2025年江蘇中考數學壓軸題分項匯編：二次函數（線段與周長問題）原卷版+解析

壓軸專題01二次函數（線段周長面積問題）

背；

技法全歸納

考法一單線段最值

1.（1）設函數表達式上動點坐標：設動點的橫坐標，代入函數表達式得到動點的縱坐標.

（2）表示豎直方向的線段長：結合函數圖象，用上方點的縱坐標減去下方點的縱坐標可得線

段長.

（3）表示水平方向的線段長：結合函數圖象，用右側點的橫坐標減去左側點的橫坐標可得線

段長.

（4）表示不與坐標軸平行的線段長（斜線段）：第一步：以所求線段長為一邊構造直角三角

形；第二步：找與其相似的直角三角形（一般情況下，二次函數與坐標軸交點構成的直角三

角形與其相似）；第三步：利用三角函數或相似列等量關系求解.

考法二線段和（差）最值（將軍飲馬）

2.兩定點+一動點（動點在直線上）

（1）兩定點A,B位于直線1異側：如圖1,連接AB,與直線1的交點即為P,此時PA+PB

的最小值為AB的長；如圖2,作點B關于直線1的對稱點B，，作直線AB*與直線1的交點

即為P,此時IPA-PB|的最大值為線段AB，的長.

圖1圖2

（2）兩定點A,B位于直線1同側：如圖3,作點B關于直線1的對稱點B）連接AB，，與直

線1的交點即為P,此時PA+PB的最小值為AB，的長；如圖4,連接AB并延長，與直線1

的交點即為P,此時IPA-PB|的最大值為線段AB的長.

圖3圖4

3.一定點+兩動點（動點分別在兩條直線上）

（1）如圖L點P是定點，點A,B分別是直線乙，4上的動點，作點P關于直線4的對稱點

P',作PB_L4于點B，交直線4于點A,此時PA+AB的最小值為線段PB的長.

（2）如圖2,點P是定點，點A,B分別是直線j4上的動點，分別作點P關于兩直線的對

稱點P和P",連接PP〃，與兩直線交點即為點A,B,此時4PAB周長的最小值為線段PP〃

的長.

圖1

4.兩定點+兩動點（動點分別在兩條直線上）

（1）如圖1,點P,Q是定點，點M,N分別是直線乙，4上的動點，分別作點Q，P關于直

線乙，4的對稱點Q，和P,連接QT，，與兩直線交點即為點M,N,此時四邊形PQMN周長

的最小值為線段QP+QP的長.

（2）如圖2,點A,B分別是直線4，4上的定點，點M,N分別是直線4，4上的動點，作

點A關于直線乙的對稱點A*作點B關于直線4的對稱點B，，連接A，B，交直線4于點M,交

直線4于點N,此時AM+MN+NB的最小值為線段A，B，的長.

圖1圖2

考點三：二次函數中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：

1）當所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下:

一般步驟為：①設出要求的點的坐標；

②通過割補將要求的圖形轉化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；

③列出關系式求解；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.

A

x

3）利用平行線間的距離處處相等，根據同底等高，將所求圖形的面積轉移到另一個圖形中，如圖所示:

直線相〃直線〃

==

S/\ABCSAABDSAABE

一般步驟為：①設出直線解析式，兩條平行直線k值相等;

②通過已知點的坐標，求出直線解析式;

③求出題意中要求點的坐標；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

典題固基礎

例題1.（24-25九年級?江蘇連云港?模擬練習）如圖，二次函數y=的圖象經過點A（T,4）,與y軸

交于點3,C、。分別為x軸、直線尤=1上的動點，當四邊形A3。的周長最小時，則點。的坐標

為.

i3

例題2如圖，已知二次函數/=-5/+5犬+2圖象與x軸交于A,C兩點，與y軸交于點艮

(1)連結BC,求直線BC的解析式；

(2)點P為該二次函數圖象在第一象限上一點，當ABCP的面積最大時，求P點的坐標及ABCP面積的最大

值.

s新題型特3

1.(24-25九年級?江蘇徐州)如圖，二次函數y=-Y+3x+4的圖象與X軸交于點A、B,與y軸交于點C.點

P是此函數圖象上在第一象限內的一動點，過點尸作PELx軸于點E,交BC于點G,作尸PL3C于點H

(1)點B的坐標是，點C的坐標是

⑵當n哂=6時，求出點尸的坐標；

⑶當APFG的周長最大時，求點P的坐標.

