZADG=90°

BE=DG

：.AAB￡^AADG(SAS)

：.ZBAE=ZDAG,AE=AG

'：EF=BE+DF

：.EF=DF+DG=FG

在4AE產和AAGF中

AE=AG

AF=AF

EF=GF

：.△AEF^AAGF(SSS)

ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF.

故答案為：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

(2)仍成立，理由：

如圖2,延長ED到點G,使DG=BE,連接AG

BEc

圖2

VZB+Zz4DF=180°,ZADG+ZADF=180°,

：.ZB=ZADG

在aAg石和△ADG中

AD=AD

<NB=ZAG

BE=DG

：.AABE^AADG(SAS)

：?NBAE=NDAG,AE=AG

,:EF=BE+DF

:.EF=DG+DF=GF

在△?!￡尸和AAG廠中

AE=AG

<AF=AF

EF=GF

：.△AEF^AAGF(SSS)

ZEAF=Z.GAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF-

(3)結論：Z￡AF=180°--ZDAB.

2

理由：如圖3,在。。延長線上取一點G,使得DG=B石，連接AG

圖3

,/ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°

JZADC=ZABE

在△ABE和ZvlOG中

AB=AD

<ZABE=ZADG

BE=DG

：.△ABE^AAZ)G(SAS)

:.AG=AE,NDAG=NBAE

'/EF=BE+DF

：.EF=DG+DF=FG

在尸和A4G/中

AE=AG

<AF=AF

EF=GF

：.△AEF^AAGF(SSS)

：.ZFAE=ZFAG

:ZFAE+AFAG+Z.GAE=360°

???2ZME+(ZG4B+ZBAE)=360°

???2Z,E4E+(ZG4B+ZZMG)=360°

即2ZFAE+ZDAB=360°

.??ZEAF=1S0°--ZDAB.

2

5.(1)證明：?.?四邊形ABC。是正方形

ZABC=ZBCD=90°,AB=BC

:.ZABG+ZCBG=90°

\BGLAE

??.NBAE+ZABG=90。

.\ZBAE=ZGBC

在AABE和ABCG中

ZBAE=ZCBG

<AB=BC

/ABE=/BCG

..△ABE學△BCG（AS0

AE=BG.

（2）解：四邊形MNP。為正方形

理由如下：?.?M,N為A民AG的中點

二.MV為△ABG的中位線

:.MN//BG,MN=-BG

2

同理可得PQ||BG,PQ=-BG,MQ//AE,MQ=-AE,NP//AE,NP=-AE

222

MN=PQ,MQ=NP

.??四邊形MNPQ為平行四邊形

■：AE=BG

:.MN=MQ

四邊形MNP。為菱形

-,?BGA.AE,MQ//AE

MQ±BG

MN||BG

，四邊形MNP。為正方形.

(3)解:延長A。交BC于點S

c

ABr=BS=l,AO=SO,AS.LFR

AS=VAB2+SB2=回

22

設AF=x,則5b/=3—x

在Rh^AB'/中，儼+(3一力2=/

5

/.x=—

3

:.AF=-

3

:.OF=^AF2-AO2=

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了折疊的性質，正方形的判定與性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性

質，勾股定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用參數解決問題.

6.(1)@

(2)①見解析；②BC+CD=?AC，證明見解析

【分析】(1)由“完美四邊形”定義可求解；

(2)①想法一：由“SAS”可證△4DC絲△ASE,可得NACZ)=NA￡S,AC=AE,由等腰三角形的性質可得結論；

想法二：由旋轉的性質可得=ZACD=ZAEB,AC=AE,可證點C,B,E在一條直線上，由等

腰三角形的性質可得結論；

②延長CB使鹿=C￡>,連接AE,由①可得△ACE為等腰三角形，由NA4￡>=90。，可證”支為等腰直角三角形，

即可得解.

【詳解】(1)解：由“完美四邊形”的定義可得正方形一組鄰邊相等且對角互補

,正方形是“完美四邊形”.

故答案為：④；

(2)解：①想法一：延長CB使3E=CO,連接4E

D

C

R/

J/vZADC+ZABC=180°,ZABE+ZABC=\S00

\f

“E

圖1

/.ZADC=ZABE

\AD=AB

「.△ADC也△ABE(SAS)

:.ZACD=ZAEB,AC=AE

:.ZACB=ZAEB.

ZACD=ZACB.

即AC平分4CD；

想法二：將△ACD繞點A順時針旋轉，使AD邊與45邊重合，得到石

圖1

.\ZADC=ZABE；

ZACD=ZAEB；

AC=AE.

???ZADC+ZABC=180°

.\ZABE+ZABC=18O°.

