2025屆吉林省長春市九臺市師范高級中學數學高一下期末調研模擬試題含解析

2025屆吉林省長春市九臺市師范高級中學數學高一下期末調研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．數列中，對于任意，恒有，若，則等于()A． B． C． D．3．直線l：與圓C：交于A，B兩點，則當弦AB最短時直線l的方程為A． B．C． D．4．函數f（x）=log3（2﹣x）的定義域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]5．已知向量，，若，則銳角α為()A．45° B．60° C．75° D．30°6．△中，已知，，，如果△有兩組解，則的取值范圍（）A． B． C． D．7．不等式的解集是A．或 B．或C． D．8．設和分別表示函數的最大值和最小值，則等于（）A． B． C． D．9．已知，，，則的最小值為A． B． C． D．410．在中，，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正項等比數列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.12．設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，下列四個命題正確的是________．①若l⊥β，則α⊥β；②若α⊥β，則l⊥m；③若l∥β，則α∥β；④若α∥β，則l∥m.13．方程在區間的解為_______.14．設α為第二象限角，若sinα=3515．在等差數列中，已知，，則________.16．設變量滿足條件，則的最小值為___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知關于，的方程：表示圓.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）若，過點作的切線，求切線方程.18．從甲、乙兩班某項測試成績中各隨機抽取5名同學的成績，得到如圖所示的莖葉圖.已知甲班成績數據的中位數為13，乙班成績數據的平均數為16.（1）求x，y的值；（2）試估計甲、乙兩班在該項測試中整體水平的高低.（注：方差，其中為的平均數）19．“精準扶貧”的重要思想最早在2013年11月提出，到湘西考察時首次作出“實事求是，因地制宜，分類指導，精準扶貧”的重要指導。2015年在貴州調研時強調要科學謀劃好“十三五”時期精準扶貧開發工作，確保貧困人口到2020年如期脫貧。某農科所實地考察，研究發現某貧困村適合種植A、B兩種藥材，可以通過種植這兩種藥材脫貧。通過大量考察研究得到如下統計數據：藥材A的畝產量約為300公斤，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：編號12345年份20152016201720182019單價(元/公斤)1820232529藥材B的收購價格始終為20元/公斤，其畝產量的頻率分布直方圖如下：（1）若藥材A的單價（單位：元/公斤）與年份編號具有線性相關關系，請求出關于的回歸直線方程，并估計2020年藥材A的單價；（2）用上述頻率分布直方圖估計藥材B的平均畝產量，若不考慮其他因素，試判斷2020年該村應種植藥材A還是藥材B？并說明理由.附：，.20．已知向量，，且函數.若函數的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為.（Ⅰ)求函數的解析式；（Ⅱ)若方程在時，有兩個不同實數根，，求實數的取值范圍，并求出的值；（Ⅲ)若函數在的最大值為2，求實數的值.21．已知是等差數列，設數列的前n項和為，且，，又，.（1）求和的通項公式；（2）令，求的前n項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據所給等式，用表示出，代入中化簡，令并構造函數，結合函數的圖像與性質即可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，由解得，因為，所以，則由可得，令，.所以畫出，的圖像如下圖所示：由圖像可知，函數在內的值域為，即的取值范圍為，故選：D.【點睛】本題考查了由等式求整式的取值范圍問題，打勾函數的圖像與性質應用，注意若使用基本不等式，注意等號成立條件及自變量取值范圍影響，屬于中檔題.2、D【解析】因為,所以

,

.選D.3、A【解析】

先求出直線經過的定點，再求出弦AB最短時直線l的方程.【詳解】由題得，所以直線l過定點P.當CP⊥l時，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選：A【點睛】本題主要考查直線過定點問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解析】試題分析：利用對數函數的性質求解．解：函數f（x）=log3（1﹣x）的定義域滿足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函數f（x）=log3（1﹣x）的定義域是（﹣∞，1）．故選C．考點：對數函數的定義域．5、D【解析】

根據向量的平行的坐標表示，列出等式，即可求出．【詳解】因為，所以，又為銳角，因此，即，故選D．【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示．6、D【解析】由正弦定理得A+C=180°-60°=120°，

由題意得：A有兩個值，且這兩個值之和為180°，

∴利用正弦函數的圖象可得：60°＜A＜120°，

若A=90，這樣補角也是90°，一解，不合題意，＜sinA＜1，

∵x=sinA，則2＜x＜故選D7、C【解析】

把原不等式化簡為，即可求解不等式的解集.【詳解】由不等式即，即，得，則不等式的解集為，故選C．【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中把不等式對應的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉化為幾個代數式的乘積形式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、C【解析】

根據余弦函數的值域，確定出的最大值和最小值，即可計算出的值.【詳解】因為的值域為，所以的最大值，所以的最小值，所以.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數的最值問題，難度較易.求解形如的函數的值域，注意借助余弦函數的有界性進行分析.9、C【解析】