2.(24-25九年級?江蘇徐州)如圖，拋物線y=--+6x+c與直線y=x+2相交于4(-2,0),8(3,祖)兩點,

與x軸相交于另一點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是直線4B上方拋物線上的一個動點(不與A3重合)，過點P作直線尸軸于點。，交直線AB

于點E,當PE=2￡D時，求P點坐標；

(3)當點尸運動到什么位置時，△上48的面積有最大值？

(4)拋物線上是否存在點Af使AABM的面積等于VABC面積的一半？若存在，請直接寫出點M的坐標；若

不存在，請說明理由.

3.(24-25九年級?江蘇蘇州?階段練習)如圖，己知拋物線丁=52+法+。(。中0)的對稱軸為直線為=-1,且

拋物線經過A(l,0),C(0,3)兩點，與x軸交于點股

(1)若直線、="a+〃經過8,C兩點，求直線8C和拋物線的解析式；

⑵在拋物線的對稱軸x=-L上找一點M,使MA+MC的值最小，求點M的坐標；

(3)設P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使ABPC為直角三角形的點P的坐標.

4.如圖，二次函數的圖像與x軸交于4(-3,0)和3(1,0)兩點，交y軸與點C(0,3),點C,。是二次函數圖象

上的一對對稱點，一次函數的圖像過點8,D.

(1)求二次函數解析式；

(2)求出頂點坐標和點D的坐標；

⑶二次函數的對稱軸上是否存在的一點M,使ABOW的周長最小？若存在，求出〃點坐標；若不存在，請

說明理由.

(4)若。是線段8。上任意一點，過點。作軸交拋物線于點P,則點尸坐標為多少時，尸。最長？

5.(2022?江蘇鎮江?中考真題)一次函數y=gx+l的圖像與x軸交于點A,二次函數y=加+bx+c(ow0)的

圖像經過點A、原點。和一次函數y=Jx+1圖像上的點

圖1圖2

⑴求這個二次函數的表達式；

⑵如圖1,一次函數y=入+"]"-2"1)與二次函數，=加+及+。("°)的圖像交于點c(%，x)、

D(x2,y2)(x,<x2),過點C作直線軸于點E,過點。作直線4軸，過點8作8尸，4于點尸.

①%=,%=(分別用含〃的代數式表示)；

②證明：AE=BF；

(3)如圖2,二次函數y=a(xTy+2的圖像是由二次函數>=加+陵+。(。70)的圖像平移后得到的，且與

一次函數y=；x+l的圖像交于點尸、Q(點尸在點。的左側)，過點尸作直線軸，過點。作直線"Lx

軸，設平移后點A、8的對應點分別為A、B',過點A作于點河，過點8'作B'N，。于點N.

①AM與3W相等嗎？請說明你的理由；

②若AM+35'N=2,求/的值.

6.如圖，拋物線>=辦2+弧+3交x軸于4(3,0),3(-1,0)兩點，交》軸于點C,動點P在拋物線的對稱軸

上.

備用圖

(1)拋物線的函數表達式為；

⑵當以P,B,C為頂點的三角形的周長最小時，求點尸的坐標及△PBC周長的最小值.

7.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數yn-M+Ax+c,圖象經過44,0)、8(0,8)兩點.

(1)求二次函數的解析式及它的對稱軸；

⑵設點尸是拋物線上的一個動點，橫坐標為機，

①當-2<〃/<3,則點p的縱坐標y的取值范圍是；

②過點尸做PQ〃y軸，交直線于。，當線段PQ=5時，請求出優的值.

8.如圖，已知拋物線y=-Y+〃武+3與x軸交于A、8兩點，與丁軸交于點C,點5的坐標為(3,0).

(1)求機的值及拋物線的頂點坐標；

⑵點。在拋物線上且滿足SAABLGSAABC，求。的坐標；

(3)點尸是拋物線對稱軸/上的一個動點，當尸A+PC的值最小時，求點尸的坐標.

9.如圖，二次函數y=g無2+桁+。的圖象與x軸交于A、8兩點,與y軸交于點C,點A的坐標為(TO),

點C的坐標為(0,—3),連接BC.

(2)點尸是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，作尸軸于點Q,交BC于點H,當的長度最大時，

求點P的坐標

10.如圖，拋物線y=/—2x-3與x軸交于點A,B(點A在點8的左側)，與V軸交于點C,P是拋物

線在第四象限上一個動點，設點尸的橫坐標為優，過點尸作了軸的垂線，交x軸于點E,交BC于點、F.

（1）用含m的代數式表示線段PF的長度，并求出其最大值；

⑵若EF:FP=2:3,求點尸的坐標.

11.如圖，二次函數>=辦2+法+4的圖象過點A（3,0）和與y軸交于點C.

⑴求該二次函數的解析式；

（2）若在該二次函數的對稱軸上有一點使3M+C0的長度最短，求出M的坐標.

