河南省南陽市內鄉縣高中2024屆高一數學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

河南省南陽市內鄉縣高中2024屆高一數學第二學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設等比數列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α∥β,mα,nβ，則m∥n B．若α⊥β，mα,則m⊥βC．若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n D．若α∥β，mα，則m∥β3．已知集合，則().A． B． C． D．4．如圖，、兩點為山腳下兩處水平地面上的觀測點，在、兩處觀察點觀察山頂點的仰角分別為、若，，且觀察點、之間的距離為米，則山的高度為()A．米 B．米 C．米 D．米5．我國古代數學名著九章算術記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．646．設為實數，且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．7．如圖,已知平行四邊形,,則()A． B．C． D．8．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C．3 D．29．將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數A．在區間上單調遞增 B．在區間上單調遞減C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞減10．如圖，在中，若，，，用表示為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角、、所對應邊分別為、、，，的平分線交于點，且，則的最小值為______12．已知向量，的夾角為，若，，則________.13．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.14．的值為__________.15．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的側面積為________.16．直線過點且傾斜角為,直線過點且與垂直,則與的交點坐標為____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數（其中）的圖象如圖所示：（1）求函數的解析式及其對稱軸的方程；（2）當時，方程有兩個不等的實根，求實數的取值范圍，并求此時的值.18．如圖，在長方體中，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．19．已知從甲地到乙地的公路里程約為240（單位：km）.某汽車每小時耗油量Q（單位：L）與速度x（單位：）（）的關系近似符合以下兩種函數模型中的一種（假定速度大小恒定）：①，②，經多次檢驗得到以下一組數據：x04060120Q020（1）你認為哪一個是符合實際的函數模型，請說明理由；（2）從甲地到乙地，這輛車應以多少速度行駛才能使總耗油量最少？20．的內角所對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．21．已知圓經過、、三點．（1）求圓的標準方程；（2）若過點的直線被圓截得的弦的長為，求直線的傾斜角．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由，，聯立方程組，求出等比數列的首項和公比，然后求．【詳解】解：若，則，顯然不成立，所以．由，，得，，所以，所以公比．所以．或者利用，所以．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數列的前項和公式的應用，要求熟練掌握，特別要注意對公比是否等于1要進行討論，屬于基礎題．2、D【解析】

在中，與平行或異面；在中，與相交、平行或；在中，與相交、平行或異面；在中，由線面平行的性質定理得．【詳解】由，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，知：在中，若，，，則與平行或異面，故錯誤；在中，若，，則與相交、平行或，故錯誤；在中，若，，，則與相交、平行或異面，故錯誤；在中，若，，則由線面平行的性質定理得，故正確．故選．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．3、B【解析】

求解一元二次不等式的解集，化簡集合的表示，最后運用集合交集的定義，結合數軸求出.【詳解】因為，所以，故本題選B.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的運算，正確求解一元二次不等式的解集、運用數軸是解題的關鍵.4、A【解析】

過點作延長線于，根據三角函數關系解得高.【詳解】過點作延長線于，設山的高度為故答案選A【點睛】本題考查了三角函數的應用，屬于簡單題.5、A【解析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據三視圖中的數據可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據三視圖中的數據，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.6、C【解析】

本題首先可根據判斷出項錯誤，然后令可判斷出項和項錯誤，即可得出結果。【詳解】因為，所以，故錯；當時，，故錯；當時，，故錯，故選C。【點睛】本題考查不等式的基本性質，主要考查通過不等式性質與比較法來比較實數的大小，可借助取特殊值的方法來進行判斷，是簡單題。7、A【解析】

根據平面向量的加法運算，即可得到本題答案.【詳解】由題，得.故選：A【點睛】本題主要考查平面向量的加法運算，屬基礎題.8、A【解析】

由圓柱的側面展開圖是矩形，利用勾股定理求解．【詳解】圓柱的側面展開圖如圖，圓柱的側面展開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側面上從到的最短路徑為線段，.故選：A．【點睛】本題考查圓柱側面展開圖中的最短距離問題，是基礎題．9、A【解析】

由題意首先求得平移之后的函數解析式，然后確定函數的單調區間即可.【詳解】由函數圖象平移變換的性質可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數的單調遞增區間滿足：，即，令可得一個單調遞增區間為：.函數的單調遞減區間滿足：，即，令可得一個單調遞減區間為：，本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查三角函數的平移變換，三角函數的單調區間的判斷等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10、C【解析】

