高中數學：第 5章 三角函數（單元測試）

第5章三角函數（單元測試）

選擇題（共8小題）

1.已知點尸（tana,cosa）在第三象限，則角a的終邊在第幾象限（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】由題意，推導出（tan。確定a的象限，然后取得結果.

cosCI<0

【解答】解：丁尸（tana,cosa）在第三象限,

.卜ana<0

（cosCL<0

由tanaVO,得a在第二、四象限，

由cosaVO,得a在第二、三象限

???a在第二象限.

故選：B.

【點評】本題考查任意角的三角函數的定義，考查計算能力，是基礎題.

2.函數y=2sinH&xER的最小正周期為（）

6

JT71

A.12B.6C.—D._

126

【分析】由題意利用函數尸Asin（3x+（p）的周期為史，得出結論.

3

【解答】解：函數y=2sin'，xCR的最小正周期為等=12,

62L

6

故選：A.

【點評】本題主要考查函數y=Asin（3尤+隼）的周期性，利用了函數尸Asin（3x+cp）的周期為等，屬

于基礎題.

3.下列函數中，既是奇函數又在區間（-1,1）上是增函數的是（）

A.y——B.y—tawcC.y--sinrD.y—cosx

X

【分析】根據奇函數的定義可得〉=12展是奇函數，又丁=122在（-三，2L）為增函數可得在（-1,1）

22

內也為增函數.

【解答】解：對于A,y=工是奇函數，但在（-1,1）不是增函數，故A錯誤;

對于B,因為/（-無）=tan（-x）=-tanx--f（x）,

所以y=/（x）=tanx是（-1,1）上的奇函數，

=在（-1,1）上是遞增函數，故8正確；

對于C,y=-situ是奇函數，但在（-1,1）上不是增函數，故C錯誤;

對于。，y=cosx是偶函數，故。錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了函數奇偶性的性質與判斷，屬基礎題.

4.《九章算術》成書于公元一世紀，是中國古代乃至東方的第一部自成體系的數學專著.書中記載這樣一

個問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？"（一步=1.5米）意思是現有扇形田，弧長為

45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為（）

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【分析】根據扇形的面積公式計算即可.

【解答】解：根據扇形的面積公式，計算扇形田的面積為

S=1/r=」X45x21=270（平方米）.

222

故選：B.

【點評】本題考查了扇形的面積公式應用問題，是基礎題.

5.已知cosa上痣■，sin（a-P）=-HL,a,pe（0,-2_L）,則cos0的值（）

5102

A.叵B.瓜心C.叵D,1

2422

【分析】根據已知條件，結合三角函數的同角公式，以及余弦函數的兩角差公式，即可求解.

【解答】解：pe（0,2L）,-BF（上0)，

22

???a-B€(3，°>

cos(a-B)=Vl-sin2(CL-p)1-(

cosP=cos[a-(a-P)]=cosa?cos(a-0)+sina*sin(a-p)

故選：A.

【點評】本題考查了三角函數的同角公式，以及余弦函數的兩角差公式，需要學生熟練掌握公式，屬于基

礎題.

6.己知函數/(x)=sin(2x-A)(xGR)下列結論錯誤的是()

A.函數/(x)的最小正周期為TT

B.函數/(x)是偶函數

C.函數/(x)的圖象關于直線對稱

D.函數/(x)在區間［0,專］上是增函數

【分析】由條件利用誘導公式，余弦函數的周期性、奇偶性、單調性以及圖象的對稱性，判斷各個選項是

否正確，從而得出結論.

【解答】解：函數/(x)=sin(2x-5)=-cos2x,故它的最小正周期為m故A滿足條件；

顯然，它是偶函數，故2正確；

當尤=匹時，求得函數值y=O,不是最值，故/(x)的圖象不關于直線尤=匹對稱，故C錯誤；

44

在區間［0,上，/(x)=-cos2x是增函數，故。正確，

故選：C.

【點評】本題主要考查誘導公式，余弦函數的圖象和性質，屬于基礎題.