12.（2025九年級?江蘇?專題練習）如圖，已知拋物線y=/+6x+c經過4（-1,0）、3（3,0）兩點.與y軸交于

點C.

（1）求拋物線的解析式；

⑵點P為拋物線上一點，若^=1。，求出此時點尸的坐標.

13.（24-25九年級?江蘇泰州）如圖，二次函數y=-/+bx+c與x軸交于點4T0）和8（5,0）,與>軸交于

點C.

圖1圖2

⑴求二次函數的表達式和直線BC的表達式；

⑵若點。為二次函數的頂點，連接由XCD,求的面積.

(3)將(1)中的二次函數圖像平移，使其頂點與坐標原點重合，再將其圖像繞坐標原點逆時針旋轉90。得到

拋物線G,若拋物線G與直線交于M,N兩點，點尸是拋物線G上位于直線左側一個動點，連接

PM,PN,求APMN的面積最大值.

14.(24-25九年級?江蘇南通)已知二次函數》=依2+法+。的圖象與x軸交于A(-l,0),8(3,0)兩點，與y

軸交于點C(0,-6).

(1)求二次函數的解析式；

⑵當-3<x<2時，求二次函數y的取值范圍；

4

(3)若尸為二次函數圖象上一點，且求P點的坐標.

15.(2024?江蘇蘇州?一模)如圖，已知拋物線y=-Y+px+q的對稱軸為x=-3,過其頂點M的一條直線

>=丘+6與該拋物線的另一個交點為要在坐標軸上找一點P,使得△尸的周長最小，則點尸的

A.(0,2)4°D.

16.(24-25九年級?江蘇蘇州?階段練習)如圖，開口向下的拋物線與x軸交于點A(TO),S(2,0),與y軸

交于點C(0,4)，點尸是第一象限內拋物線上的一點.

(1)求該拋物線所對應的函數解析式；

(2)當四邊形C45P的面積最大時，求尸的坐標及最大面積.

17.在平面直角坐標系中，將二次函數丁=^2(。＞0)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得

到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側)，OA=1,經過點A的一次函數y=

依+公上40)的圖象與＞軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為。，的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數的解析式；

(2)拋物線上的動點E在一次函數的圖象下方，當"慮面積的最大值時，求出此時點E的坐標;

18.已知拋物線y二辦？+fct+c(a＞0),頂點為(。，0).

(1)求6,c的值.

⑵若。=1時，如圖1,尸為y軸右側拋物線上一動點，過P作直線軸于點N,交直線/：y=gx+2于

M點、,設尸點的橫坐標為機，當2PM=/W時，求機的值.

(3)若a=l時，如圖2,直線y=浜+2與拋物線相交于A,B,當43=3四時，求。的面積.

19.如圖，已知拋物線>=加+版+3與x軸交于4-1,0)、8(3,0)兩點，與y軸交于點C,連接BC.

(1)求拋物線的解析式;

⑵若點尸為線段3c上的一動點(不與8、C重合)，PM//y軸，且交拋物線于點M,交x軸于點N,

當的面積最大時，求點尸的坐標.

20.已知：二次函數>=/+云+。的圖象與x軸交于A,B兩點，其中A點坐標為(-3,0),與〉軸交于點C,

點。(-2,-3)在拋物線上.

⑴求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求出R4+PD的最小值；

(3)若拋物線上有一動點。，使三角形A8Q的面積為24,求。點坐標.

21.(24-25九年級?江蘇鹽城?階段練習)如圖，二次函數的圖象與無軸交于4(-3,0)和3(1,0)兩點，交y軸

于點C(0,3),連接AC.

(1)求二次函數解析式；

(2)如圖，過點尸作y軸的平行線交AC于點。，求線段尸。的最大值.

壓軸專題01二次函數（線段周長面積問題）

技法全歸納

考法一單線段最值

1.（1）設函數表達式上動點坐標：設動點的橫坐標，代入函數表達式得到動點的縱坐標.

（2）表示豎直方向的線段長：結合函數圖象，用上方點的縱坐標減去下方點的縱坐標可得線段長.

（3）表示水平方向的線段長：結合函數圖象，用右側點的橫坐標減去左側點的橫坐標可得線段長.

（4）表示不與坐標軸平行的線段長（斜線段）：第一步：以所求線段長為一邊構造直角三角形；

第二步：找與其相似的直角三角形（一般情況下，二次函數與坐標軸交點構成的直角三角形與其

相似）；第三步：利用三角函數或相似列等量關系求解.

