初高中數學銜接知識練習

初高中數學知識銜接(一)

一元二次不等式(一)

【知識要點】

1.二次函數y=ax：+bx+c(aWO)對稱軸為；頂點坐標為；

開口方向.

你能作二次函數的圖象嗎？作二次函數圖象的關鍵是什么？(能畫出草圖即可)

2.一元二次不等式：含有一個末知數且末知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不

等式，其一般形式是：ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0(a^O).

3.用區間表示不等式

【典型例題】

1.已知二次函數y=x2-x-6,根據其圖象解答下列問題:

(1)寫出對應拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；

(2)當x取何值時，y=0；

(3)當x取何值時，y>0；

(4)當x取何值時，y<0；

(5)就函數y=4x?+4x+l再回答上述問題.

2.試根據二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象，討論下列不等式的解集(用區間表示):

(1)ax2+bx+c>0(a>0)；(2)ax2+bx+c<0(a>0).

【鞏固練習】

1.試用區間表示下列實數x的集合：

(1)0〈xWl表示為；(2)x《l表示為

(3)x>a表示為.

2.把下列二次式寫成a(x-h)2+k的形式：

(1)2X2-3X+1=；(2)1-X_3X2=；

(3)ax?+bx+c(aWO)=.

3.二次函數y=x2+4x-l的定義或為；值域為

(用區間表示)

4.寫出下列不等式(組)的解集：(用區間表示)

5x+6>4x

(1)x(x-l)》(x-2)(x+3):

15-9x<10-4x

x-3(x-2)<4

(3)\l+2x,.

------->x-1----------------------

3

5.已知二次函數y=ax?+bx+c(aWO),當x分別取0和1時對應的函數值y均為4,又函數

9

有最大值+求這二次函數的表達式.

6.試作出二次函數丫-2*2+5乂+3的圖象，并回答下列問題

(1)寫出對應拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；

(2)當x取何值時，y=O；

(3)當x取何值時，y>0；

(4)當x取何值時，y<0.

§2.一元二次不等式(二)

【知識要點】

1.一元二次不等式：含有一個末知數且末知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不

等式，其一般形式是：ax2+bx+c>0,或ax24-bx+c<0(a7t0).

2.一次分式不等式：——->0或——-<0(aWb).

x+bx+b

【典型例題】

1.解下列不等式：

(1)2X2-3X-2>0(2)-3x2+6x22(3)4x2-4x+l>0(4)

-X2+2X-3>0

v—33—2x

2.你能解不等式：普皿中外嗎?

3.若a￡R且a<0,解關于x的不等式：x2+(a+l)x+a>0；若a>0,你還會解這個不等式嗎？

4.(1)求滿足不等式(X2-2X+3)(X2-2X-3)<0的整數解.

(2)若關于x的不等式(aT)x2+(aT)x+l>0恒成立，求實數a的取值范圍.

(3)若關于x的不等式(aT)x2+(aT)x+l<0恒成立，你能求實數a的取值范圍嗎？

【鞏固練習】

1.寫出下列不等式的解集：

(1)3X2-7X+2<0______________；(2)-6X2-X+2W0

____________________,

(2)4X2-12X+9W0(4)X2-3X+5>0

—_______?

____________________?

2.寫出下列不等式的解：

2x-l八3x4-1c

⑴-->0(2)-——>0

x+21-X

3.要使J12-有意義,則實數x的取值范圍為.

4.關于x的一元二次方程mx2+(m-l)x+m=0有實根，則實數m的取值范圍是.

5.解不等式：0vx'x-2v4.

6.若關于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍.

§3.二次函數的最值(一)

【知識要點】

b^cic—I)?

二次函數y=ax?+bx+c(a>0)在x=----時，有最小值y=----------

la4a

b4/zc—力2

二次函數y=ax2+bx+c(a<O)^Ex=----時，有最大值y=---------.

2a4a

二次函數在給定區間上的最值問題是高中數學學習中需要解決的一個重點問題。

【典型例題】

1.二次函數/?(*)=，-2*-3在下列區間上何時取到最小值？最小值為多少？

(l)(-co,+co);(2)[0,2];(3)(2,5];

(4)[-3,0|;(5)(-1,4]；(6)(-oo,3b

最大值呢？并說出此函數在區間(2)、(5)、(6)上的值域.

2.設a、夕是方程4，一4帆x+/〃+2=0(xeR)的兩實根，當m為何值時，a?+/2

有最小值？求出這個最小值.

3.已知函數/(X)=X2-2X+3在定義域上的值域為[2,3]，求正數m的取值范圍.

【思考】已知函數/(x)=l-2a-2ax+2x2在定義域|一1,1|上的最小值為m(a),求m(a)

的表達式。

【鞏固練習】

1.求下列函數的值域：

(1)y=2x2+3x-7(-1<x<1).

23

(2)j=x-x+4(—<x<2).

(3)j=-x2-2x4-3(-5<x<0).

(4)j=x-yx2(-3<x<4).

2.已知2x—3x<0,貝U函婁［f(x)=x?+x+1----------------------------------()

33

(A)有最小值二，但無最大值；(B)有最小值:，有最大值1;

44

19

(C)有最小值1,有最大值一；(D)無最小值，也無最大值.

