2024-2025學年寧夏回族自治區高三上學期第一次月考數學檢測試題

2024-2025學年寧夏回族自治區高三上學期第一次月考數學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.已知函數為奇函數，為偶函數，當時，.則（）A.0 B. C.1 D.4.隨機變量的分布列如下表：-101若，則（）A. B. C. D.5.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.6.假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎上進步2%，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步1%.那么，大約需要經過（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數據：，，）A.85 B.100 C.150 D.2257.某市抽調5位老師分赴3所山區學校支教，要求每位老師只能去一所學校，每所學校至少安排一位老師.由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學校，則不同的分派方法的種數是（）A.124 B.246 C.114 D.1088.已知函數（且），若函數的值域為，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列運算結果為1的有（）A B. C. D.10.下列說法中正確的是（）A.函數的值域為B.函數的零點所在區間為C.函數與互為反函數D.函數與函數為同一函數11.設甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球，則（）A.從甲袋中每次任取一個球不放回，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到紅球的概率為B.從甲袋中隨機取出了3個球，恰好是2個白球1個紅球的概率為C.從乙袋中每次任取一個球并放回，連續取6次，則取得紅球個數的數學期望為4D.從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在二項式展開式中，常數項為__________.13.若函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是______.14.定義：表示不等式的解集中的整數解之和.若，，，則實數a的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知二次函數的圖象過點，且不等式的解集為.（1）求的解析式；（2）設，若在上是單調函數，求實數的取值范圍.16.甲、乙兩人進行知識答題比賽，每答對一題加20分，答錯一題減20分，且賽前兩人初始積分均為60分，兩人答題相互獨立.已知甲答對每題的概率均為，乙答對每題的概率均為，且某道題兩人都答對的概率為，都答錯的概率為.（1）求，的值；（2）乙回答3題后，記乙的積分為，求的分布列和期望.17.已知函數.（1）試判斷的奇偶性，并說明理由；（2）試判斷在上的單調性，并用定義證明；（3）求在上的值域.18.已知函數.（1）當時，求的值域；（2）若最小值為-3，求m的值；（3）在（2）的條件下，若不等式有實數解，求實數a的取值范圍.19.“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本.”在中華民族幾千年綿延發展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律.愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發動機進行科技改造，根據市場調研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數據統計如下：23468101321222324251322314250565868.5686756666當時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定y與x滿足的線性回歸方程為.（1）根據下列表格中的數據，比較當時模型①、②的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“東方紅”款汽車發動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關指數，.）（2）為鼓勵科技創新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預測依據，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小；（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式；）（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發動機的熱效率X大幅提高，X服從正態分布，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發動機的熱效率不超過50%，不予獎勵；若發動機的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發動機獎勵2萬元；若發動機的熱效率超過53%，每臺發動機獎勵5萬元.求每臺發動機獲得獎勵的數學期望.（附：隨機變量服從正態分布，則，.）

