湖南省兩校聯考2023年高一上數學期末教學質量檢測試題含解析

湖南省兩校聯考2023年高一上數學期末教學質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．當時，在同一坐標系中，函數與的圖象是（）A. B.C. D.2．歷史上數學計算方面的三大發明是阿拉伯數、十進制和對數，其中對數的發明，大大縮短了計算時間，為人類研究科學和了解自然起了重大作用，對數運算對估算“天文數字”具有獨特優勢.已知，，則的估算值為（）A. B.C. D.3．已知函數，則該函數的單調遞減區間是（）A. B.C. D.4．已知sin2α>0，且cosα<0，則角α的終邊位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．已知函數的部分圖象如圖所示，則將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象對應的函數解析式為（）A. B.C. D.6．設全集，集合，則（）A.{3，5} B.{2，4}C.{1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5，6}7．命題“，使.”的否定形式是（）A.“，使” B.“，使”C.“，使” D.“，使”8．已知函數，若存在不相等的實數a，b，c，d滿足，則的取值范圍為（）A B.C. D.9．設函數，若互不相等的實數，，，滿足，則的取值范圍是A. B.C. D.10．下列函數中，最小正周期為，且圖象關于直線對稱的是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．給出下列四種說法：（1）函數與函數的定義域相同；（2）函數與的值域相同；（3）若函數式定義在R上的偶函數且在為減函數對于銳角則；（4）若函數且,則；其中正確說法序號是________.12．已知角的終邊過點，求_________________.13．經過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程為__________14．已知一組數據的平均數，方差，則另外一組數據的平均數為___________，方差為___________.15．已知，求________三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．近年來，國產手機因為其炫酷的外觀和強大的功能，深受國人喜愛，多次登頂智能手機銷售榜首.為了調查本市市民對某款國產手機的滿意程度，專賣店的經理策劃了一次問卷調查，讓顧客對手機的“外觀”和“性能”打分，其相關得分情況統計如莖葉圖所示，且經理將該款手機上市五個月以來在本市的銷量按月份統計如下：月份代碼t12345銷售量y（千克）5.65.766.26.5（1）記“外觀”得分的平均數以及方差分別為，，“性能”得分的平均數以及方差分別，.若，求莖葉圖中字母表示的數；并計算與；（2）根據上表中數據，建立關于的線性回歸方程，并預測第6個月該款手機在本市的銷售量.附：對于一組數據（）其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，參考數據：17．某工廠某種航空產品的年固定成本為萬元，每生產件，需另投入成本為，當年產量不足件時，（萬元）.當年產量不小于件時，（萬元）.每件商品售價為萬元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（件）的函數解析式；（2）年產量為多少件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？18．已知函數.(1)當時，求方程的解；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.19．已知函數，在同一周期內，當時，取得最大值3；當時，取得最小值.（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調減區間；（3）當時，函數有兩個零點，求實數m的取值范圍.20．設函數，將該函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，函數的圖象關于y軸對稱.（1）求的值，并在給定的坐標系內，用“五點法”列表并畫出函數在一個周期內的圖象；（2）求函數的單調遞增區間；（3）設關于x的方程在區間上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍.21．（1）已知角的終邊經過點，求的值；（2）已知，且，求cos()的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、B【解析】根據時指數函數與對數函數均為定義域內的增函數即可得答案.【詳解】解：因，函數為指數函數，為對數函數，故指數函數與對數函數均為定義域內的增函數，故選：B.2、C【解析】令，化為指數式即可得出.【詳解】令，則，∴，即的估算值為.故選：C.3、C【解析】先用誘導公式化簡，再求單調遞減區間.【詳解】要求單調遞減區間，只需，.故選：C.【點睛】(1)三角函數問題通常需要把它化為“一角一名一次”的結構，借助于或的性質解題；(2)求單調區間，最后的結論務必寫成區間形式，不能寫成集合或不等式4、C【解析】根據二倍角公式可得到，又因為cosα<0，故得到進而得到角所在象限.【詳解】已知sin2α>0，，又因為cosα<0，故得到，進而得到角是第三象限角.故答案為C.【點睛】本題考查象限角的定義，熟練掌握三角函數在各個象限中的符號是解決問題的關鍵，屬于基礎題5、C【解析】根據給定圖象求出函數的解析式，再平移，代入計算作答.【詳解】觀察圖象得，令函數周期為，有，解得，則，而當時，，則有，又，則，因此，，將的圖象向左平移個單位得：，所以將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象對應的函數解析式為.故選：C6、D【解析】先求補集，再求并集.詳解】，則.