《基本計數原理》

北師大版同步教材精品課件《基本計數原理》教學設計一、創新情景,導入新課某省高考狀元,順利考取清華大學.(課件展示:清華大學校園有關圖片)問題1:開學了,她要從家到北京,一天中直達火車有3班,直達飛機有2班,那么她一天中乘坐這些交通工具從家到北京共有多少種不同的走法？問題2:去北京途中,她想先乘火車從家到另一地方拜訪一位親戚,第二天再從該地乘飛機去北京.假設她乘火車從家到親戚家,每天火車有3班,一天后乘飛機從親戚家到北京,每天飛機有2班,那么她從家到北京共有多少種不同的走法？設計意圖:通過某省高考狀元的形象激發學生的學習熱情,也為本節課的問題設計提供了一條主線索.問題1是分類加法計數原理的例子,問題2是分步乘法計數原理的例子,這兩個實例通俗易懂,便于學生對比分析理解兩個計數原理.二、精讀教材,概念類比1.分類加法計數原理問題1:從甲地到乙地,可以乘飛機,可以乘火車,也可以乘輪船,還可以乘汽車.每天有2個班次的飛機,有4個班次的火車,有2個班次的輪船,有1個班次的汽車,那么,乘坐以上交通工具中的一種從甲地到乙地,在一天中共有多少種選擇呢？設計意圖:從貼近學生實際生活的實例出發,讓學生明白本節課的教學內容,激發學生的學習興趣.師生互動:教師提問,學生回答.師:要完成的事情是什么？能一步到位嗎？師:完成這件事情采用什么方案？檢查一下有遺漏嗎？(分類要不重不漏)教學設計教學設計師:每類方案能獨立完成這件事情嗎？關鍵詞是什么？(分類要類類獨立)師:每類方案中各自不同的方法數是多少？師:完成這件事情的所有方法數是多少？(結果用加法)學生最后得出問題的答案:如圖,該問題需要完成的是從甲地到乙地共有多少種方法.所有方法可以分成乘飛機、火車、輪船、汽車4類辦法,每類辦法中分別又有2,4,2,1種方法.于是,乘坐以上交通工具從甲地到乙地,共有2+4+2+1=9種方法.教師引導學生總結,解決以上問題的步驟如下:(1)求完成一件事的所有方法數,這些方法可以分為n類,且類與類之間兩兩不交;(2)求每一類中的方法數:(3)把各類的方法數相加,就可以得到完成這件事的所有方法數.抽象概括:分類加法計數原理:完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類種方法…在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有種方法.(也稱“加法原理”)師:你能舉出生活中的一些分類加法計數問題嗎？學生舉例,教師適當評價.設計意圖:運用歸納、從特殊到一般的思想方法,培養學生的數學抽象能力；通過問題、辦法中有教學設計m1教學設計歸納、操作確認、解釋說明等環節,得出分類加法計數原理,最后通過學生舉例,使學生進一步理解加法原理.練習:(1)某一數學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明,有7名同學只會用綜合法證明,有2名同學只會用分析法證明,現從這些同學中任選1名同學證明這個問題,不同的選法種數為(

)A.9B.14C.12D.21答案

A解析共有7+2=9種不同的選法.(2)已知兩條異面直線a,b上分別有5個點和8個點,則這13個點可以確定不同的平面個數為(

)A.40B.16C.13D.10答案

C解析根據直線與直線外一點可以確定一個平面,得a上任一點與直線b確定一平面,共5個;b上任一點與直線a確定一平面,共8個.由分類加法計數原理,得共有5+8=13個.2.分步乘法計數原理問題2:春節到了,某同學要與父母一起參加家庭聚會.(1)她有3件不同的上衣,4條不同的褲子,如果把1件上衣和1條褲子看作一種搭配方法,教學設計問題探究4那么共有多少種搭配方法？(2)她還有5雙不同的鞋子,如果把1件上衣、1條褲子和1雙鞋子看作一種搭配方法,那么共有多少種搭配方法？師:你能說說該問題的特征嗎？分析:(1)我們先看褲子的選擇方法數,有4條不同的褲子,則有4種選擇方法;每一條褲子對應3件不同的上衣,如圖所示因此,根據分類加法計數原理,共有N=3+3+3+3=3×4=12種搭配方法.(2)由題意知還有5雙不同的鞋子,且每一雙鞋子對應的褲子和上衣的搭配方法有12種,如圖所示.教學設計因此,根據分類加法計數原理,共有V=12+12+12+12+12=12×5=3×4×5=60種搭配方法.若再考慮圍巾、帽子等因素,則可以按照類似的思路繼續進行,實際上,我們可以發現,問題(1)是分兩步完成,第1步確定褲子有4種選擇方法,第2步確定每一條褲子對應3件上衣;問題(2)是在問題(1)的基礎上確定每一雙鞋子對應12種褲子和上衣的搭配方法,即需要分三步完成.師生互動:由教師提問學生回答的方式進行.學生已經有了學習加法原理的基礎,本知識點可以讓學生回答,如果回答不全面,那么由教師引導完成師:你能舉出生活中的一些分類乘法計數問題嗎？學生舉例,教師適當評價.設計意圖:借助具體問題,使學生理解分步乘法計數原理;通過設問、學生舉例,加深教學設計學生對乘法原理的理解教師引導學生共同分析以上問題的特點:教學設計完成一件事需要經過n個步驟;完成每一步有若干種方法,且每一步對其他步沒有影響;把各個步驟的方法數相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數.抽象概括:分步乘法計數原理:完成一件事需要經過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方種不同的方法…做第n步有mn法,做第2步有m2種不同的方法,那么,完成這件事共有