答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【正確答案】B【分析】解指數不等式化簡集合A，再利用交集的定義直接求解.【詳解】集合，而，所以.故選：B2.【正確答案】C【分析】對于ABD：舉反例分析判斷；對于C：根據不等式的性質分析判斷.【詳解】對于選項A：若，則，故A錯誤；對于選項B：若滿足，則，故B錯誤；對于選項C：若，則，即，故C正確；對于選項D：若滿足，則，故D錯誤；故選：C.3.【正確答案】D【分析】依題意可得是以4為周期的函數，則，從而計算可得；【詳解】解：因為為奇函數，所以，①將①中的替換為得.②因為為偶函數，所以，③由②③得，則，所以是以4為周期的函數，故.故選：D4.【正確答案】A【分析】由分布列中概率和為1和期望的值可以計算出的值，代入方差公式可以計算方差.【詳解】解：∵，由表中數據可知，解得.又，∴.所以.故選：A5.【正確答案】A【分析】利用函數的性質和特值法對不符合題意的選項加以排除，即可得出答案.【詳解】因為，所以，定義域為；因為，所以，故，所以為奇函數，排除B，當逼近于，逼近于0，排除D，由，，則，排除C，故選：A.6.【正確答案】B【分析】根據給定信息，列出方程，再利用指數式與對數式的互化關系求解即可.【詳解】令甲和乙剛開始的“日能力值”為1，天后，甲、乙的“日能力值”分別、，依題意可得，即，兩邊取對數得，因此，所以大約需要經過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故選：B7.【正確答案】C【分析】利用分布乘法計數原理，根據排列及間接法計算.【詳解】設學校為，先把甲乙兩人安排到不同學校，有種，不妨設甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用間接法計算，有種不同安排方法，根據分步乘法計數原理可知，共有6×19=114種不同安排方法.故選：C8.【正確答案】B【分析】分析可知當時，，由題意可知當時，則的值域包含，分和兩種情況，結合指數函數性質分析求解.【詳解】當時，則，且，所以，若函數的值域為，可知當時，則的值域包含，若，則在內單調遞減，可得，不合題意；若，則在內單調遞增，可得，則，解得；綜上所述：實數a的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.【正確答案】選：CD.10.【正確答案】ABC【分析】根據函數性質分別判斷各選項.【詳解】A選項：函數，當時，取最小值為1，所以函數的值域為；B選項：因為函數在上單調遞增，所以函數至多有一個零點，且，，所以其零點所在區間為，B選項正確；C選項：，即，可得，所以函數與函數互為反函數，C選項正確；D選項：函數與函數的定義域均為，，，不為同一函數，D選項錯誤；故選：ABC.11.【正確答案】ACD【分析】根據古典概型公式，結合組合公式，依次判斷選項.【詳解】A.在第一次取到白球的條件下，則甲袋中還有2個白球和4個紅球，所以第二次取到紅球的概率為，故A正確；B.從甲袋中隨機取出了3個球，恰好是2個白球1個紅球的概率，故B錯誤；C.設紅球個數為，，則數學期望，故C正確；D.第一種情況，若是從甲袋中取到2個白球放入乙袋，則概率，第二種情況，若是從甲袋中取到1個白球和1個紅球放入乙袋，則概率，第三種情況，若是從甲袋中取到2個紅球放入乙袋，則概率，所以從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【正確答案】60【分析】求得二項式展開式的通項為，令，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，二項式展開式的通項為，令，可得，即展開式的常數項為60.故60.13.【正確答案】【分析】令，由題設易知在上為增函數且恒大于零，根據二次函數的性質列不等式組求的取值范圍.【詳解】由題設，令，而為增函數，∴要使在上是增函數，即在上為增函數且恒大于零，，可得，∴的取值范圍是.故14.【正確答案】【分析】利用給定定義構造不等式，按分類討論并結合函數大致圖象，建立關系式求解即得.【詳解】由給定的定義知，為滿足的整數解的和，當時，在同一坐標系內作出函數和的大致圖象，如圖：，，，，因此的解集包含，，不符合題意；當時，，由，解得或，在內有3個整數解1，2，3，即，因此，符合題意；當時，作出函數和的大致圖象，如圖，若，又，且，所以不等式的整數解為1，2，3.只需滿足，即，解得.所以時，實數的取值范圍為.故四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設，代入點的坐標求出的值，即可求出函數解析式；（2）首先表示出，從而確定其對稱軸，依題意得到或，解得即可【小問1詳解】因為不等式的解集為，所以和1為關于的方程的兩根，且二次函數的開口向上，則可設，，即，由的圖象過點，可得，解得，所以，即.【小問2詳解】因為，對稱軸，因為在上是單調函數，所以或，解得或，即實數的取值范圍.16.【正確答案】（1），（2）分布列見解析，【分析】（1）借助相互獨立事件的乘法公式可得方程組，解出該方程組即可得；（2）得出的所有可能取值后計算相應概率即可得分布列，借助分布列計算即可得其期望.【小問1詳解】由題意可得，解得；【小問2詳解】的可能取值為0，40，80，120，，，，，則其分布列為：04080120.17.【正確答案】（1）偶函數，理由見解析（2）單調遞增，證明見解析（3）【分析】（1）根據題意，由函數奇偶性的定義即可判斷；（2）根據題意，由函數單調性的定義即可判斷；（3）根據題意，由函數的單調性代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】是偶函數.易得，其定義域為.因為，所以是偶函數.【小問2詳解】在上單調遞增.證明如下，任取，則，因為，所以，則，所以，則，故在上單調遞增.【小問3詳解】由（2）得在上單調遞增，所以，，故在上的值域為.18.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用換元法將函數轉化為二次函數在定區間求值域問題，根據二次函數的性質計算即可；（2）分類討論，結合二次函數的性質計算即可；（3）利用分離參數法將問題轉化為有解，利用基本不等式計算的最小值解不等式即可.【小問1詳解】設，∵，∴，，其對稱軸方程為，故函數在上單調遞增，所以，故所求值域為；【小問2詳解】∵函數的最小值為-3，，若，在上單調遞增，沒有最小值；若時，可知時，y取得最小值；即，解得或（舍去），綜上，；【小問3詳解】由題意，有實數解，即，可得，要使此不等式有解，只需即可，∵（當且僅當時取等號），，∴，解得，即實數a的取值范圍為.20.【正確答案】（1）回歸模型②刻畫的擬合效果更好，72.93億元；（2）答案見解析；（3）2.4305萬元.【分析】（1）根據公式比較可得模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好.根據模型②的回歸方程計算可得結果；（2）用最小二乘法求出當時，y與x滿足的線性回歸方程，再通過計算比較可得答案；（3）根據正態曲線的對稱性和兩個特殊區間的概率求出分布列，根據數學期望公式計算可得結果.【詳解】（1）由表格中的數據，有182.4>