數學建模入門課件

數學建模——現實生活中的數學主要內容：一、數學建模簡介二、數學建模簡單示例三、數學建模論文寫作四、全國大學生數學建模競賽簡介五、數學建模的意義一、數學建模簡介通常，1公斤面，1公斤餡，包100個湯圓（餃子）今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問應多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓,若分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為vV和

nv

哪個大?引子從包湯圓（餃子）說起Ssss…Vvvv(共n個)定性分析V比nv大多少?定量分析從包湯圓（餃子）說起假設1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應用若100個湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮半徑V是nv是倍1.4r~小皮半徑兩個k1（和k2）一樣(1),(2),(3)數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模建模步驟模型準備模型假設模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用1）模型準備：了解問題的實際背景，明確建模目的，掌握對象的各種信息如統計數據等，弄清實際對象的特征。（有時需查資料或到有關單位了解情況）。建模步驟(具體解釋)2）模型假設：根據實際對象的特征和建模目的，對問題進行必要地合理地簡化。不同的假設會得到不同的模型。如果假設過于簡單可能會導致模型的失敗或部分失敗，于是應該修改或補充假設，如“四足動物的體重問題”；如果假設過于詳細，試圖把復雜的實際現象的各個因素都考慮進去，可能會陷入困境，無法進行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。3）模型建立：分清變量類型，恰當使用數學工具；抓住問題的本質，簡化變量之間的關系；要有嚴密的數學推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運算等。會用到傳統的和近代的數學方法，計算機技術（編程或軟件包）。特別地近似計算方法（泰勒級數，三角級數，二項式展開、代數近似、有效數字等）。6）模型檢驗：把模型分析的結果“翻譯”回到實際對象中，用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和適應性檢驗結果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應用：應用中可能發現新問題，需繼續完善。5）模型分析：結果分析、數據分析。變量之間的依賴關系或穩定性態；數學預測；最優決策控制等。模型的分類1）按變量的性質分類：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續模型隨機性模型非線性模型多變量模型2）按時間變化對模型的影響分類：靜態模型參數定常模型動態模型參數時變模型3）按模型的應用領域（或所屬學科）分類：人口模型、交通模型、生態模型、城鎮規劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數學模型、醫學數學模型、地質數學模型、數量經濟學模型、數學社會學模型等。4）按建立模型的數學方法（或所屬數學分支）分類：初等模型、幾何模型、線性代數模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。5）按建模目的分類：描述性模型、分析模型、預報模型、優化模型、決策模型、控制模型等。6）按對模型結構的了解程度分類：白箱模型：其內在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等?；蚁淠Ｐ停浩鋬仍跈C理尚不十分清楚的現象和問題，包括生態、氣象、經濟、交通等。黑箱模型：其內在機理（數量關系）很不清楚的現象，如生命科學、社會科學等。基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律將研究對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型二者結合機理分析建立模型結構,測試分析確定模型參數數學建模的基本方法問題：將四條腿一樣長的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設法使它的四條腿同時著地，即放穩。假設

1）地面為光滑曲面；

2）相對地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長的；

3）只要有一點著地就視為已經著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點接觸；

4）椅子的中心不動。二、數學建模簡單示例建模示例之一：椅子能放平穩嗎2建模分析xyAABBCCDDO表示A,C與地面距離之和表示B,D與地面距離之和則由三點著地，有不失一般性，設初始時：假設：是的連續函數，且對任意，求證：至少存在，使得數學模型數學命題：.回憶:連續函數的介值定理oxyab4模型求解證明：將椅子轉動，對角線互換，由可得令由的連續性，根據介值定理，在中至少存在一點,使得,即又所以結論：能放穩。思考題1：長方形的椅子會有同樣的性質嗎？建模示例之二：人力資源分配問題某個中型百貨商場對售貨人員（周工資200元）的需求經統計如下表

為了保證銷售人員充分休息，銷售人員每周工作5天，休息2天。問應如何安排銷售人員的工作時間，使得所配售貨人員的總費用最??？星期一二三四五六七人數12151214161819模型假設每天工作8小時，不考慮夜班的情況；每個人的休息時間為連續的兩天時間；每天安排的人員數不得低于需求量，但可以超過需求量問題分析：因素1、不可變因素：需求量、休息時間、單位費用；

2、可變因素：安排的人數、總費用；方案：確定每天工作的人數，由于連續休息2天，當確定每個人開始休息的時間就等于知道工作的時間，因而確定每天開始休息的人數就知道每天開始工作的人數，從而求出每天工作的人數。變量：設每天開始休息的人數為：約束條件