種方法.(也稱“乘法原理”)注:各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數相乘得到完成這件事的所有方法數,又稱乘法原理.教學設計設計意圖:由特例到定義的設計思路讓學生理解乘法原理的概念.練習:(1)甲,乙兩人從4門課程中各選修1門,則甲、乙所選的課程不相同的選法共有(

)A.6種B.12種C.30種D.36種答案

B解析因為甲、乙兩人從4門課程中各選修1門,所以由乘法原理可得甲、乙所選的課程不相同的選法共有4×3=12種;(2)給一些書編號,準備用3個字符,其中首字符用A,B,后兩個字符用a,b,c(允許重復),則不同編號的書共有(

)教學設計A.8本B.9本C.12本D.18本答案

D解析完成這件事可以分為三步.第一步確定首字符,共有2種方法;第二步確定第二個字符,共有3種方法;第三步確定第三個字符,共有3種方法.所以不同編號的書共有2×3×3=18本.三、典例探究例1在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數共有多少個？解能夠被5整除的數,末位數字是0或5,因此,我們把1,2,3,…,200中能夠被5整除的數分成2類來計數:教學設計第1類,末位數字是0的數,共有20個:第2類,末位數字是5的數,共有20個,根據分類加法計數原理,在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數共有N=20+20=40個.例2如圖,從A村到B村的道路有3條,從B村到C村的道路有2條,從C村到D村的道路有3條,李明要從A村先到B村,再經過C村,最后到D村,共有多少條線路可以選擇？解先考慮李明從A村經過B村到C村:從A村到B村的道路有3條,從B村到C村的道路有2條,因此李明從A村經過B村到C村可以分成3類,每一類都有2種不同的方法,共有2+2+2=2×3=6條線路可以選擇.教學設計因此,整個行程可以理解為共有N=2×3×3=18條線路可以選擇.教師指出:分步乘法計數原理的本質實際上是分類加法計數,事實上,可以把第一步的m1種不同的方法看成有m1類,只不過每一類的方法數是相同的,因此可以運用乘法表示加法.例3有一項活動,需在3名教師、8名男學生和5名女學生中選人參加(1)若只需1名參加,共有多少種選法？(2)若需教師、男學生、女學生各1名參加,共有多少種選法？解

(1)只要選出1名就可以完成這件事,而選出的1名有3種不同類型,即教師、男學生或女學生,因此要分3類相加:第1類,選出的是教師,有3種選法;第2類,選出的是男學生,有8種選法;教學設計第3類,選出的是女學生,有5種選法,根據分類加法計數原理,共有N=3+8+5=16種選法.(2)完成這件事,需要分別選出1名教師、1名男學生和1名女學生,可以先選教師,再選男學生,最后選女學生,因此要分3步相乘:第1步,選1名教師,有3種選法;第2步,選1名男學生,有8種選法;第3步,選1中女學生,有5種選法.根據分步乘法計數原理,共有N=3×8×5=120種選法.設計意圖:學以致用,通過例題鞏固對兩個計數原理的理解,通過對比兩個計數原理以及不同的解題思路,讓學生體會兩個計數原理在實際生活中的應用.教學設計四、課堂小結師:分類加法計數原理與分步乘法計數原理有何區別與聯系？由學生小組總結如下:分類加法計數原理與分步乘法計數原理的區別和聯系:分類加法計數原理分步乘法計數原理聯系目的相同:都要“做一件事并完成它”所問相同:即問“共有多少種不同的方法”區別一完成一件事共有n類辦法,關鍵詞是“分類”完成一件事共分n個步驟,關鍵詞是“分步”區別二每類辦法都能獨立完成這件事,每一種辦法都是獨立的且每次得到的是最后結果,只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有每個步驟完成了,才能完成這件事區別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯的、獨立的,“關聯”確保不遺漏,“獨立”確保不重復教學設計設計意圖:小結提升,培養學生逐步養成善于總結的良好學習習慣:突破重點,掌握分類加法計數原理與分步乘法計數原理的區別和聯系.五、布置作業教材第158頁習題5-1A組第1~6題.板書設計1.分類加法計數原理:完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類種方法…在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有N=m1+m2+…+mn(也稱“加法原理”)2.分步乘法計數原理:完成一件事需要經過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法…做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有種方法(也稱“乘法原理”)3.例題例1例2例3m2種方法板書設計4.小結分類加法計數原理分步乘法計數原理聯系目的相同:都要“做一件事開完成它所問相同:即問“共有多少種不同的方法”區別一完成一件事共有n類辦法,關鍵詞是“分類”完成一件事共分n個步驟,關鍵詞是“分步”區別二每類辦法都能獨立完成這件事,每一種辦法都是獨立的且每次得到的是最后結果,只需一種方法就可完成這件事每一步得到