???點C,B,￡在一條直線上.

???AC=AE

:.ZACB=ZAEB

:.ZACD=ZACB

即AC平分NBC。

@BC+CD=y/2AC

理由如下：

延長CB使BE=CD,連接

圖2

由①得"慮為等腰三角形.

QNBAD=90。

r.NE4c=90°

CE2=2AC2

CE=^2AC.

BC+CD=yf2AC.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，菱形的性質，正方形的性質，全等三角形

的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

7.(1)ASA；(2)①見解析；?ZAPM=9Q°-2a；(3)2-后或2+石

【分析】(1)先證明//由廠=/立場，結合=NBAF=/O=90。可知根據ASA即可證明“IB尸也AZME；

(2)①作于點”，先證明=然后根據ASA即可證明△/亞W絲zJME即可證明結論成立;

②NLLAD于■點、L,同理可證ALW會AZM^HL),際NMNL=ZDAE=a,然后利用直角三角形兩銳角互余和

三角形外角的性質即可求解；

(3)①當MF在BC、8邊上時，作FG1AB于點G,作MWL3C于點”，則四邊形和四邊形3CPG都

是矩形，同理可證AEGF絲△NHM(HL),求出/HMN=/EFG=30。，設EG=x,則跖=2x,利用勾股定理求出

x的值，進而可求出CP的長.當N、尸在CB、CD的延長線上時，同理可求出CP的長

【詳解】(1)證明：：四邊形ABC。是正方形

AB=AD,ZBAD=90°

：.ZBAP+ZDAE=90°.

?/AE±BF

：.ZBAP+ZABF=90°

：.ZABF=ZDAE

,//BAF=ND=90。

???△ABF^AZME(ASA).

故答案為：ASA；

(2)①作于點”

???四邊形ABC。是正方形

：?CD=AD,ZC=ZD=90°

???四邊形CDMH是矩形

：.CD=MH=AD,ZAMH=ZDMH=90°

：.ZAMP-^-ZHMN=90°.

■:AE1MN

：.ZAMP+ZDAE=90°

：.ZHMN=ZDAE

：.AHMN%DAE(ASA)

：.MN=AE；

②作于點L

圖3

同理可證四邊形CDLN是矩形

：.CD=LN=AD.

?.?AD=LN,AE=MN

???ALNM名ADAE(HL)

：.ZMNL=ZDAE=a

：.ZLMN=90°-a

：.ZAPM=ZLMN-ZDAE=90°-2a.

(3)解：①當N、F在BC、CD邊上時，如圖，NM莊=30。，作FG1AB于點G,作MH,5c于點〃，則四邊

形ABHM和四邊形BCFG都是矩形

AMD

同理可證AEGF^NHM（HL）

:.ZHMN=ZEFG.

■:GF〃BC

：.MH±GF

:?NFKH+NEFG=9伊.

,:ZFKH=/HMN+ZMPE

：.ZHMN+ZMPE+AEFG=90°

'/ZMPE=30°

：?/HMN=/EFG=30。

：.EG=-EF.

2

設EG=x,則EF=2x

EG1+FG2=EF2

+3?=（2x）2

x=V3（負值舍去）

???CF=BG=AB-AE-EG=3-\-6=2-6

②當N、尸在CB、CD的延長線上時，如圖

同理可得：/HMN=/EFG=3。。，EG=6

CF=BG=AB-AE+EG=3-1+j3=2+y/3.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，含30度角的直角三角形的性

質，勾股定理，以及三角形外角的性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

8.(l)AAfE,EF=DF+BE

Q)EF=DF—BE,理由見解析

(3)AD2=8A/3+16,AE=2加

【分析】(1)根據旋轉的性質可得△ABE04ADG,利用&4s判定定理可直接證明AAFG/AAFE,再依據對應線

段相等可求.

(2)把AABE繞點A逆時針旋轉90。，使與AD重合，證全等即可到結論.

(3)把△ABD繞點A逆時針旋轉90。，使A8與AC重合，點8對應點為點P,連接。尸和所即可求解.

【詳解】(1)解：Z\AFE,EF=DF+BE,理由如下：

四邊形ABCD是正方形

AZBAD=90°,AB=AD

由旋轉的性質可知，LABE烏乙ADG

:.ZBAE=ZDAG,AE=AG,BE=DG,ZE4G=ZBAD=90°

?；/EAF=45°

ZFAG=900-ZEAF=45°

ZEAF=ZFAG

VAF^AF

.^AFE^^AFG(SAS)

:.EF=FG

EF=DF+DG=DF+BE.