故選：D7、D【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題，即可得出命題的否定形式【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，使”的否定形式為：，使故選：D8、C【解析】將問題轉化為與圖象的四個交點橫坐標之和的范圍，應用數形結合思想，結合對數函數的性質求目標式的范圍.【詳解】由題設，將問題轉化為與的圖象有四個交點，，則在上遞減且值域為；在上遞增且值域為；在上遞減且值域為，在上遞增且值域為；的圖象如下：所以時，與的圖象有四個交點，不妨假設，由圖及函數性質知：，易知：，，所以.故選：C9、B【解析】不妨設，由，得，結合圖象可知，，則，令，可知在上單調遞減，故，則，故選B.【方法點睛】本題主要考查分段函數的圖象與性質、指數與對數的運算以及數形結合思想的應用，屬于難題.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，.函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數；2、求參數的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數性質10、B【解析】因為函數的最小正周期是，故先排除選項D；又對于選項C：，對于選項A：，故A、C均被排除，應選B.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、（1）（3）【解析】(1)根據定義域直接判斷；(2)分別求出值域即可判斷；(3)利用偶函數圖形的對稱性得出在上的單調性及銳角，可以判斷；(4)通過對數性質及對數運算即可判斷.【詳解】(1)函數與函數的定義域都為.所以(1)正確.(2)函數的值域為而的值域為，所以值域不同，故(2)錯誤.(3)函數在定義R上的偶函數且在為減函數,則函數在在為增函數，又為銳角，則，所以，故(3)正確.(4)函數且，則，即，得，故(4)錯誤.故答案為：(1)(3).【點睛】本題主要考查了指數函數、對數函數與冪函數的定義域與值域的求解，函數的奇偶性和單調性的判定，對數的運算，屬于函數知識的綜合應用，是中檔題.12、【解析】先求出，再利用三角函數定義，即可得出結果.【詳解】依題意可得：，故答案為：【點睛】本題考查了利用終邊上點來求三角函數值，考查了理解辨析能力和運算能力，屬于基礎題目.13、【解析】聯立方程組求得交點的坐標為，根據題意求得所求直線的斜率為，結合點斜式可得所求直線的方程.【詳解】聯立方程組，得交點，因為所求直線垂直于直線，故所求直線的斜率，由點斜式得所求直線方程為，即.故答案為：.14、①.32②.135【解析】由平均數與方差的性質即可求解.【詳解】由題意，數據的平均數為，方差為.故答案為：；15、【解析】由條件利用同角三角函數的基本關系求得和的值，再利用兩角和差的三角公式求得的值【詳解】∵，∴，，，∴，∴故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）,,;（2）回歸方程為;預測第6個月該款手機在本市的銷售量為6.69（千臺）.【解析】（1）由莖葉圖求出，利用即可得出值，利用方差公式計算與；（2）由題意知代入可得，代入可得，得出回歸方程為，即可預測第6個月該款手機在本市的銷售量.【詳解】解：（1）由莖葉圖可知解得（2）由題意知所求回歸方程為令，故預測第6個月該款手機在本市的銷售量為6.69（千臺）.【點睛】本題考查了統計圖，莖葉圖的認識和平均數，方差的公式應用，以及線性回歸方程的應用，屬于中檔題17、（1）；（2）年產量為件時，利潤最大為萬元.【解析】（1）實際應用題首先要根據題意，建立數學模型，即建立函數關系式，這里，要用分類討論的思想，建立分段函數表達式；（2）根據建立的函數關系解模，即運用數學知識求函數的最值，這里第一段，運用的是二次函數求最值，而第二段，則可運用基本不等式求最值，然后再作比較，確定最終的結果，最后要回到實際問題作答.試題解析：解：（1）當時，；當時，，所以.（2）當時，此時，當時，取得最大值萬元.當時，此時，當時，即時，取得最大值萬元，所以年產量為件時，利潤最大為萬元.考點：函數、不等式的實際應用.18、（1）或；（2）【解析】（1）由題意可得，由指數方程的解法即可得到所求解；（2）由題意可得，設，，，可得，即有，由對勾函數的單調性可不等式右邊的最大值，進而得到所求范圍【詳解】（1）方程，即為，即有，所以或，解得或；（2）若，不等式恒成立可得，即，設，，可得，即有，由在遞增，可得時取得最大值，即有【點睛】本題考查指數方程的解法和不等式恒成立問題的解法，注意運用換元法和參數分離法，結合對勾函數的單調性，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據函數在同一周期的最值，確定最小正周期和，再由最大值求出，即可得出函數解析式；（2）根據正弦函數的單調遞減區間列出不等式求解，即可得出結果；（3）根據自變量的范圍，先確定的范圍及單調性，根據函數有兩個零點，推出函數與直線有兩不同交點，進而可得出結果.【詳解】（1）因為函數，在同一周期內，當時，取得最大值3；當時，取得最小值，，，則，所以；又，所以，解得，又，所以，因此；（2）由，解得，∴函數的單調遞減區間為；（3）由，解得，即函數的單調遞增區間為；，所以在區間上單調遞增，在上單調遞增；所以，，，又有兩個零點，等價于方程有兩不等實根，即函數與直線有兩不同交點，因此，只需，解得，即實數的取值范圍是【點睛】思路點睛：已知含三角函數的函數在給定區間的零點個數求參數時，一般需要分離參數，將問題轉化為三角函數與參數對應的直線交點問題求解，利用三角函數的性質，確定其在給定區間的單調性與最值等，即可求解（有時需要利用數形結合的方法求解）.20、（1），圖象見解析；（2）（3）【解析】（1）化簡解析式，通過三角函數圖象變換求得，結合關于軸對稱求得，利用五點法作圖即可；（2）利用整體代入法求得的單調遞增區間.（3）化簡方程，利用換元法，結合一元二次方程根的分布求得的取值范圍.【小問1詳解】.所以，將該函數的圖象向左平移個單位后得到函數，則，該函數的圖象