化簡條件得，化簡，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，知，可得，則，當且僅當時，即時取得等號，所以，即的最小值為，故選C．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、B【解析】

利用余弦定理、三角形面積公式、正弦定理，求得和，通過等式消去，求得的兩個值，再判斷三角形的形狀.【詳解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【點睛】本題在求解過程中對存在兩組解，要注意解答的完整性與嚴謹性，綜合兩種情況，再對的形狀作出判斷.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由已知求出公比，然后由求出滿足的關系，最后求出的所有可能值得最小值．【詳解】設數列公比為，由得，∴，解得（舍去），由得，，∵，所以只能取，依次代入，分別為2，，2，，，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等比數列的性質，考查求最小值問題．解題關鍵是由等比數列性質求出滿足的關系．接著求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本題實質上由于，因此對應的只有5個，可以直接代入求值，然后比較大小即可．12、①【解析】

由線面的平行垂直的判定和性質一一檢驗即可得解.【詳解】由平面與平面垂直的判定可知，①正確；②中，當α⊥β時，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；③中，l∥β時，α，β可以相交；④中，α∥β時，l，m也可以異面．故答案為①.【點睛】本題主要考查了線面、面面的垂直和平行位置關系的判定和性質，屬于基礎題.13、或【解析】

由題意求得，利用反三角函數求出方程在區間的解．【詳解】解：，得，，或，；方程在區間的解為：或．故答案為：或．【點睛】本題考查了三角函數方程的解法與應用問題，是基礎題．14、-【解析】

先求出cosα，再利用二倍角公式求sin2α【詳解】因為α為第二象限角，若sinα=所以cosα=所以sin2α故答案為-【點睛】本題主要考查同角三角函數的平方關系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、-16【解析】

設等差數列的公差為，利用通項公式求出即可.【詳解】設等差數列的公差為，得，則.故答案為【點睛】本題考查了等差數列通項公式的應用，屬于基礎題.16、-1【解析】

根據線性規劃的基本方法求解即可.【詳解】畫出可行域有：因為.根據當直線縱截距最大時,取得最小值.由圖易得在處取得最小值.故答案為：【點睛】本題主要考查了線性規劃的基本運用,屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

（Ⅰ）根據圓的一般方程表示圓的條件,可得關于的不等式,即可求得的取值范圍.（Ⅱ）將代入,可得圓的方程,化為標準方程.討論斜率是否存在兩種情況.當斜率不存在時,可直接求得直線方程;當斜率存在時,由點斜式設出直線方程,結合點到直線的距離即可求得斜率,即可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）若方程表示圓則解得故實數的取值范圍為（Ⅱ）若,圓：①當過點的直線斜率不存在時,直線方程為圓心到直線的距離等于半徑,此時直線與相切②當過點的直線斜率存在時,不妨設斜率為則切線方程為,即由圓心到直線的距離等于半徑可知,解得,即切線方程為綜上所述,切線方程為或【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系的應用,圓的一般方程與標準方程的關系和轉化,屬于基礎題.18、（1），；（2）乙班的整體水平較高【解析】

（1）由莖葉圖數據以及平均數，中位數的定義求解即可；（2）分別計算出甲乙兩班的方差，得出，所以乙班的整體水平較高.【詳解】（1）由莖葉圖知甲班成績數據依次為9，12，，20，26所以中位數為，得；乙班成績數據的平均數，得.（2）乙班整體水平較高.理由：由題意及（1）得因為，所以乙班的整體水平較高.【點睛】本題主要考查了利用莖葉圖計算平均數，中位數以及方差的應用，屬于中檔題.19、（1），當時，；（2）應該種植A種藥材【解析】

(1)首先計算和,將數據代入公式得到回歸方程,再取得到2020年單價.(2)計算B藥材的平均產量,得到B藥材的總產值,與(1)中A藥材作比較,選出高的一個.【詳解】解:(1),,當時，(2)利用概率和為1得到430—450頻率/組距為0.005B藥材的畝產量的平均值為:故A藥材產值為B藥材產值為應該種植A種藥材【點睛】本題考查了回歸方程及平均值的計算，意在考察學生的計算能力.20、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解析】

（Ⅰ)根據三角恒等變換公式化簡，根據周期計算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調性，計算最值和區間端點函數值，從而得出的范圍，根據對稱性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關于的二次函數，討論二次函數單調性，根據最大值列方程求出的值．【詳解】（Ⅰ）∵，，∴若函數的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為，則函數的周期，∴，即，∴（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，當時，∴若方程在有兩個不同實數根，則.∴令，，則，，∴函數在內的對稱軸為，∵，是方程，的兩個不同根，∴（Ⅲ）因為，所以，令，則.∴又∵，由得，∴.（1）當，即時，可知在上為減函數，則當時，由，解得：，不合題意，舍去.（2）當，即時，結合圖象可知，當時，，由，解得，滿足題意.（3）當，即時，知在上為增函數，則時，，由得，舍去綜上，或為所求.【點睛】本題考查了平面向量的數量積的運算，三角函數的恒等