平行四邊形的判定完整版

平行四邊形本課內容本節內容2.2——2.2.2

平行四邊形的判定(pàndìng)第一頁，共三十頁。動腦筋

從平移把直線變成與它平行的直線受到啟發，你能不能從一條線段(xiànduàn)AB

出發，畫出一個平行四邊形呢？圖2-20第二頁，共三十頁。

如圖2-20，把線段AB

平移到某一位置，得到線段DC，則可知AB∥DC

，且AB=DC.由于點A，B的對應點分別是點D，C，連接AD，BC，由平移的性質(xìngzhì):兩組對應點的連線平行且相等，即AD∥BC.由平行四邊形的定義可知四邊形ABCD是平行四邊形.圖2-20第三頁，共三十頁。

實際上，上述問題抽象出來就是(jiùshì)：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？如圖2-21，已知AB∥DC

，且AB=DC

，如果連接AC，也可證明四邊形ABCD是平行四邊形，請你完成這個證明過程.圖2-21第四頁，共三十頁。結論由此得到平行四邊形的判定(pàndìng)定理1：一組對邊平行(píngxíng)且相等的四邊形是平行(píngxíng)四邊形.第五頁，共三十頁。舉例例5

已知：如圖2-22，在□ABCD的邊BC，AD

上分別取一個點E，F，使得，

.連結BF，DE.

求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

圖2-22第六頁，共三十頁。證明(zhèngmíng)

由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此(yīncǐ)AD∥BC，AD=BC.因此(yīncǐ)BE=FD.又BE∥FD，所以四邊形BEDF是平行四邊形.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.)圖2-22第七頁，共三十頁。動腦筋

如圖2-23，用兩支同樣長的鉛筆和兩支同樣長的鋼筆能擺成一個平行四邊形的形狀嗎？把上述問題抽象出來(chūlái)就是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形嗎？圖2-23第八頁，共三十頁。∴∠1=∠2.下面我們(wǒmen)來證明這個結論.如圖2-24，在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，連接(liánjiē)AC.∵

AB=CD，BC=DA，AC=CA

，∴△ABC≌△CDA.∴

四邊形ABCD是平行(píngxíng)四邊形（一組對邊平行(píngxíng)且相等的四邊形是平行四邊形）.則AD∥BC.圖2-24第九頁，共三十頁。結論由此得到(dédào)平行四邊形的判定定理2：兩組對邊分別(fēnbié)相等的四邊形是平行四邊形.第十頁，共三十頁。如圖2-25，在四邊形ABCD中，△ABC≌△CDA.求證(qiúzhèng)：四邊形ABCD是平行四邊形.例6∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=DC

，AD=BC.證明：∵△ABC≌△CDA，圖2-25舉例第十一頁，共三十頁。如圖，在□ABCD中，AE=CF.

求證：四邊形EBFD是平行四邊形.練習1.∵□ABCD，∴AB=CD且

EB∥FD

.證明又AE=CF，∴BE=DF.∴四邊形EBFD是平行四邊形.第十二頁，共三十頁。2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，BC=AD，E，F

分別是邊BC，AD的中點.找出圖中所有的平行四邊形，并且(bìngqiě)說出理由.練習解：□ABCD：兩組對邊分別相等(xiāngděng)的四邊形是平行四邊形.

□ABEF和□

FECD：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.第十三頁，共三十頁。

觀察(guānchá)圖2-26，從“平行四邊形的對角線互相平分”這一性質受到啟發，你能畫出一個平行四邊形嗎？動腦筋圖2-26第十四頁，共三十頁。

過點O畫兩條線段AC，BD，使得(shǐde)OA=OC，OB=OD.

連結AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD是平行四邊形，如圖2-27.

你能說出這樣畫出的四邊形ABCD一定(yīdìng)是平行四邊形的道理嗎？圖2-27圖2-27第十五頁，共三十頁。由于(yóuyú)OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD因此(yīncǐ)△OAB≌△OCD.(SAS)從而(cóngér)

AB=CD，∠ABO=∠CDO.于是AB∥DC.同理BC∥AD所以四邊形ABCD是平行四邊形.第十六頁，共三十頁。結論對角線互相(hùxiāng)平分的四邊形是平行四邊形.由此得到平行四邊形的判定(pàndìng)定理3：第十七頁，共三十頁。已知：如圖2-28，在□ABCD的對角線AC和

BD相交于點O，點E，F在BD上且OE=OF.求證：四邊形AECF是平行四邊形.舉例例7圖2-28第十八頁，共三十頁。證明(zhèngmíng)：由于(yóuyú)四邊形ABCD是平行四邊形，因此(yīncǐ)

OA=OC.所以四邊形AECF是平行四邊形.又OE=OF，圖2-28第十九頁，共三十頁。已知：如圖2-29，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.舉例例8圖2-29第二十頁，共三十頁。∴

四邊形ABCD是平行四邊形.證明(zhèngmíng)∵∠A=∠C，∠B=∠D，

∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∴BC∥AD.同理，AB∥DC.

從例8可以看出，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.圖2-29第二十一頁，共三十頁。議一議議一議議一議議一議議一議議一議兩組鄰邊分別相等的四邊形一定是平行四邊形嗎？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形嗎？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例.1.2.第二十二頁，共三十頁。

對于第2題，我能想到這個圖形.

一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形嗎？

對于第1題，我能想到這個圖形.

兩組鄰邊分別相等的四邊形一定是平行四邊形嗎？第二十三頁，共三十頁。如圖，把△ABC的中線(zhōngxiàn)AD延長至E，使得DE=AD，連接EB，EC.求證：四邊形ABEC是平行四邊形.練習1.證明：由已知BD=CD,DE=AD.所以四邊形ABEC是平行四邊形.(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.)第二十四頁，共三十頁。如圖，□ABCD的對角線相交于點O，直線MN經過點O，分別與AB，CD交于點M，N，連接AN，CM.求證：四邊形AMCN是平行四邊形.2.證明：∵□ABCD，∴

OA=OC,AB∥DC.∴

四邊形AMCN是平行四邊形.∴∠BAC=∠ACD.又∠AOM=∠CON,所以△AOM≌△CON.(ASA)∴AM=CN.又

AM∥CN，第二十五頁，共三十頁。中考試題例1

如圖，是由12個邊長相等的正三角形鑲嵌而成的平面(píngmiàn)圖形，則圖中的平行四邊形共有

個.解析

由圖形知，由兩個正三角形所組成的平行四邊形有6+6+1=13個；由四個正三角形所組成的平行四邊形有6個，由六個正三角形所組成的平行四邊形有2個；故所有的平行四邊形共有21個.21第二十六頁，共三十頁。中考試題例2

如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.

求證(qiúzhèng)：（1）△AFD≌

△

CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形.第二十七頁，共三十頁。（1）∵DF∥BE，∴

∠DFE=∠BEF.

∵

∠AFD+∠DFE=180°，

∠CEB+∠BEF=180°，∴

∠AFD=∠CEB.

又AF=CE，DF=BE.∴

△AFD≌△CEB(SAS).（2）由(1)知△AFD≌△CEB，∴

∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴

AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形

(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).證明第二十八頁，共三十頁。結束第二十九頁，共三十頁。內容(nèir