內蒙古烏蘭察布市集寧地區(qū)2025屆數學高一上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

內蒙古烏蘭察布市集寧地區(qū)2025屆數學高一上期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數的零點一定位于區(qū)間（）A. B.C. D.2．若冪函數的圖象經過點，則的值為（）A. B.C. D.3．已知函數f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值為8，則實數a的取值屬于以下哪個范圍()A.(5，6) B.(7，8)C.(8，9) D.(9，10)4．已知點，，，且滿足，若點在軸上，則等于A. B.C. D.5．已知a，b，c∈R，a>bAa2>bC.ac>bc D.a-c>b-c6．已知正方形的邊長為4，動點從點開始沿折線向點運動，設點運動的路程為，的面積為，則函數的圖像是（）A. B.C. D.7．方程的解所在區(qū)間是（）A. B.C. D.8．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為（）A. B.C. D.9．已知圓（，為常數）與．若圓心與圓心關于直線對稱，則圓與的位置關系是（）A.內含 B.相交C.內切 D.相離10．若函數的定義域和值域都為R，則關于實數a的下列說法中正確的是A.或3 B.C.或 D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知一組數據的平均數，方差，則另外一組數據的平均數為___________，方差為___________.12．A是銳二面角α-l-β的α內一點，AB⊥β于點B，AB=，A到l的距離為2，則二面角α-l-β的平面角大小為________.13．設奇函數在上是增函數，且，若對所有的及任意的都滿足，則的取值范圍是__________14．邊長為2的菱形中，，將沿折起，使得平面平面，則二面角的余弦值為__________15．第24屆冬季奧林匹克運動會（TheXXIVOlympicWinterGames），即2022年北京冬季奧運會，計劃于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運會設7個大項，15個分項，109個小項．某大學青年志愿者協會接到組委會志愿者服務邀請，計劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者，參與北京冬奧會高山滑雪比賽項目的服務工作．已知大一至大三的青年志愿者人數分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應選派__________人.16．已知圓：,為圓上一點,、、,則的最大值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數過定點，函數的定義域為.（Ⅰ）求定點并證明函數的奇偶性；（Ⅱ）判斷并證明函數在上的單調性；（Ⅲ）解不等式.18．已知函數（其中，，）圖象上兩相鄰最高點之間距離為，且點是該函數圖象上的一個最高點（1）求函數的解析式；（2）把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若恒有，求實數的最小值.19．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，點D是AB的中點（1）求證：CD⊥平面A1ABB1；（2）求證：AC1∥平面CDB120．甲地到乙地的距離大約為240，某汽車公司為測試一種新型號的汽車的耗油量與行駛速度的關系，進行了多次實地測試，收集到了該車型的每小時耗油量Q（單位：）與速度v（單位：）（）的數據如下表：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為了描述汽車每小時耗油量與速度的關系，現有以下三種模型供選擇：①；②；③.（1）選出你認為最符合實際的函數模型，并說明理由；（2）從甲地到乙地，該型號的汽車應以什么速度行駛才能使總耗油量最少？21．已知集合.（1）當時，求；（2）當時，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據零點存在性定理，若在區(qū)間有零點，則，逐一檢驗選項，即可得答案.【詳解】由題意得為連續(xù)函數，且在單調遞增，，，，根據零點存在性定理，，所以零點一定位于區(qū)間.故選：C2、C【解析】由已知可得，即可求得的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：C.3、A【解析】根復合函數的單調性，得到函數f(x)的單調性，求解函數的最小值f(x)min＝8，構造新函數g(a)＝a＋log2a－8，利用零點的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，根復合函數的單調性，可得函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數，在(－∞，0)上遞減，所以函數f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8，令g(a)＝a＋log2a－8，a>0，則g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函數，所以實數a所在的區(qū)間為(5，6)【點睛】本題主要考查了函數的單調性的應用，以及零點的存在定理的應用，其中解答中根據復合函數的單調性，求得函數的最小值，構造新函數，利用零點的存在定理求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.4、C【解析】由題意得，∴設點的坐標為，∵，∴，∴，解得故選：C5、D【解析】對A，B，C，利用特殊值即可判斷，對D，利用不等式的性質即可判斷.【詳解】對A，令a=1，b=-2，此時滿足a>b，但a2<b對B，令a=1，b=-2，此時滿足a>b，但1a>1對C，若c=0，a>b，則ac=bc，故C錯；對D，∵a>b∴a-c>b-c，故D正確.