7.函數＞=2叭也2了的圖象可能是()

A.B.

【分析】直接利用函數的圖象和性質求出結果.

【解答】解：根據函數的解析式y=2%in2x,得到：函數的圖象為奇函數,

故排除A和2.

當尤=三時，函數的值也為0,

2

故排除C.

故選：D.

【點評】本題考查的知識要點：函數的性質和賦值法的應用.

8.函數/（%）=Asin（3X+CP）（A>0,00>0,I0|<三）的部分圖象如圖所示，若

且/（XI）=f（X2）（X1#X2）,則/（X1+X2）=（）

1D.烏

2

【分析】由圖象可得A=l,由周期公式可得3=2,代入點（工,0）可得（P值，進而可得/（x）=sin（2x+2L）,

33

再由題意可得X1+X2=1L,代入計算可得.

6

【解答】解：由圖象可得4=1,"=工一（工），解得3=2,

2336，

（無）=sin（2x+<p）,

代入點（三，0）可得sin（22L+（p）=0

33

:?上兀-+（p=內i,q）=^rr-左CZ

33

又i（pi〈_ZL,.*.（p=—,

23

.*./（x）=sin（2x+----）,

3

Asin（2X2L+2L）=1,即圖中點的坐標為（工，1）,

12312

又X],x2,且/'（XI）=/（X2）（XI力X2）,

尤1+X2=X2=￡_,

126

（xi+x2）=sin（2X__+_ZL）=」!_,

632

故選：D.

【點評】本題考查三角函數的圖象與解析式，屬基礎題.

多選題（共4小題）

(多選)9.下列選項中正確的是()

7

A.sin(a-3n)=sinaB.cos(a—JT)=-sin^

C.tan(-a-IT)=-tanaD.sin/冗一口)=cosQ

【分析】由題意利用誘導公式，逐一檢驗各個選項是否正確，從而得出結論.

【解答】解：Ysin(a-3n)=sin(a-n)=-sin(n-a)=-sina,故A不正確;

,cos(a兀)=cos(a兀)=-sina，故B正確；

tan(-a-n)=tan(-a)=-tana,故C正確；

,sin(微■兀-a)=sin*兀-a)=cosa，故°正確、

故選：BCD.

【點評】本題主要考查誘導公式的應用，屬于基礎題.

（多選）10.下列各式的值計算正確的是（）

A.sin30°cosO°=0°

B.2兀2?兀1

n--sin-T-+cos-7-=-1

66

C.M（tan55°-tan25°）-tan55°-tan25°=1

D.Jl-cos60。=1

V22

【分析】利用特殊角的三角函數值即可判斷A;利用誘導公式，二倍角公式利用判斷&利用兩角差的正切

公式即可判斷C；利用半角公式即可判斷D

【解答】解：因為sin30°cosO0=sin30°=1,所以A錯誤;

2

-sin2--+cos2-^—=cos2——-sin2—=cos—=A,所以B錯誤；

666632

因為tan30°=tan55。-tan250=近,所以?(tan55°-tan25°)=l+tan55°?tan25°，

l+tan55°tan2503

所以(tan55°-tan25°)-tan55°tan25°=1,所以C正確；

因為叵運田二=$m30。=1,所以。正確.

V22

故選：CD.

【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數值，誘導公式，二倍角公式，兩角差的正切公式，半角公式在

三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.

(多選)11.已知函數/(尤)的定義域是[0,+8),若/(無)滿足力'(X+1T)+f(X)=0,且當無e[0,TT]

時，f(x)=sinx,則()

A?得送

C./(x)有一單調增區間是(旦工，衛)

22

D.f(x)Wl

【分析】由函數的性質可得〃爸)—一‘八號)勺弓)，即可判斷4B；由函數的

性質可得函數在(里匚衛)上的解析式即可判斷C;由函數的性質可得當尤曰5，(n+1)川，”CN時,

22

f(x)=」-sin_x,即可判斷￡).