根據向量的加減法運算和數乘運算來表示即可得到結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查根據向量的線性運算，來利用已知向量表示所求向量；關鍵是能夠熟練應用向量的加減法運算和數乘運算法則.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、18【解析】

根據三角形面積公式找到的關系，結合基本不等式即可求得最小值.【詳解】根據題意，，因為的平分線交于點，且，所以而所以，化簡得則當且僅當，即，時取等號，即最小值為.故答案為：【點睛】本題考查三角形面積公式和基本不等式，考查計算能力，屬于中等題型12、【解析】

由，展開后進行計算，得到的值，從而得到答案.【詳解】因為向量，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查求向量的模長，向量的數量積運算，屬于簡單題.13、.【解析】

根據棱錐的結構特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑．【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．【點睛】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎題.14、【解析】

由反余弦可知，由此可計算出的值.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查正切值的計算，涉及反余弦的應用，求出反余弦值是關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

先求出四棱錐的底面對角線的長度，結合勾股定理可求出四棱錐的高，然后由圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，可知四條側棱的中點連線為正方形，其對角線為圓柱底面的直徑，圓柱的高為四棱錐的高的一半，分別求解可求出圓柱的側面積.【詳解】由題可知，四棱錐是正四棱錐，四棱錐的四條側棱的中點連線為正方形，邊長為，該正方形對角線的長為1，則圓柱的底面半徑為，四棱錐的底面是邊長為的正方形，其對角線長為2，則四棱錐的高為，故圓柱的高為1，所以圓柱的側面積為.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，考查了學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.16、【解析】

通過題意，求出兩直線方程，聯立方程即可得到交點坐標.【詳解】根據題意可知，因此直線為：，由于直線與垂直，故，所以，所以直線為：，聯立兩直線方程，可得交點.【點睛】本題主要考查直線方程的相關計算，難度不大.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），.【解析】

（1）根據圖像得A=2,利用，求ω值，再利用時取到最大值可求φ，從而得到函數解析式，進而求得對稱軸方程；（2）由得，方程f（x）＝2a﹣3有兩個不等實根轉為f（x）的圖象與直線y＝2a﹣3有兩個不同的交點，從而可求得a的取值范圍，利用圖像的性質可得的值.【詳解】（1）由圖知，,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ),當時，函數取得最大值，可得，即，，解得，又所以，故，令則，所以的對稱軸方程為；（2），所以方程有兩個不等實根時，的圖象與直線有兩個不同的交點，可得,當時，，有，故.【點睛】本題考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數解析式，考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象及性質的綜合應用，屬于中檔題．18、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解析】

（1）連接，交于，則為中點，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結合平面，可知平面平面；（3）連接，由（2）知，平面平面，可知即為與平面的夾角，求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于，則為中點，連接OP，∵P為的中點，∴，∵OP?平面，?平面，∴平面；（2）證明：長方體中，，底面是正方形，則AC⊥BD，又⊥面，則．∵?平面，?平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：連接，由（2）知，平面平面，∴即為與平面的夾角，在長方體中，∵，∴．在中，．∴直線與平面的夾角為．【點睛】本題考查了線面平行、面面垂直的證明，考查了線面角的求法，考查了學生的空間想象能力和計算求解能力，屬于中檔題.19、（1）選擇模型①，見解析；（2）80.【解析】

（1）由題意可知所選函數模型應為單調遞增函數，即可判斷選擇；（2）將，代入函數型①，可得出的值，進而可得出總耗油量關于速度的函數關系式，進而得解.【詳解】（1）選擇模型①理由：由題意可知所選函數模型應為單調遞增函數，而函數模型②為一個單調遞減函數，故選擇模型①.（2）將，代入函數型①，可得：，則，總耗油量：，當時，W有最小值30.甲地到乙地，這輛車以80km/h的速度行駛才能使總耗油量最少.【點睛】本題考查函數模型的實際應用，考查邏輯思維能力，考查實際應用能力，屬于常考題.20、（1）；（2）5.【解析】

（1）根據正弦定理得，化簡即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面積．【詳解】（1）因為，根據正弦定理得，又，從而，由于，所以．（2）根據余弦定理，而，，，代入整理得，解得或（舍去）．故的面積為．【點睛】本題主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.21、（1）；（2）或.【解析】

（1）設出圓的一般方程，然后代入三個點的坐標，聯立方程組可解得；（2）討論直線的斜率是