故選：D.6、D【解析】當在點的位置時，面積為，故排除選項.當在上運動時，面積為，軌跡為直線，故選選項.7、C【解析】判斷所給選項中的區(qū)間的兩個端點的函數值的積的正負性即可選出正確答案.【詳解】∵,∴,,，,∴,∵函數的圖象是連續(xù)的,∴函數的零點所在的區(qū)間是.故選C【點睛】本題考查了根據零存在原理判斷方程的解所在的區(qū)間,考查了數學運算能力.8、D【解析】答案：D左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點，連起來就可以得到答案9、B【解析】由對稱求出，再由圓心距與半徑關系得圓與圓的位置關系【詳解】，，半徑為，關于直線的對稱點為，即，所以，圓半徑為，，又，所以兩圓相交故選：B10、B【解析】若函數的定義域和值域都為R，則.解得或3.當時，，滿足題意；當時，，值域為{1}，不滿足題意.故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.32②.135【解析】由平均數與方差的性質即可求解.【詳解】由題意，數據的平均數為，方差為.故答案為：；12、【解析】如圖，過點B作與，連，則有平面，從而得，所以即為二面角的平面角在中，，所以,所以銳角即二面角的平面角的大小為答案：點睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通過解三角形的方法求得角，解題時要注意所求角的范圍13、【解析】由題意得，又因為在上是增函數，所以當，任意的時，，轉化為在時恒成立，即在時恒成立，即可求解.【詳解】由題意，得，又因為在上是增函數，所以當時，有，所以在時恒成立，即在時恒成立，轉化為在時恒成立，所以或或解得：或或，即實數的取值范圍是【點睛】本題考查函數的恒成立問題的求解，求解的關鍵是把不等式的恒成立問題進行等價轉化，考查分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.14、【解析】作，則為中點由題意得面作，連則為二面角的平面角故，，點睛：本題考查了由平面圖形經過折疊得到立體圖形，并計算二面角的余弦值，本題關鍵在于先找出二面角的平面角，依據定義先找出平面角，然后根據各長度，計算得結果15、10【解析】根據分層抽樣原理求出抽取的人數【詳解】解：根據分層抽樣原理知，，所以在大一青年志愿者中應選派10人故答案為：1016、53【解析】設,則,從而求出,再根據的取值范圍,求出式子的最大值.【詳解】設,因為為圓上一點,則,且,則(當且僅當時取得最大值),故答案為:53.【點睛】本題屬于圓與距離的應用問題,主要考查代數式的最值求法.解決此類問題一是要將題設條件轉化為相應代數式;二是要確定代數式中變量的取值范圍.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）定點為，奇函數，證明見解析；（Ⅱ）在上單調遞增，證明見解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）根據解析式可求得定點為，即可得解析式，根據奇函數的定義，即可得證；（Ⅱ）利用定義法即可證明的單調性；（Ⅲ）根據的單調性和奇偶性，化簡整理，可得，根據函數的定義域，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】（Ⅰ）函數過定點，定點為，，定義域為，.函數為奇函數.（Ⅱ）上單調遞增.證明：任取，且，則.，，，，，即，函數在區(qū)間上是增函數.（Ⅲ），即，函數為奇函數在上為單調遞增函數，，，解得：.故不等式的解集為：【點睛】解題的關鍵是熟練掌握函數奇偶性、單調性的定義，并靈活應用，在處理單調性、奇偶性綜合問題時，需要注意函數所有的自變量都要在定義域內，方可求得正確答案.18、（1）（2）最小值為4【解析】（1）由圖象上兩相鄰最高點之間的距離為，可知周期,點是該函數圖象上的一個最高點,可知,故，將點代入解析式即可得，函數解析式即可求得；（2）利用函數平移的性質即可求得平移后的函數，由恒有，可知函數在處取得最大值，即可求出實數取最小值.【小問1詳解】根據題意得函數的周期為，即,故，∵點是該函數圖象上的一個最高點，∴，即，將點代入函數解析式得，，即,則，又∵，∴,故.【小問2詳解】∵函數，∴∵恒有成立，∴在處取得最大值,則，，得∵，，故當時，實數取最小值4.19、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）欲證CD⊥平面A1ABB1，可先證平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，滿足根據面面垂直的性質；（2）欲證AC1∥平面CDB1，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AC1與平面CDB1內一直線平行，連接BC1，設BC1與B1C的交點為E，連接DE．根據中位線可知DE∥AC1，DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，滿足定理所需條件【詳解】（1）證明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1∵AC=BC，點D是AB的中點，∴CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB∴CD⊥平面A1ABB1（2）證明：連接BC1，設BC1與B1C的交點為E，連接DE∵D是AB的中點，E是BC1的中點，∴DE∥AC1．∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題20、（1）最符合實際的模型為①，理由見解析（2）從甲地到乙地，該型號的汽車以80的速度行駛時能使總耗油量最少【解析】（1）根據定義域和單調性來判斷；（2）根據行駛時間與單位時間的耗油量得到總耗油量的函數表達式，再求最小值的條件即可.【小問1詳解】依題意，所選的函數必須滿足兩個條件：定義域為，且在區(qū)間上單調遞增.由于模型③定義域不可能是.而模型②在區(qū)間上是減函數.因此，最符合實際