2n

【解答】解：由2f(x+n)+于(x)=0,可得/(x+ir)=--f(x),

(兀)

所以/(")=-f2-lsin2L=-X,故A錯誤；

22222

y(^2L)=------2=i_f(JL)=ASin2L=l,故3正確；

2242424

當尤e(3兀,2TT]時，f(無)=-f(X-兀)=-Asin(x-IT)=Asinr,

2222

當xe[2it,5兀)時，/(無)——f[X-兀)/(x-2TT)=Asin(尤-2TT)=Asinr,

22444

所以函數/(x)有一單調增區間是(號，號),故C正確；

當工€[0,n]時，f(x)=sinx,

當xe[Tt,2TT]時，f(無)=-f(>-"，’=-Asin(x-n)=Asinx,

222

當xe[2n,3TT]時，f(x)=-X_L^Z2L2_=_1/?(%-2it)=Asin(x-2n)=Asiiu',

當xe[wn,(w+1)n],weN時，f(x)=—^sinx,

2n

所以y(x)wi,故。正確.

故選：BCD.

【點評】本題主要考查了函數性質及三角函數的應用，考查了運算求解能力，合理轉化條件是解題的關鍵,

屬于中檔題.

(多選)12.若函數/(%)=cos(3尤-<p)(3>o,|0|<A)的兩相鄰對稱軸之間的距離為年，且

時，/(x)有最大值，則下列結論成立的是()

B.函數/(x)的一個單調遞減區間為A]

C.函數/(無)的圖象關于點(工，0)對稱

3

D.函數/(x)的圖象關于直線乂=上/對稱

【分析】由題意利用余弦函數的圖象和性質，得出結論.

【解答】解：,??函數/(x)=cos(a)x-(p)(3>0,|①|<三)的兩相鄰對稱軸之間的距離為三=三,

T?232

/.0)=2,

?二X二一春時，f3有最大值，A2X(一』-)-(p=o,求得(p=__2L,

63

故函數/(x)=cos(2%+-^-).

故/(_2L)=cos-2L=o,故A正確；

122

在區間[-2L,2L]±,2X+2LG[-―,里L],函數/(x)沒有單調性，故5錯誤;

4236

令％=三，求得/(%)=COS7T=-1,為最小值，故函數/G)的圖象關于直線X=2L對稱，故。錯誤；

33

令x=-22，求得/(x)=COS(-11)=-1,故函數/(X)的圖象關于直線x=對稱，故。正確,

33

故選：AD.

【點評】本題主要考查余弦函數的圖象和性質，屬于中檔題.

三.填空題(共4小題)

13.已知函數f(x)=asin2x+&cos2x，若f(x)4|f(三)|對一切xeR恒成立，則實數。的值為

V6—.

【分析】由題意可得當x=F時，/(X)取得最值，故有Y1/+好=±J至3，由此求得。的值.

622

【解答】解：函數f(x)=asin2x+，^c0s2x,若f(x)<|f(?二)|對一切xeR恒成立，

6

則當X=2L時，/(X)取得最值，.?.?+亞=±爪2+2,

622

則實數4=加，

故答案為：VG-

【點評】本題主要考查正弦函數的最值，屬于中檔題.

14.已知曲線丫=$111(a)x+2—)關于直線尤=1對稱，則|3|的最小值為——3__.

6—3―

【分析】利用y=siiu的對稱軸方程可得已知曲線的對稱軸方程，利用整體代換思想可求出<0的關系式，進

而求出結果.

【解答】解：因為曲線〉=5皿((0X+2L)關于直線X=1對稱，

6

所以3+兀,="+fcrr(kGZ),

62

所以3=2L+k兀(kez),

3

故答案為：2L.

3

【點評】本題考查了三角函數的對稱性，考查數學運算與邏輯推理的核心素養，屬于基礎題.

15.若;+：an：=2020,則一^-+tan2Cl=2020.