考法二線段和（差）最值（將軍飲馬）

2.兩定點+一動點（動點在直線上）

（1）兩定點A,B位于直線1異側：如圖1,連接AB,與直線1的交點即為P,此時PA+PB的

最小值為AB的長；如圖2,作點B關于直線1的對稱點B',作直線AB',與直線1的交點即為P,

此時IPA-PB|的最大值為線段AB，的長.

（2）兩定點A,B位于直線1同側：如圖3,作點B關于直線1的對稱點B）連接AB）與直線

1的交點即為P,此時PA+PB的最小值為AB，的長；如圖4,連接AB并延長，與直線1的交點

即為P,此時IPA-PB|的最大值為線段AB的長.

圖3圖4

3.一定點+兩動點（動點分別在兩條直線上）

（1）如圖1,點P是定點，點A,B分別是直線4，右上的動點，作點P關于直線4的對稱點P'，

作PB_L/2于點B,交直線4于點A,此時PA+AB的最小值為線段PB的長.

(2)如圖2,點P是定點，點A,B分別是直線乙，上的動點，分別作點P關于兩直線的對稱

點P和P〃，連接PP〃，與兩直線交點即為點A,B,此時4PAB周長的最小值為線段PP"的

長.

圖1

4.兩定點+兩動點(動點分別在兩條直線上)

(1)如圖1,點P,Q是定點，點M,N分別是直線八4上的動點，分別作點Q，P關于直線4,

4的對稱點Q'和P'，連接QTT與兩直線交點即為點M,N,此時四邊形PQMN周長的最小值

為線段Q'P+QP的長.

(2)如圖2,點A,B分別是直線6，4上的定點，點M,N分別是直線上的動點，作點A

關于直線/2的對稱點A)作點B關于直線乙的對稱點B)連接A，B，交直線4于點M,交直線4于

點N,此時AM+MN+NB的最小值為線段A，B，的長.

考點三：二次函數中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：

1)當所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下:

一般步驟為：①設出要求的點的坐標;

②通過割補將要求的圖形轉化成通過條件可以表示的圖形面積和或差;

③列出關系式求解；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

2)用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.

3)利用平行線間的距離處處相等，根據同底等高，將所求圖形的面積轉移到另一個圖形中，如圖所示:

直線力〃直線n

S/XABC=S/\ABD=SAABE

一般步驟為：①設出直線解析式，兩條平行直線k值相等;

②通過已知點的坐標，求出直線解析式；

③求出題意中要求點的坐標；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

等：典題固基礎

例題1.(24-25九年級上?江蘇連云港?模擬練習)如圖，二次函數〉=。(％-1)2的圖象經過點人(-1,4),與y

軸交于點8,C、。分別為無軸、直線無=1上的動點，當四邊形ABCD的周長最小時，則點。的坐標

為.

【分析】本題考查了二次函數解析式的確定，對稱點的確定與求解，三線段和最小問題，分別構造定點關

于X軸，對稱軸的對稱點是解題的關鍵.先把點A代入解析式，確定函數的表達式，根據A2的長是定值，

想使四邊形ABC。的周長最小，只需CB+CD+D4的和最小，為此過點A作對稱軸尤=1的對稱點E,作點

8關于x軸的對稱點色連接所，交無軸于點C,交對稱軸于點八，此時四邊形A58的周長取得最小值，

據此求解即可.

【詳解】解：作點A關于對稱軸x=l的對稱點E,則E（3,4）,作點8關于x軸的對稱點尸,

連接跖交x軸于點C,交對稱軸于點。，此時四邊形ABC。的周長取得最小值,

將點A（T4）代入y=-丁得4a=4,

解得：a=l,

???拋物線解析式為y=（x-l『=f-2x+l,

二點8坐標為（0,1）,

則點*0,-1）,

設CD所在直線解析式為y=mx+n,

/、/、[3m+n=4

將E（3,4）,尸（0,-1）代入得〃=,

一5

一"m=—

解得，3,

〃=-1

所以CO所在直線解析式為y=

2

當％=1時，y=-,

故答案為:3

13

例題2如圖，已知二次函數了=-5好+：》+2圖象與x軸交于A,c兩點，與y軸交于點艮

(1)連結2(7,求直線BC的解析式；

(2)點P為該二次函數圖象在第一象限上一點，當ABCP的面積最大時，求P點的坐標及ABCP面積的最大

值.

【答案】(l)y=+2

(2)A3CP面積的最大值為2,此時尸(1,3)

【分析】(1)求出5,C兩點坐標，利用待定系數法求解；

131

(2)過尸點作PQ〃，軸交BC于點Q,設尸億-萬產+了+2),則-z+2),然后構建二次函數，利用

二次函數的性質求解.