4

3.函數y=%?-4OX+2Q+6(〃￡K),其值域為［0,+8),則a=.

4.已知函數/(x)=-%2+2x+〃2-5a+l(xN2)有最大值一5,則a=.

6,設/(x)=〃/+〃x+c(a>0),已知一<----<3,則f(x)在［-2,3］上有一()

22a

(A)最大值f(—2),最小值f(―--)；(B)最大值f(---),最小值/(—2)；

2a2a

(C)最大值f(3),最小值/(—二)；(D)最大值/(一二)，最小值/(3).

2a2a

7.求函數/(x)=ax2-ax+b(a<0)在區間［1,2］上的最值.

8.已知x、ywR且3》2+2y2=9x,分別求x與x?+y：的取值范圍.

【思考】

設二次函數/(x)=-/+垢+1一。在區間［0,1］上的最大值為2,求實數a的值。

§4.二次函數的最值(二)

【知識要點】

二次函數/(x)=a(x-/〃)2+〃(a工0)，其中xw［c,d］,貝(J

f(m),c<m<df(m),c<m<d

當a>0時fmin=?f(c),tn<c:當a<0時/max=?f(c),tn<c

f(d),m>d/(d),m>d

當a>0時，函數/(x)的最大值又如何呢？分幾種情況加以討論？

【典型例題例題】

1.設函數/(X)=X2+|X-2|-1,xeR.求函數f(x)的最小值.

2.已知f(x)=-X②+(4a-2)x-32+鉆，且xe[0,2],試討論f(x)的最值情況.

3.是否存在正實數a、b,使當時，函數/(x)=的值域是［2-兒2-回,

若存在，求a、b的值；若不存在，請說明理由。

【鞏固練習】

1.下列函數中，與函數了=2*2-4*-1有相同值域的是----------------------()

(A)y=3x-9(x<2)；(B)y--x2+l(x>2)；

3

(C)y=-(-1<x<0)；(D)y=3x2-6x(x>0).

x

2.已知二次函數y=2*2-1在區間［q,切上有最小值一i,則下面關系式一定成立的是

()

(A)a<0<〃或a<0<；(B)a<0<b；

(C)a<b<0或a<0<Z>；(D)0<fl<〃或a<<0.

3,已知函數+》x+c(a<0)的對稱軸方程為x=3,試寫出f(-l),f(l)、f(4)的

大小關系.

4.函數y=—x2_2?x(04x41)的最大值是/,那么實數a取值范圍

是.

5.如果函數了=*2+2*-3-。2,對于xe［1,3］上的圖像都在x軸的下方，則a的取值

范圍是.

6.設函數'在［-1,1］上的最大值是3,求a的值.

22

7.f(x)=x2+4x+3,teR,函數g(t)表示函數f(x)在區間+上的最小值，求g(t)

的表達式.

8.已知若函數/(x)=or?-2x+1在［1,3］上最大值為M(a),最小值為m(a),

令g(a尸M(a)—m(a),求g(a)的函數表達式.

§5.二次方程根的討論

【典型例題】

1.關于x的方程為x2+(m+1)x4-1=0

(1)若方程的兩實根都在(0,+8)上，求實數m的取值范圍；

(2)若方程的兩實根都在(，，+8)上，求實數m的取值范圍；

2

(3)若方程的兩實根都在(0,2)±,求實數m的取值范圍；

(4)請歸納：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>O)的兩實根都在同一區間［m,n］上的等價條件，并

解答：

關于x的方程2x2-3x+2m=0的兩根都在卜1,1］上，求實數m的取值范圍.

2.已知關于x的方程為7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的兩個實根為a,6.

(1)若一根小于0,另一根大于0,求實數a的取值范圍；

(2)若一根小于0,另一根大于2,求實數a的取值范圍；

(3)若0<a<lvp<2,求實數a的取值范圍；

(4)請歸納：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩實根都在不同區間內的等價條件.

3.關于x的方程4、+(a+4)2x+l=0有解，求實數a的取值范圍.

【鞏固練習】

1.若關于x的二次方程2(k+l)x2+4kx+3k-2=0的兩根同號，則實數k的取值范圍為——

()

(A)(-2,1)(B)[-2,-l)Y(pl]

22

(C)(-a)-l)Y(-,-Ko)(D)(-2-l)Y(-,l)

2.已知關于x的方程(m+3)x2-4mx+2mT=0的兩根異號，且負根的絕對值大于正根，則實

?,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,

()

(A)(-3,0)(B)(0,3)

(C)(-8,-3)u(0,+8)(D)(-8,o)(j(3,+8)

3.求實數m的取值范圍，使關于x的方程x2+2(m-l)x+2m+6=0

(1)有兩個實根，且都大于1;

(2)有兩個實根，且一根小于2,另一根大于2；

(3)有兩個實根a,B,且0<a<l<6<4.

4.已知關于x的方程為x2+(p+2)x+l=0.

(1)若方程無正根，求實數p的取值范圍；

(2)若方程在(-8,0)上有解，求實數p的取值范圍.