(2)EF=DF-BE,證明如下：

如下圖，把繞點A逆時針旋轉90。，48與AD重合

:AABE*ADG,ZE4G=90。

:.BE=DG,AE=AG,

?.?ZEA尸=45。

ZFAG=ZEAG-ZEAF=45°；

.\ZEAF=ZGAF；

在△￡￡4和中

'AF=AF

<ZEAF=/FAG

AE=AG

：.^EFA^^GFA(SAS)；

：.EF=FG；

?:DF=FG+GD；

:.DF=EF+BE

即EF=DF-BE.

(3)如圖1.解：VZBAC=90°,AB=AC

：.ZB=ZC=45°

把△ABD繞點A逆時針旋轉90。，A3與AC重合，點3的對應點為點尸;

AABD^/\ACF,ZDAF=90°

：.ZB=ZACF=45°fCF=BD=2

?'?NEC尸=90。

,/EC=2百

???在RtAEFC中

EF=j2?+(2石0=4

?.Z^4D+ZE4C=45°；

.?.ZZME=90o-45°=45°；

:.ZEAF^ZDAF-ZDAE^45°；

AD=AF

<ZDAE=ZFAE

AE=AE

:.ADAE^AFAE（SAS）

：.DE=EF=4

/.DC=4+2/

在直角三角形DPC中，由勾股定理得：

。產=（2g+4-+2?

,DF2=32+16A/3

△ADF是等腰直角三角形；

2AD2=DF2

AD2=16+86

同理把△AEC繞點A順時針旋轉90。，點E的對應點為點尸，連接M,EF■,

BF=CE=273;

"：DE=4,DB=2；

/.BE—6；

在直角△FB石中，ZFBE=9Q0；

：.EF2=（2^）2+62

EF=4A/3

由旋轉的性質可知/EAF=90。，AF=AE-,

△E4E是等腰直角三角形；

/.AE=—EF

2

AE=2屈.

【點睛】本題主要考查正方形中的45。半角模型，旋轉的性質，全等三角形的判定，掌握類比遷移，旋轉后三角形

全等的證明是解決本題的關鍵.

9.（1）（8,4）

⑵S=—_6x+18,當S取最小值時，P（3,3）

【分析】（1）如圖（1）,過尸點作PGLx軸，垂足為G,過。點作軸，垂足為H.證明AAQ"之AAPG.即

可求點。的坐標；

（2）如圖（2）,過尸點作PGLx軸，垂足為G.根據勾股定理可得轉2=2犬-12尤+36,根據5“加=^424。，

將解析式湊完全平方，根據非負數的性質求得最值即可求解；

⑶根據BP+BQ=8萬，可得BP+OP=8下.因為。8=6&,說明點尸在08的延長線上.可得OP-BP=OB=6

a.聯立方程組可得和0P的長，結合（1）進而可求點。的坐標.

【詳解】（1）解：如圖（1）,過尸點作PGLx軸，垂足為G

過。點作無軸，垂足為

圖⑴

NAOB=45°.

?.?3(6,6)

OA=6.

在及△(7尸G中

PG=OPx—=2y[2x—=2

22

.\OG=PG=2.

AG=OA-OG=4.

???△AQP繞點A順時針旋轉90。，得

ZPAQ=90°fAQ=AP

ZPAG+ZQAH=90°

?.?ZPAG-^-ZAPG=9Q°

ZAPG=ZQAH

.?.△AQGAAPG(AAS).

,\AH=PG=2,QH=AG=4.

?08,4）；

（2）如圖（2）,過P點作軸，垂足為G.

???△AO尸繞點A順時針旋轉90。，得

圖⑴

:.AP=AQfZPAQ=90°.

???P(x,y),NPOG=45。

..OG=PG=x

AG=6-x.

在mAAPG中，根據勾股定理

AP2=AG2+PG2=(6-無>+x2

整理得Ap2=2尤：-12尤+36.

^APQ=^AP-AQ

S=X2-6X+18=(X-3)2+9.

???當s取最小值時，有x=3

；.P(3,3)；

⑶2(13,-1).

理由如下：如圖(3)

?.?△AOP繞點A旋轉得到^ABQ

:.OP=BQ.

;BP+BQ=8@

：.BP+OP=8>/2.

,/OB=6近

，點P在08的延長線上.

OP—BP=OB—6五.

'OP+BP=8近,

由＜

OP-BP=6^/2.

解得：op=i五,BP=6.

OG=PG=—OP=7

2

:.AG=OG-OA=l

同(1)：^AQH=AAPG

,\AH=PG=7,QH=AG=1

.?.O"=a4+AH=6+7=13

【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、坐標與圖形的性質-旋轉、二元一次方程組、三

角形的面積、勾股定理，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識.