13

【詳解】(1)解：?.?對于y=-5》2+：尤+2,

令龍=0,可得y=2,

.??5(0,2),

13

令y=0,可得/+—尤+2=0,

22

解得x=-l或4,

.?.A(-l,0),C(4,0),

設直線BC的解析式為y=kx+2,

4k+2=0,

解得左=I.

，直線BC的解析式為y=+2；

（2）解：過P點作尸。〃y軸交BC于點

131

P(t,——t2+—/+2),則Q。,--t+2),

1°311

...PQ=——t2+-t+2+-t-2=——t92+2t,

2222

.-.S=1x4x(-r+2力=-It2+4f=-2(r-I)2+2,

當f=l時，ABCP的面積最大，面積的最大值為2,此時尸(1,3).

S新題型特3

1.（24-25九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，二次函數y=-/+3x+4的圖象與x軸交于點A、B,與y軸

交于點C.點P是此函數圖象上在第一象限內的一動點，過點尸作PELx軸于點E,交BC于點、G,作PF1BC

，點C的坐標是,

（2）當S“PCB=6時，求出點尸的坐標;

⑶當APFG的周長最大時，求點P的坐標.

【答案】（1）（4,。），（0,4）

（2）。,6）或（3,4）

⑶（2,6）

【分析】本題主要考查考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法

求一次函數解析式等知識.

（1）分別令＞=0,x=0,即可求解;

（2）利用待定系數法可得直線的解析式為y=-x+4,設點尸的坐標為（機，-蘇+3機+4）,則點G的坐

標為（私-機+4）,可得PG=-痙+4加，再根據Lcs=6,建立方程求解即可;

（3）先證得△PfG是等腰直角三角形，可得PF=FG=*PG,設點尸的坐標為（",-/+3〃+4）,則點G

的坐標為（〃廠"+4）,可得PG=-〃2+4〃，進而可得△PPG的周長，運用二次函數的性質即可求得答案.

【詳解】（1）解：當y=。時，f；2+3x+4=0,

解得：士=4,%=-1,

3(4,0),4(-1,0),

當x=0時，y=4,

.?.點。（0,4）；

故答案為：（4,0）；（0,4）:

（2）解：設直線BC的解析式為，=履+6,

把點（4,0）,（0,4）代入得:

4k+b=0k=-l

b=4,解得:

b=4

/.直線BC的解析式為y=-x+4,

設點尸的坐標為。f2+3加+4）,則點G的坐標為（機-機+4）,

PG=(-府+3m+4)-(—m+4)=—m2+4m,

S/CB-6,

：.-PGxOB=6,

2

即:(-m2+4m)x4=6

解得：機=1或3,

???點P的坐標為（1,6）或（3,4）；

(3)解：??,點3(4,0)，點。(0,4),

OB=OC=4,

：.ZOBC=ZOCBf

丁ZBOC=90。,

???ZOBC=Z.OCB=45°,

????石，％軸，PF1BC,

/BEG=NPFG=90。,

：.ZPGF=ZBGE=45°,

???△瓦G是等腰直角三角形，

PF=FG=—PG,

2

設點尸的坐標為(〃-〃2+3〃+4),則點G的坐標為+4),

PG=(-n2+3〃+4)-(-〃+4)=-+4〃,

???的周長=PG+PF+FG

???當〃=2時，△尸尸G的周長最大，最大值為4亞+4,此時點尸的坐標為（2,6）.

2.（24-25九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，拋物線y=-%2+"+c與直線＞二犬+2相交于A（-2,0）,B（3,m）

兩點，與天軸相交于另一點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸是直線AB上方拋物線上的一個動點(不與43重合)，過點尸作直線尸軸于點￡),交直線

于點E,當PE=2￡D時，求尸點坐標；

(3)當點P運動到什么位置時，APAB的面積有最大值？

(4)拋物線上是否存在點M使的面積等于VA3C面積的一半？若存在，請直接寫出點M的坐標；若

不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=—Y+2x+8

⑵尸。，9)

【分析】(1)把3(3,m)代入y=x+2求出8(3,5),再用待定系數法可得拋物線的解析式為y=+2尤+8；

(2)設尸),-9+2/+8),則即J+2),￡>(f,0),由PE=2DE,可得一及+2r+8-。+2)=2。+2),解出f的值可

得戶的坐標為(1,9)；

(3)根據5必扉=：2￡4。+；尸￡/7列出二次函數解析式求解即可；

(4)過M作院〃〉軸交直線于K,求出C(4,0),知AC=6,可求出/謝=15,設“(機，-機'+2機+8),

則K(?v〃+2),可得及長=卜汴+m+&,s=||-m2+/77+6|,根據AABM的面積等于ABC面積的一半，

有+/"+6|=5xl5,可得—毋+刃+6=3或—+〃?+6=—3,解出加的值可得答案.

