2023-2024學年人教A版選擇性必修第三冊 數學探究楊輝三角的性質與應用 作業

數學探究楊輝三角的性質與應用1.觀察圖中的數所成的規律,則a所表示的數是()A.8B.6C.4D.2解析:由題圖,知每相鄰兩行中下一行的數除了兩個1以外,其他的數都是其肩上兩數的和,所以4+a=10,得a=6.答案:B2.如圖,與楊輝三角有類似性質的三角形數壘中,a,b是某行的前兩個數,當a=7時,b等于()A.20B.21C.22D.23解析:根據觀察可知,每一行除開始和末尾的數外,中間的數分別是其肩上兩個數的和,當a=7時,上面一行的第一個數為6,第二個數為16,所以b=6+16=22.答案:C3.如圖,在楊輝三角中,斜線AB左方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列:1,2,3,3,6,4,10,…,記這個數列的前n項和為Sn,則S16等于()A.144B.146C.164D.461解析:由題圖,知數列中的首項是C22,第2項是C21,第3項是C32,第4項是所以S16=C21+C22+C31=(C21+C31+…+C91)+(=(C22+C21+C31+…+C91-=C102+C答案:C4.多選題以下關于楊輝三角的猜想中正確的有()A.由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數相等”猜想:CnCB.由“在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它‘肩上’兩個數的和”猜想:Cn+1r=C.由“第n行所有數之和為2n”猜想:Cn0+Cn1+Cn2+D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想115=15101051解析:由楊輝三角的性質以及二項式定理可知ABC正確.115=(10+1)5=C50×105+C51×104+C52×103+C53=161051,故D錯誤.故選ABC.答案:ABC5.多選題一組數據如圖所示,滿足如下條件:①第n行首尾兩數均為n;②圖中的遞推關系類似楊輝三角.則第10行的第2個數是46,第n行的第2個數是n2解析:由題圖可知第10行的第2個數為(1+2+3+…+9)+1=46,第n行的第2個數為[1+2+3+…+(n-1)]+1=n(n-6.將全體正整數排成一個三角形數陣,如圖所示.按照以上排列的規律,第n(n≥3)行從左向右的第3個數為n2解析:前n-1行共有正整數[1+2+…+(n-1)]個,即n2-n2個,因此第n行第3個數是全體正整數中第7.多選題將楊輝三角中從第1行開始的奇數換成1,偶數換成0,得到如圖所示的三角數表.從上往下數,第1次全行的數都為1的是第1行,第2次全行的數都為1的是第3行……第n次全行的數都為1的是第2n-1行;第61行中1的個數是32.解析:觀察可得第1行,第3行,第7行,第15行……全行都為1,故第n次全行的數都為1的是第2n-1行.由n=6,得26-1=63,故第63行共有64個1,逆推可知第62行共有32個1,第61行共有32個1.8.將楊輝三角中的每一個數Cnr都換成分數1(1)若1(n+1)Cnr(2)令an=13+112+130+160+…+1nC解:(1)從萊布尼茨三角形可以看出,下一行相鄰兩分數之和等于上一行它們肩上的同一個