10.⑴見解析

(2)見解析

⑶MN?=2BM?+2DM.理由見解析

【分析】(1)由正方形的性質和AAPB之"ND,推出NRlM=NMUf=45。，利用SAS即可證明AAPM之"MW；

(2)由正方形的性質和aAPB義"即，推出NB7%七乙43尸+乙48。=90。，再由(1)的結論得到PM=MN,根據勾

股定理即可證明MN?=32+92；

(3)將△ABM繞點A逆時針旋轉90°,得到△ABAT，則△AMN之△AMR,利用全等三角形的性質可得出MN=MN,

由NC=90。，NCMN=45。可得出CM=CN,設8M=〃，DN=b,CM=c,貝1JAD=〃+c,CD=b+c,進而可得出M戶二。力,

NF=b+a,在Rt^M'FN中,利用勾股定理可求出"儲=2/+2〃，進而可得出又解=25“+20解.

【詳解】(1)證明：??,四邊形A5CD是正方形

ZBAD=90°

ZEAF=45°.

NBAM+NNAD=45。

xAPB”bAND

：.PA=NA,ZPAB=ZNAD

：.ZMB+ZBAM=45°

/.ZPAM=ZNAM=45°

PA=NA

在△APM和“TW中，\ZPAM=ZNAM

AM=AM

：.LAPM^AAW(SAS)；

(2)證明：???四邊形A3c。是正方形

：.AB=AD,ZABD=ZADB=45°

■:XAPBWAND

：.PB=ND,ZABP=ZADB=45°

：.ZBPM=ZABP+ZABD=90°

**.PM2=BM2+PB1

4ApMmANM

：.PM=MN

MN2=BM2+DN2；

(3)解：MN2=2BM2+2DN2.理由如下：

將繞點A逆時針旋轉90。，得到△ABAT.如圖：

過點作M戶，C￡＞于尸，連接MN

同(1)可證△AMNg/kAMR

.'.M'N=MN.

VZC=90°,ZCMN=45°

：.CM=CN.

設BM=a,DN=b,CM=c,貝！JAD=a+c,CD=b+c

M'F=AD-AB'=AD-AB=a+c-(6+c)=a-b

NF=DN+DF=DN+B'M'=DN+BM=b+a.

在RtAM'FN中,M'N2=M'F2+NF2=(a-b)2+(a+b)2=2a2+2b2

MN2^2BM2+2DN2.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形以及勾股定理，解題的關鍵是：(1)

利用SAS即可證明AAPM絲△4W；(2)證明/BPM=90。，利用勾股定理求解；(3)通過構造直角三角形，利用勾

股定理找出MN2=2BM2+2DN2.

11.(1)0(6,6),￡(3,0)

25

⑵①見解析；②1

(3)72+3672

【分析】(1)由二次根式有意義的條件和相反數的性質可得出。=6,b=3,然后根據正方形的性質即可得出答案；

(2)①取。4的中點K,連接KE,證明△AKE之△ECF(ASA),由全等三角形的性質可得出AE=ER②延長CD,

并在延長線上截取DH=0E,連接AH,證明△A0E學△ADH(SAS),由全等三角形的性質得出

ZAEO=ZAHD,證明△AEG名△A”G(SAS),得出EN=EG,同理可得GAf=GE,設。G=x,則CG=6-x,由勾股定

理得出32+(6-尤)2=(x+3)2,解得尸2,根據細邊捌1VGE=：G"EN計算求解即可得出答案；

(3)在外角平分線上取點E,使CP=A。,證明△AP80△CQB(SAS),得出尸2=QF,當3,。,廠三點共線時，(3P+B02

值最小，即為。尸的長，過點尸作尸無軸于點R,由勾股定理求出。尸2,進而可得出答案.

【詳解】（1）解：'：a,6滿足式子A/^+0-3）2=O

tz=6,b=3

/.￡＞（6,6）,磯3,0）；

（2）解:①取。4的中點K,連接KE,如圖所示

圖①

ZAEF=90°

ZFEC+ZAEO=ZAEO-{-ZOAE=90°

：.ZFEC=ZOAE

VOE=EC=3,K為。4的中點，OA=OC

：.AK=EC,OK=OE

，NOKE=45。

：.NAT但=135。

???c/是正方形外角的平分線

：.ZDCF=45°

：.ZECF=135°

：.ZAKE=ZECF

在△人在和^EC尸中

ZAKE=ZECF

<AK=EC

/KAE=/FEC

：.△AKE/Z^ECF(ASA)

：?A