【詳解】(1)解：把8(3,加)代入y=.x+2得：加=3+2=5,

???8(3,5),

把A(—2,0),3(3,5)代入y=——+—+。得：

J-4—2Z?+c=0

[-9+3b+c=5'

\b=2

解得。,

[c=8

拋物線的解析式為y=-/+2x+8；

(2)解:設尸產+2f+8),則EQJ+2),D(f,0),

?;PE=2DE,

.,.-r2+2r+8-(r+2)=2(r+2),

解得t=l或r=-2(此時P不在直線A3上方，舍去)；

二.尸的坐標為(L9)；

⑶解：S^^PE-AD+^PE-h

^^PE\AD+h)

=-PEx5

2

.,?當機=：時，等，

，O

此時尸

(4)解：拋物線上存在點M,使△河1的面積等于VABC面積的一半，理由如下:

過M作研〃y軸交直線AS于K,過點2作3E_LMK,延長A/K交無軸于點尸，如圖:

解得％=-2或%=4,

.?.4—2,0),C(4,0),

.-.AC=6,

???3(3,5),

?*-SvABC=-X6X5=15,

設+2m+8),則K(m,m+2),

/.MK=|—m2+2m+8—(m+2)|=|—m2+m+6|

：

?S^M=^MK-BE+^MK-AF=^MK(BE+AF)=^MK-\XB-XA\

*,*S/BM=4一根2+加+6,5=總—加2+加+6卜

QVABM的面積等于VABC面積的一半,

/.—I—m2+m+6|=—xl5,

21I2

/.|—m2+m+6|=3,

-m2+機+6=3或-m2+m+6=-3,

解得m=1±恒或機=1±厲，

22

一的坐標為（子,匕為或占空，叮當或上產，百亙）或占產

【點睛】本題考查二次函數的圖像與性質，涉及待定系數法求函數解析式，拋物線與坐標軸交點問題，解

一元二次方程，三角形面積等知識，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度.

3.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖，已知拋物線,=依2+云+c(awO)的對稱軸為直線x=-l,

且拋物線經過A(1,O),C(O,3)兩點，與x軸交于點8.

⑴若直線＞=〃a+〃經過8,C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x=-l上找一點使舷4+MC的值最小，求點〃的坐標；

⑶設P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使ABPC為直角三角形的點P的坐標.

2

【答案】⑴y=x+3,y=-x-2x+3

⑵(T2)

⑶點P的坐標為(--2)或(-1,4)或卜，三步1或一1，上產］

【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、直角三角形的性質、點的對稱性等;

(1)用待定系數法即可求解；

(2)設直線BC與對稱軸x=-l的交點為跖則此時MA+MC的值最小，進而求解；

(3)分點B為直角頂點、點C為直角頂點、P為直角頂點三種情況，分別求解即可.

【詳解】(1)拋物線的對稱軸為直線x=-l,且拋物線經過A。，。)，

/.8(-3,0),

設拋物線的表達式為y=a(x-D(x+3),

將C(0,3)代入上式得：3=a(O-l)(O+3),解得。=—1,

，拋物線的解析式為：丁=-(%-1)(%+3)=-爐一2彳+3；

3=〃

把8(-3,0),。(0,3)代入'=〃箕+〃得：

0=—3m+n

n=3

，解得

m=l'

，直線的解析式為y=x+3；

(2)設直線BC與對稱軸x=-l的交點為則此時MA+MC的值最小,

把x=T代入直線尸*+3得y=2,故M(T,2),

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(-1,2)；

(3)設P(T。，

?.?3(-3,0),C(0,3),

ABC2=18,PB2=(-1+3)2+/12=4+?2,PC2=(r-3)2+l,

若點B為直角頂點時，貝I]BO?+pg=pc?,

即18+4+產=?-3)2+l,

解得t=-2；

若點C為直角頂點時，貝！JBP+PC?=P*,

BP18+(z-3)2+l=4+r

解得f=4,

若P為直角頂點時，則依2+尸。2=3。2,

4+產+(-3)2+1=18,

解得U延應，

2

綜上，點P的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或-1,藥翌或卜1,

4.如圖，二次函數的圖像與無軸交于4(-3,0)和3(1,0)兩點，交y軸與點C(0,3),點C,。是二次函數圖象

上的一對對稱點，一次函數的圖像過點B,D.

yyy

(i)求二次函數解析式；

(2)求出頂點坐標和點D的坐標；

(3)二次函數的對稱軸上是否存在的一點使ABOW的周長最小？若存在，求出M點坐標；若不存在，請

說明理由.