1-tanO-cos2a

【分析】把_1_+tan2a化弦為切，展開二倍角正切，整理后結合已知得答案.

cos2a

【解答】解：?.?瞥吟=2020，

1-tanCL

?1-=sin%+cos2a.2tanJ

?'cos2a+t&n2a-.2.―2^~

ms乙cos0--sinna1-tana

=tan2a+1+2tana=(1+tana)「1+tana=2020

1-tan2a1-tan2a1-tan2al_tanCl

故答案為：2020.

【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查倍角公式及同角三角函數基本關系式的應用，是基礎題.

16.關于函數/（%）=cos（2x-+cos（2尤+2L）,有下列命題:

①y=/（無）的最大值為加；

②y=/（無）是以n為最小正周期的周期函數;

③y=f（無）在區間（工，型上）上單調遞減；

2424

④將函數y=J5cos2x的圖象向左平移個單位后，將與己知函數的圖象重合.

24

其中正確命題的序號是①②③.（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

【分析】利用兩角和差的正余弦公式可把/（X）化為asin（2x*i^），進而利用正弦函數的性質即可判

斷出答案.

【解答】解：函數/(x)=cos(2x-+cos(2x+^~)=-^-cos2x+y?sin2x+^^~cos2x—z-sin2x

obZZNN

(Vlt^cos2x+V672s,n2x)^^sin⑵瑩)?

苧MX號sin2x-V2

...函數/（x）的最大值為近,因此①正確;

周期T=22L=兀，因此②正確；

2

當W（工，3_）時，（2X+^L）6（―.—因此y=/（x）在區間（生，型L）上單調遞

xtk2424'3萬二—22，2424

減，因此③正確；

將函數y=J5cos2x的圖象向左平移■個單位后，得至Uy=6cos2（x奇）

=6cos（2x+^）=&sin=-V2sin（2x—#亞sin（2x+^j^>因此④不

正確.

綜上可知：①②③.

故答案為①②③.

【點評】熟練掌握兩角和差的正余弦公式、正弦函數的性質是解題的關鍵.

四.解答題（共6小題）

tan（兀-a）cos（2兀-a）sin（-Q-+一0）

17.（1）化簡：---------------------------------------±—；

cos（-a-兀）sin（-兀-a）

（2）已矢口sin（a+_ZL）求cos（5兀+a）的值.

356

【分析】（1）由已知利用誘導公式，同角三角函數基本關系式即可化簡得解.

(2)由已知利用誘導公式化簡即可求解.

tan(兀-a)CQS(2兀-a)sin(-a4^—)、門x

【解答】解：(1)2=(-tana)-a?(—osna)=

cos(-a-兀)sin(一兀-a)(-cosa)-sina

■1;

(2)*.*sin(a+-2L)=_L,

35

/.cos(1嗎+01)=cos(-2L+_2L+a)=-sin(_ZL+a)=-A.

62335

【點評】本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算

能力和轉化思想，屬于基礎題.

18.已知cos(-ZL+x)=旦，求sinZx-乙sin*的值.

451-tanx

【分析】由已知可得cosx-sin%的值，平方可得sin^cosx的值，化簡原式，整體代入化簡可得.

【解答】解：cos(2-+%),亞(cosx-sinx)=3,

4525

cosx-sinx=±Jl-,平方可得1-2siiu:cos%=」亙，

525

.?.s?inxcosx=—7,

50

...sin2x-2sin2x=2sinx(cosx-sinx)=2sinxcosk二.

1-tanx|_sinx25

cosx

【點評】本題考查三角函數求值，涉及兩角和與差的三角函數公式，屬基本知識的考查.

19.設函數f(x)=cos+sin2x-

(1)求函數/(x)的單調遞減區間；

(2)若o<a<令-<B<兀，￡弓-一=1>f(旦/-)=0，求cosa的值.

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再根據正弦函數的單調性，求得函數/(x)的單調遞

減區間.

(2)利用同角三角函數的基本關系，求得sin0和cos(a+p)的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosa=

cos［(a+p)-0］的值.

2=：cos2xcos-

【解答】解：(1)f(x)=cos(2x-^-)4-sinx-^-sin2xsin^+-

^-5-sin2x.