1.每人休息時間2天，自然滿足。

3.變量非負約束：目標函數：總費用最小，總費用與使用的總人數成正比。由于每個人必然在且僅在某一天開始休息，所以總人數等于模型2d墻室內T1室外T2dd墻l室內T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩態材料均勻，熱傳導系數為常數建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數建模示例之三：雙層玻璃窗的功效dd墻l室內T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內層玻璃的外側溫度Tb~外層玻璃的內側溫度k1~玻璃的熱傳導系數k2~空氣的熱傳導系數建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。實際上雙層窗的功效不會如此之大1、摘要（問題、模型、方法、結果）2、問題重述4、分析與建立模型5、模型求解6、模型檢驗7、模型推廣8、參考文獻9、附錄3、模型假設三、數學建模論文寫作摘要問題提出和假設的合理性模型的建立模型的計算與分析1、摘要字數盡量控制在500字內語言精簡，用詞準確闡述細致具體的方法列出主要結論寫出三至五個關鍵詞主要模型（名稱）、方法和結果，解決了什么問題，有何特色等；2、問題提出和假設的合理性簡單地說明問題的情景，即要說清事情的來龍去脈。列出必要數據，提出要解決的問題，并給出研究對象的關鍵信息的內容。歷屆數學建模競賽的試題可以看作是情景說明的范例。模型假設論文中的假設要以嚴格、確切的數學語言表達。所提出的假設為建立數學模型所必需的，而不是與建立模型無關。假設應驗證其合理性：合理性可以從分析問題過程中得出，例如從問題的性質出發作出合乎常識的假設；或者由觀察所給數據的圖象，得到變量的函數形式；也可以參考其他資料由類推得到，但要指出參考文獻的相關內容。主要假設以3~5條為宜。3、模型的建立

論文中引進變量及其記號，通過一定的數學方法，建立方程式或歸納為其他形式的數學問題。注意事項：用分析和論證的方法，讓讀者了解得到模型的過程。上下文之間切忌邏輯推理過程中躍度過大，影響論文的說服力。需要推理和論證的地方，應該有推導的過程而且力求嚴謹。引用現成定理時，要先驗證滿足定理的條件。論文中用到的各種數學符號，須在第一次出現時加以說明。4、模型的計算與分析模型求解注意事項：在數值求解時應對計算方法有所說明，并給出所使用軟件的名稱或者給出計算程序（通常以附錄形式給出）?？梢杂糜嬎銠C軟件繪制曲線和曲面示意圖，來形象地表達數值計算結果。一些模型（例如非線性微分方程）需要作穩定性或其他定性分析，應指出所依據的數學理論，并在推理或計算的基礎上得出明確的結論。在模型建立和分析的過程中，帶有普遍意義的結論可以用清晰的定理或命題的形式陳述出來。定理和命題必須寫清結論成立的條件。5、優缺點，改進方向等，附錄（程序、更多的計算結果、復雜的推導、證明等）；參考論文（附）（ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling,縮寫為CUMCM)

四、全國大學生數學建模競賽

1992年由中國工業與應用數學學會(CSIAM)組織第一次競賽

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)全國高校規模最大的課外科技活動數學建模競賽(MathematicalContestinModeling)簡介內容賽題：工程技術、管理科學中經過簡化的實際問題答卷：一篇包含模型假設、建立、求解、計算方法設計和計算機實現、結果分析和檢驗、模型改進等方面的論文形式

3名大學生組隊，在3天內完成的比賽

可使用任何“死”材料（圖書、計算機、軟件、互聯網等），但不得與隊外任何人討論宗旨創新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設的合理性，建模的創造性，結果的正確性，表述的清晰程度年份A題B題C題D題2002車燈線光源的優化設計彩票中的數學車燈線光源的計算賽程安排2003SARS的傳播露天礦生產的車輛安排SARS的傳播搶渡長江2004奧運會臨時超市網點設計電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務員招聘2005長江水質的評價和預測DVD在線租賃雨量預報方法的評價DVD在線租賃2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價和療效的預測易拉罐形狀和尺寸的最優設計煤礦瓦斯和煤塵的監測與控制全國大學生數學建模競賽近8年的題目（本科隊從A,B題中選一題，?？脐爮腃,D題中選一題

年份A題B題C題D題2007中國人口預測乘公交，看奧運手機“套餐”優惠幾何

體能測試時間安排的優化設計

2008數碼