(4)若。是線段上任意一點，過點。作軸交拋物線于點P,則點尸坐標為多少時，尸。最長？

【答案】(1)y=-犬-2尤+3

⑵頂點坐標為(T4)；點C(0,3)關于對稱軸的對稱點D的坐標為(-2,3)；

⑶存在，Af(-1,2)

⑷點P坐標為時，尸。最長.

【分析】(1)由拋物線與無軸的交點坐標人(-3,0)和3(1,0),設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),將點

C(0,3)代入求得。的值，即可得到答案；

(2)由y=—(x+3)(尤一1)=一/-2尤+3=-"+1)2+4,得到頂點坐標，由拋物線的對稱軸為直線％=-1,得

到點D的坐標；

(3)要使ABCM的周長最小，只需MB+MC最小即可，點A和3關于直線x=-l對稱，連接AC交直線x=-l

于點求出直線AC的解析式，求得交點M的坐標即可；

(4)先求直線8D的解析式y=-x+l,設點尸的坐標是?,-/-2/+3),則點。的坐標是Q&f+l),表示

出尸。的長度，根據二次函數的性質求得最大值即可.

【詳解】(1)解：由拋物線與x軸的交點坐標A(-3,0)和3(1,0),設拋物線的解析式為廣。(彳+3乂彳-1),

將點C(0,3)代入，得：-3a=3,

解得：a=-l,

貝U拋物線的解析式為y=-(x+3)(x—l)=—f-2x+3.

(2)y=—(x+3)(尤一1)=—尤2—2尤+3=—(x+l)~+4,

，頂點坐標為(T,4),拋物線的對稱軸為直線x=-1,

點C(0,3)關于對稱軸的對稱點D的坐標為(-2,3)；

(3)存在，要使ABCM的周長最小，只需MB+MC最小即可，

:點4和B關于直線尤=-1對稱，連接AC交直線x=-1于點

，MB=MA,

則MB+MC=AM+MC2AC,

.?.點M滿足題意，

設直線AC的解析式為尸丘+旭,把點A(TO)和C(0,3)代入得,

]一3左+m=0

則3，

|m=3

[k=\

解得2，

[m=3

，直線AC的解析式為y=x+3,

設點M的坐標是“(T,〃)，

貝|]〃=-1+3=2,

即點M(-1,2)為所求.

(4)如圖,

設直線8￡>的解析式為y=PX+q,把點3(1,0)和點。(-2,3)代入得，

[0+4=0

[-2p+q=3'

解得尸；，

Iq=i

二直線8。的解析式為>=-尤+1,

設點尸的坐標是—2,+3),則點Q的坐標是Q&T+1),

則尸°=一/一2.+3—(—/+1)=——一/+2=—上+g[+',

a=-l<0,

19

.?.當/=一(時，PQ有最大值為

24

-2-+3=，

此時_/_2r+3=_]_g)X(1}T

即點尸坐標為,；，皆時，PQ最長.

【點睛】此題主要考查了二次函數幾何綜合題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

5.(2022.江蘇鎮江.中考真題)一次函數y=；x+l的圖像與X軸交于點A,二次函數y=加+法+。(。H0)的

圖像經過點A、原點。和一次函數y=gx+l圖像上的點-

圖1圖2

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)如圖1,一次函數丁=3+九｝>-2九W1)與二次函數丫=依2+樂+C("0)的圖像交于點0(西,%)、

7

D(x2,y2)(王<龍2)，過點C作直線/Jx軸于點E,過點O作直線軸，過點5作①，4于點尸.

①再=,x2=(分別用含〃的代數式表示)；

②證明：AE=BF；

(3汝口圖2,二次函數y=a(xT)2+2的圖像是由二次函數y=G2+bx+c(aH0)的圖像平移后得到的，且與

一次函數y=gx+l的圖像交于點p、Q(點P在點。的左側)，過點P作直線軸，過點。作直線

軸，設平移后點A、2的對應點分別為A、B',過點A作于點M，過點3'作B'N，。于點N.

①AM與3W相等嗎？請說明你的理由；

②若AM+33'N=2,求?的值.

【答案】(l)y=f+2x

(2)①-3-'9+也-3+J9+16”；②見解析

44

⑶①A'M=3'N,理由見解析；②3

【分析】(1)通過一次函數表達式可以求出A、2兩點坐標，將A、2、C三點坐標代入二次函數表達式即

可求解；

(2)①通過聯立關系式可得：^x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到占,當

的值；

②通過A(-2,0),6(-3-J9+1包二0)即可求出A2的長度;

通過嗚》即可求出政的長度;

（3）①通過二次函數平移前后的表達式可以確定新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移?+1）

個單位，向上平移3個單位得到的，從而可以得到：4。-1,3）,8,+看?）.通過聯立關系式可得：

1

（x-r）92+2=1x+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點八點。的橫坐標，通過坐標

即可表示出AM、B'N的長度.