2

當^^-+2k兀42x《￡~+2k兀，即［一^~+卜兀，f-+k兀］,蛇Z時，sin2x遞增，f(x)遞減.

所以，函數/(x)的單調遞減區間為［―+卜兀，千+k兀］(k€z)?

)=Pf(a)=0'^cosP=~~v_,sin(a+8)二零'

⑵由

Noo

???()<aB<加則a+Pe(￡'，'sinP=V1-cos2P=-

cos(a+§)=-^l-sin2(Q+p)==一零.

o

逅.(-返)^V6.V3272

故cosa=cos[(a+p)-p]=cos(a+0)cos0+sin(a+0)sin0=-=

33333

【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的單調性，同角三角函數的基本關系，兩角差的余弦公式

的應用，屬于基礎題.

“二斤l蛤c,\4COS4X-2COS2X-1

20.已知函數f(x)=---------------------------------

sin+x)sin(r~^~~x)

(i)求f(制L)的值；

(II)當x€［0,T-)時，求g(x)(x)+sin2x的最大值和最小值?

【分析】(1)利用二倍角的三角函數公式和誘導公式，對/(無)的分子分母進行化簡整理，約分可得/(x)

=2cos2x,由此即可算出f(二||L)的值;

(2)由(1)的結論，得g(x)=cos2x+sin2x=\歷sin(2乂正?>再根據x的取值范圍，結合正弦函數

的圖象與性質，即可得到g(x)的最大值為加,最小值為L

2+

【解答】解：(I)VCOS2X=1+COS2X,COS2X=1COS4X一x)=cos(----+x)

2244

(l+cos2x)2-2COS2X-1COS22X

?/兀\?/兀、/TT、.7T、

sin(-^-+x)sinsincos

22

2COS2X2COS2X「o八、

------------------=-------------=2cos2x-(4分)

.’兀、cos2x

sin{.-^-+2xJ

11H

因此,)=2cos(」？(6分)

'1266

(II)'：f(x)=2cos2羽

,,g(x)=cos2x+sin2x=V2sin(2x-“)…(8分)

?.x€[0,子)，可得2x46吁，等)…(10分)

???當X=^-時，g(X)=V2,當X=0時.gmin(X)=1

2IR3X

即g(x)(x)+sin2x的最大值為近，最小值為1?…(12分)

【點評】本題給出三角函數表達式，要求我們將其化簡成最簡形式并求函數g(x)的最大、最小值.著重

考查了三角函數的誘導公式、二倍角的三角函數公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題.

21.已知函數/(x)=Asin(3x+(p)(A>0,a)>0,|(p|<-ZL)在一個周期內的圖象如圖所示.

2

(1)求函數的解析式.

(2)求函數的單調遞增區間.

【分析】(1)由函數/(x)的圖象求得A、T和3、隼的值，即可寫出函數的解析式;

(2)由三角函數的圖象與性質，即可求/(x)的單調遞增區間；

(3)根據三角函數的圖象與性質，求出xHO,三］時/(x)的取值范圍即可.

2

【解答】解：(1)由函數/(無)=Asin(3x+(p)的圖象知，

a(限瑞)

所以=解得3=2；

3

由函數圖象過點(且L,o),

12

得2sin（?I_+（p）=0,

6

則5兀-+（P=E,蛇z,

6

因為⑷1<三，所以（p=?L

26

所以函數的解析式為了(x)=2sin(2x+—)；

6

(2)由函數/(x)的解析式，令-_ZL+2hrW2x+」Lw￡_+2ht,依Z；

262

解得-工+EW尤kez；

36

所以/(無)的單調遞增區間為[-工+如，2L+ku],比z；

36

(3)當xRO,工]時，2xe[O,u],

2

貝！J(2x+—)e[—,Z-L],

666

所以sin(2x+H-)e[-A,1],

62

則/(x)=2sin(2X+2L)的取值范圍是[-1,2].

6

【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題.

22.若/(x)=sin(23X-JL)的圖象關于直