②由①可得5-'8-15=’,求解即可.

42

【詳解】（1）令y=。，則1+1=0,解得槌=一2,

2

AA（-2,0）,

將點B1肛代入y=gx+l中，解得加=g,

???點B的坐標為（《,?）.

24

將A（-2,0）,,。（0,0）代入丁=依2+法+。（。H0）可得：

4〃一2b+<?—0c1

{^-a+^-b+c=^-,解得：<6=2,

424八

八c=0

c=0i

???二次函數的表達式為y=d+2x.

（2）①：一次函數y=；x+〃1與二次函數y=ox2+6x+c（aW0）的圖像交于點C（X［，x）、

。3％）（王<々），

，聯立關系式得：—x+n=x~+lx,

整理得：x1+-x-n=G,

2

9

得

解4--3-j9+16z?,_+匕+4〃_-3+J9+16”，

24

—3—19+16〃—3+《9+16”

故答案為:,X->—

424

②當〃>1時，CO位于A5的上方，?.?4（一2,0）、Bl

3一3+）+而二+J+4”-?+J+4〃

BF——2V4------12丫4

AE=-2-22

22222

JAE=BF,

9

當一時，C。位于45的下方，同理可證.

16

故可得：AE=BF；

（3）方法一：

①???二次函數y=f+2兄圖像的頂點為,

二次函數y=（x-y+2的圖像的頂點為億2）,

???新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移?+1）個單位，向上平移3個單位得到的.

4（-2,0）的對應點為A（I,3）,叫部勺對應點為

91

聯立關系式可得：（％-。+2=]%+1,

整理得：-（2/+萬）冗+，+1=。，

815

△=-----,

4

當/＞與時，解得：8=竺士巫三亙，*+1+反走,

8p464

,34f+l+V8r-155-V8/-154f+l—j8I5z,、5-y/8t-15

24444

AM=B'N.

②AM+3B'N=2,AM=B'N.

：.A'M=B'N=~,

2

.5—18t-151

??---------——,

42

解得f=3.

方法二：

①設P、Q平移前的對應點分別為P、Q',則P'Q'〃尸Q.

則尸'。'〃48,

B'平移前的對應點分別為A、B,

由（2）②及平移的性質可知，AM=B'N.

②；直M+3B'N=2,

：.A'M=B'N=~,

2

到y軸的距離為3，點。是y軸與二次函數y=Y+2x的圖像的交點，

平移后點0的對應點即為點Q.

???二次函數y=W+2尤圖像的頂點為（-1,-1）,

二次函數y=（x—）2+2的圖像的頂點為億2）,

...新二次函數的圖像是由原二次函數的圖像向右平移。+1）個單位，向上平移3個單位得到的.

.\Q（t+l,3）,將點Q的坐標代入y=*+l中,解得f=3.

另解：

AM+3B'N=2,

：.A'M=B'N=-,

2

叫,的對應點為8"+|,野

,/B'N=-,

2

???點。的橫坐標為r+1,代入產;x+i,得y=

++將點。的坐標代入y=（x-y+2中，解得f=3.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數表達式，聯立關系式求交點坐標及利用點的坐標表示線段的長

度，能夠熟練掌握函數中表示線段長度的方法，求交點坐標的方法，熟練掌握用公式法解一元二次方程是

解決本題的關鍵.

6.如圖，拋物線y=o?+6x+3交x軸于A（3,0）,3（-1,0）兩點，交V軸于點C,動點尸在拋物線的對稱軸

上.

備用圖

(1)拋物線的函數表達式為;

⑵當以P,B,C為頂點的三角形的周長最小時，求點尸的坐標及△PBC周長的最小值.

【答案】(1)>=--+2x+3；

⑵點P的坐標為(1,2),△P3C周長的最小值是3忘+W.

【分析】(1)將4(3,0),8(-1析)兩點代入即可求解;

(2)連接8尸、CP、AP,由二次函數對稱性可知，BP=AP,得至IjBP+CPnAP+CP,當C、P、A三點

共線時，△P3C的周長最小，由此求出AC解析式，將P點橫坐標代入解析式中即可求解；

本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數對稱性求線段最值問題，熟練掌握二次函數的性質是

解題的關鍵.

【詳解】(1)解：：拋物線y=i+6x+3交x軸于